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문제 정의
- 전통적인 인자분석을 시계열자료에 적용하는 경우 시계열자료의 특성인 자기상관성에 의하여 기본가정이 위배된다. 따라서 기존의 인자분석의 확장으로 자기상관성이 있는 자료에 적당한 시계열인자분석이 제안되었는데 이를 간단히 소개하겠다. 보다 자세한 내용은 Gilbert와 Meijer (2005)를 참조할 수 있다.
- 이에 본 논문에서는 시계열자료의 특성을 반영한 시계열인자분석과 전통적인 인자분석에 대해 알아보고 이를 이용하여 인자점수를 계산, DCC GARCH와 CCC GARCH(Constant Conditional Correlation GARCH)모형을 적용하여 VaR를 구하고자 한다. 또한 황선영 등 (2009)에서와 같이 VaR의 사후검증을 통하여 인자분석과 시계열인자분석의 차이점을 살펴 볼 것이다.
가설 설정
- H0 : xt들은 서로 독립이다. (3.
- Ha : xt들은 독립이 아니다.
제안 방법
- 국내 13개 대기업 주가의 로그차분수익률을 전통적인 인자분석과 시계열인자분석으로 차원을 축소하여 구해진 요인점수에 다변량 GARCH모형을 적용, VaR을 구하여 비교해 보았다. 사용한 프로그램은 통계 프로그램 R의 tsfa, ccgarch, vars패키지 등이다.
- 또한 시계열인자분석을 시행하였는데, 시계열인자분석은 기본가정에 의하여 자기상관성이 있어도 되기 때문에 ARMA모형의 잔차가 아닌 직접 로그차분수익률 자료에 시행하여 추정하였다. 표 4.
- 또한 시계열인자분석의 요인점수에 CCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR도 목표하고 있는 실패율을 맞추고 있지 못하는 것을 확인할 수 있다. 목표하고 있는 실패율을 맞추고 있는 방법은 인자분석의 요인점수에 CCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR과 시계열인자분석의 요인점수에 DCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR이다. 이 둘의 실패율이 가중치에 따라 변하는지를 확인하기 위하여 가중치를 Uniform분포에서 발생시켜 100번의 실패율계산의 사후검증을 시행하였다.
- 본 연구에서는 다변량 시계열자료의 차원을 인자분석으로 축소하여 다변량 GARCH모형을 적합하는 경우, VaR의 사후검증을 통해 인자분석과 시계열 인자분석, 또 CCC GARCH와 DCC GARCH의 성능을 비교하였다. 특히, 본 논문에서는 황선영 등 (2009) 등의 기존 연구에서 했듯이 인자분석을 적용하기 전에 시계열자료의 자기상관성을 제거하고 그 잔차에 인자분석을 시행한 다음 다변량 GARCH모형을 적용하는 복잡한 과정을 거치지 않고, 시계열인자분석을 시계열자료에 직접 적용하는 단순한 방법을 사용하였다.
- 위에서 적합시킨 다변량 GARCH모형들로 분산-공분산행렬을 예측하여 VaR을 구해보았다. 보유기간은 1일, 신뢰수준은 95%이며, 포트폴리오를 구성하는 산업에 투자하는 비중이 다르다는 것을 요인에 가중치를 달리하는 것으로 나타내었다.
- 위의 자료를 이용하여 인자분석과 시계열인자분석을 시행하여 비교하고자 하였다. 인자분석의 경우, 시계열자료의 특성인 자기상관성에 의하여 분석을 바로 적용하지 못하기 때문에 각 주가의 로그차분수익률을 적당한 ARMA모형에 적합한 후 그 잔차에 인자분석을 시행하였는데, 인자의 수는 그림 4.
- 9보다 높은 경우 모형이 잘 적합된 것으로 판단한다. 이 기준을 활용하면 3개의 인자 이후로는 모형들이 모두 적합한 것으로 나타나고 있으므로 가장 간단한 모형인 3개의 인자를 인자의 수로 결정하였다.
- CCC GARCH와 DCC GARCH는 각각의 조건부분산을 일변량 GARCH모형으로, 시계열자료들간의 관계는 상관행렬을 이용하여 모형화하는 모형들이다. 이 두 모형을 적합한 후 잔차들에 자기상관성이 남아 있는지를 검정하여 모형이 잘 적합 되었는지 확인하였다.
- 위의 자료를 이용하여 인자분석과 시계열인자분석을 시행하여 비교하고자 하였다. 인자분석의 경우, 시계열자료의 특성인 자기상관성에 의하여 분석을 바로 적용하지 못하기 때문에 각 주가의 로그차분수익률을 적당한 ARMA모형에 적합한 후 그 잔차에 인자분석을 시행하였는데, 인자의 수는 그림 4.1의 스크리도표를 활용하여 결정하였다. 인자의 수를 k라고 하였을 때 k에 해당하는 그래프상의 값은 k번째 특성치까지의 누적 비율을 나타낸다.
- 본 연구에서는 다변량 시계열자료의 차원을 인자분석으로 축소하여 다변량 GARCH모형을 적합하는 경우, VaR의 사후검증을 통해 인자분석과 시계열 인자분석, 또 CCC GARCH와 DCC GARCH의 성능을 비교하였다. 특히, 본 논문에서는 황선영 등 (2009) 등의 기존 연구에서 했듯이 인자분석을 적용하기 전에 시계열자료의 자기상관성을 제거하고 그 잔차에 인자분석을 시행한 다음 다변량 GARCH모형을 적용하는 복잡한 과정을 거치지 않고, 시계열인자분석을 시계열자료에 직접 적용하는 단순한 방법을 사용하였다.
대상 데이터
- 보유기간은 1일, 신뢰수준은 95%이며, 포트폴리오를 구성하는 산업에 투자하는 비중이 다르다는 것을 요인에 가중치를 달리하는 것으로 나타내었다. 2007년 9월 3일부터 2008년 8월 13일까지의 230개의 관측치를 표본 외 기간으로 설정하여 사후검증을 실시하였다.
- 분석에 사용된 자료는 국내 13개 대기업의 주가로서 2004년 1월14일부터 2008년 8월 13일까지의 총 1137일의 로그차분수익률(%)인데, Pt를 t시점에서의 주가라 했을 때 로그차분 수익률은 Rt = ln(Pt/Pt−1) × 100으로 정의된다.
- 국내 13개 대기업 주가의 로그차분수익률을 전통적인 인자분석과 시계열인자분석으로 차원을 축소하여 구해진 요인점수에 다변량 GARCH모형을 적용, VaR을 구하여 비교해 보았다. 사용한 프로그램은 통계 프로그램 R의 tsfa, ccgarch, vars패키지 등이다. 분석에 사용된 자료는 국내 13개 대기업의 주가로서 2004년 1월14일부터 2008년 8월 13일까지의 총 1137일의 로그차분수익률(%)인데, Pt를 t시점에서의 주가라 했을 때 로그차분 수익률은 Rt = ln(Pt/Pt−1) × 100으로 정의된다.
- 이 자료는 황선영 등 (2009)에서 다루어진 자료와 거의 같은 자료이다. 황선영 등 (2009)에서 사용된 자료와 같이 다음의 13개 대기업으로 분석을 진행하였다.
데이터처리
- 실증분석의 자료는 2004년 1월14일부터 2008년 8월 13일의 로그차분수익률을 사용하였으며, 다변량 GARCH모형을 적합한 후에 표준화된 잔차의 제곱에 포트만투검정을 실시하여 모형의 적합성을 검정하였다. 이 과정에서 시계열인자분석을 적용한 후 CCC GARCH모형을 적용하는 경우에는 잔차의 제곱에 자기상관성이 존재하는 것을 확인하였고, 나머지 모형들은 적절히 적합되는 것을 알 수 있었다.
- 목표하고 있는 실패율을 맞추고 있는 방법은 인자분석의 요인점수에 CCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR과 시계열인자분석의 요인점수에 DCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR이다. 이 둘의 실패율이 가중치에 따라 변하는지를 확인하기 위하여 가중치를 Uniform분포에서 발생시켜 100번의 실패율계산의 사후검증을 시행하였다. 다음 표 4.
- 또한 시계열인자분석을 시행하였는데, 시계열인자분석은 기본가정에 의하여 자기상관성이 있어도 되기 때문에 ARMA모형의 잔차가 아닌 직접 로그차분수익률 자료에 시행하여 추정하였다. 표 4.3은 시계열인자분석의 적합도통계량들로서 확증적 인자분석에서 사용하는 기준인 RMSEA(root mean squared error of approximation), GFI(goodness-of-fit index), AGFI(adjusted goodness-of-fit index)를 사용하여 인자의 개수를 정하였다. 적합도통계량에 대한 자세한 내용은 김기영과 강현철 (2001)을 참조할 수 있다.
이론/모형
- Connor (1995)에서는 각 모형을 비교한 결과 근본적 인자모형이나 통계적 인자모형이 거시적 인자모형보다 나은 설명력을 가진다고 보고하였다. 국내연구로는 송유진 등 (2008)에서 다변량 금융시계열자료에 인자분석을 적용하였는데, 통계적 인자 모형과 근본적 인자 모형을 이용하여 다변량 시계열자료의 차원을 축소하고 이로부터 얻은 인자를 이용하여 최종모형들의 MSE(Mean Squared Error)와 MAD(Mean Absolute Deviation)를 구하고, VaR(Value at Risk)을 구하여 비교하였다. 근본적 인자 모형보다 통계적 인자모형으로 차원을 축소하였을 때 예측력이 더 좋아지고 VaR가 보다 정확하게 예측된다는 결과를 얻었다.
- 다변량 시계열자료의 변동성을 모형화하기 위하여 많은 모형들이 제안되어져 있는데, 이 모형들은 변동성을 추정하는 방식에 따라 구별될 수 있다. 상관계수를 따로 모형화하는 방식으로 전체 분산-공분산행렬을 모형화하는 CCC GARCH모형과 DCC GARCH모형 등이 제안되어 있으며, 이 모형들에 관한 다음의 내용은 최성미 등 (2009)를 참조하였다.
성능/효과
- 통계량은 6, 12, 18, 24, 30시차까지의 값을 계산하였으며 괄호안의 숫자들은 p-value를 나타낸다. 검정 결과 인자분석 요인점수에서는 모형적합 이후 자기상관성이 존재하지 않아 모형적합이 잘 된 것을 확인할 수 있었다. 하지만 시계열인자분석의 요인점수에서는 CCC GARCH 모형적합 이후의 잔차에 자기상관성이 존재하여 모형적합이 좋지 않음을 확인할 수 있었다.
- 국내연구로는 송유진 등 (2008)에서 다변량 금융시계열자료에 인자분석을 적용하였는데, 통계적 인자 모형과 근본적 인자 모형을 이용하여 다변량 시계열자료의 차원을 축소하고 이로부터 얻은 인자를 이용하여 최종모형들의 MSE(Mean Squared Error)와 MAD(Mean Absolute Deviation)를 구하고, VaR(Value at Risk)을 구하여 비교하였다. 근본적 인자 모형보다 통계적 인자모형으로 차원을 축소하였을 때 예측력이 더 좋아지고 VaR가 보다 정확하게 예측된다는 결과를 얻었다. 그러나 인자분석은 시계열 자료가 아닌 횡단면자료에 적용되도록 개발되었기 때문에 시계열자료에 사용되면 인자분석에 필요한 기본가정이 충족되지 않게 되므로 이를 시계열자료에 바로 적용하는 것은 무리가 있다.
- 이 과정에서 시계열인자분석을 적용한 후 CCC GARCH모형을 적용하는 경우에는 잔차의 제곱에 자기상관성이 존재하는 것을 확인하였고, 나머지 모형들은 적절히 적합되는 것을 알 수 있었다. 다변량 GARCH모형들을 사용하여 VaR을 구한 후 사후검증을 한 결과에서는 인자분석의 요인점수에 DCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR은 목표하고 있는 실패율을 맞추고 있지 못하는 것으로 나타나 인자분석의 요인점수에는 DCC GARCH모형은 적합하지 않다는 것을 확인하였으며, 인자분석 CCC GARCH모형과 시계열인자분석 DCC GARCH모형을 통하여 구한 VaR은 목표하고 있는 실패율을 맞추고 있는 것으로 나타났다. 이 두 가지의 방법의 비교로서 가중치를 랜덤하게 주어 두 모형을 비교한 결과 가중치에 따라서 인자분석 CCC GARCH모형은 실패하는 횟수가 49번으로 많지만 시계열인 자분석 DCC GARCH모형은 1번의 실패를 보이는 것으로 나타났다.
- 이 두 가지의 방법의 비교로서 가중치를 랜덤하게 주어 두 모형을 비교한 결과 가중치에 따라서 인자분석 CCC GARCH모형은 실패하는 횟수가 49번으로 많지만 시계열인 자분석 DCC GARCH모형은 1번의 실패를 보이는 것으로 나타났다. 따라서 시계열인자분석 요인점수에 DCC GARCH모형을 통하여 VaR을 구하는 경우가 4가지 방법 가운데 가장 안정적인 것으로 나타났다.
- 10은 가중치를 달리하여도 시계열인자분석의 요인점수에 DCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR는 목표하고 있는 실패율을 맞추지 못하는 경우가 적지만 인자분석의 요인점수에 CCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR은 목표하고 있는 실패율을 맞추지 못하는 경우가 49번으로 가중치의 영향에 민감하게 반응하는 것을 보여준다. 또, IND 통계량 기각횟수를 통해 독립성에는 두 방법 모두 문제가 없는 것으로 나타났다.
- 9를 통하여 인자분석을 시행할 때는 CCC GARCH모형으로, 시계열인자분석을 시행할 때에는 DCC GARCH모형으로 적합하는 것이 VaR의 실패율을 낮출 수 있다는 것을 확인 할 수 있었다. 또한 비교하고 있는 4가지의 방법 중에서 시계열인자분석으로 차원축소를 한 후에 DCC GARCH모형으로 모형을 적합하여 VaR를 측정하는 방법이 실패율을 가장 낮출 수 있다는 것을 알 수 있었다.
- 표에서 나타난 실패율을 비교해보면 인자분석 요인점수의 CCC GARCH 실패율과 시계열인자분석 요인점수의 DCC GARCH 실패율이 비슷하다는 것을 확인 할 수 있고 인자 분석의 요인점수에 DCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR은 목표한 실패율을 맞추고 있지 못하는 것을 알 수 있다. 또한 시계열인자분석의 요인점수에 CCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR도 목표하고 있는 실패율을 맞추고 있지 못하는 것을 확인할 수 있다. 목표하고 있는 실패율을 맞추고 있는 방법은 인자분석의 요인점수에 CCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR과 시계열인자분석의 요인점수에 DCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR이다.
- 위에서 적합시킨 다변량 GARCH모형들로 분산-공분산행렬을 예측하여 VaR을 구해보았다. 보유기간은 1일, 신뢰수준은 95%이며, 포트폴리오를 구성하는 산업에 투자하는 비중이 다르다는 것을 요인에 가중치를 달리하는 것으로 나타내었다. 2007년 9월 3일부터 2008년 8월 13일까지의 230개의 관측치를 표본 외 기간으로 설정하여 사후검증을 실시하였다.
- 위의 결과에 비추어 볼 때, 다변량 시계열자료의 차원축소에서는 인자분석보다 시계열인자분석이 사후검증을 통한 관점에서 더 안정적이고 간결한 방법임을 알 수 있었다.
- 위의 표 4.10, 표 4.6, 표 4.9를 통하여 인자분석을 시행할 때는 CCC GARCH모형으로, 시계열인자분석을 시행할 때에는 DCC GARCH모형으로 적합하는 것이 VaR의 실패율을 낮출 수 있다는 것을 확인 할 수 있었다. 또한 비교하고 있는 4가지의 방법 중에서 시계열인자분석으로 차원축소를 한 후에 DCC GARCH모형으로 모형을 적합하여 VaR를 측정하는 방법이 실패율을 가장 낮출 수 있다는 것을 알 수 있었다.
- 실증분석의 자료는 2004년 1월14일부터 2008년 8월 13일의 로그차분수익률을 사용하였으며, 다변량 GARCH모형을 적합한 후에 표준화된 잔차의 제곱에 포트만투검정을 실시하여 모형의 적합성을 검정하였다. 이 과정에서 시계열인자분석을 적용한 후 CCC GARCH모형을 적용하는 경우에는 잔차의 제곱에 자기상관성이 존재하는 것을 확인하였고, 나머지 모형들은 적절히 적합되는 것을 알 수 있었다. 다변량 GARCH모형들을 사용하여 VaR을 구한 후 사후검증을 한 결과에서는 인자분석의 요인점수에 DCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR은 목표하고 있는 실패율을 맞추고 있지 못하는 것으로 나타나 인자분석의 요인점수에는 DCC GARCH모형은 적합하지 않다는 것을 확인하였으며, 인자분석 CCC GARCH모형과 시계열인자분석 DCC GARCH모형을 통하여 구한 VaR은 목표하고 있는 실패율을 맞추고 있는 것으로 나타났다.
- 다변량 GARCH모형들을 사용하여 VaR을 구한 후 사후검증을 한 결과에서는 인자분석의 요인점수에 DCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR은 목표하고 있는 실패율을 맞추고 있지 못하는 것으로 나타나 인자분석의 요인점수에는 DCC GARCH모형은 적합하지 않다는 것을 확인하였으며, 인자분석 CCC GARCH모형과 시계열인자분석 DCC GARCH모형을 통하여 구한 VaR은 목표하고 있는 실패율을 맞추고 있는 것으로 나타났다. 이 두 가지의 방법의 비교로서 가중치를 랜덤하게 주어 두 모형을 비교한 결과 가중치에 따라서 인자분석 CCC GARCH모형은 실패하는 횟수가 49번으로 많지만 시계열인 자분석 DCC GARCH모형은 1번의 실패를 보이는 것으로 나타났다. 따라서 시계열인자분석 요인점수에 DCC GARCH모형을 통하여 VaR을 구하는 경우가 4가지 방법 가운데 가장 안정적인 것으로 나타났다.
- 01이하의 값을 갖는 경우를 나타낸다. 표에서 나타난 실패율을 비교해보면 인자분석 요인점수의 CCC GARCH 실패율과 시계열인자분석 요인점수의 DCC GARCH 실패율이 비슷하다는 것을 확인 할 수 있고 인자 분석의 요인점수에 DCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR은 목표한 실패율을 맞추고 있지 못하는 것을 알 수 있다. 또한 시계열인자분석의 요인점수에 CCC GARCH모형을 적용하여 구한 VaR도 목표하고 있는 실패율을 맞추고 있지 못하는 것을 확인할 수 있다.
- 검정 결과 인자분석 요인점수에서는 모형적합 이후 자기상관성이 존재하지 않아 모형적합이 잘 된 것을 확인할 수 있었다. 하지만 시계열인자분석의 요인점수에서는 CCC GARCH 모형적합 이후의 잔차에 자기상관성이 존재하여 모형적합이 좋지 않음을 확인할 수 있었다.
후속연구
- 이에 본 논문에서는 시계열자료의 특성을 반영한 시계열인자분석과 전통적인 인자분석에 대해 알아보고 이를 이용하여 인자점수를 계산, DCC GARCH와 CCC GARCH(Constant Conditional Correlation GARCH)모형을 적용하여 VaR를 구하고자 한다. 또한 황선영 등 (2009)에서와 같이 VaR의 사후검증을 통하여 인자분석과 시계열인자분석의 차이점을 살펴 볼 것이다.
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