[논문]Noisy 한 CFD 결과에 대한 구속조건을 고려한 EGO 방법 연구

배효길; 권장혁

doi:10.6112/kscfe.2012.17.4.032

[국내논문] Noisy 한 CFD 결과에 대한 구속조건을 고려한 EGO 방법 연구
A STUDY ON CONSTRAINED EGO METHOD FOR NOISY CFD DATA 원문보기

한국전산유체공학회지 = Journal of computational fluids engineering, v.17 no.4 = no.59, 2012년, pp.32 - 40

배효길 (한국과학기술원 항공우주공학과) , 권장혁 (한국과학기술원 항공우주공학과)

Abstract ▼ AI-Helper

Efficient Global Optimization (EGO) method is a global optimization technique which can select the next sample point automatically by infill sampling criteria (ISC) and search for the global minimum with less samples than what the conventional global optimization method needs. ISC function consists of the predictor and mean square error (MSE) provided from the kriging model which is a stochastic metamodel. Also the constrained EGO method can minimize the objective function dealing with the constraints under EGO concept. In this study the constrained EGO method applied to the RAE2822 airfoil shape design formulated with the constraint. But the noisy CFD data caused the kriging model to fail to depict the true function. The distorted kriging model would make the EGO deviate from the correct search. This distortion of kriging model can be handled with the interpolation(p=free) kriging model. With the interpolation(p=free) kriging model, however, the search of EGO solution was stalled in the narrow feasible region without the chance to update the objective and constraint functions. Then the accuracy of EGO solution was not good enough. So the three-step search method was proposed to obtain the accurate global minimum as well as prevent from the distortion of kriging model for the noisy constrained CFD problem.

Keyword

AI 본문요약
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문제 정의

마지막으로 ISC 함수를 목적함수로 놓고, 구속함수를 크리깅 모델로 근사하여 구속 최적화 문제를 DIRECT 기법[15]으로 직접 풀어주는 방법이 있다[6]. 본 논문에서는 위에 소개한 마지막 방법인 목적함수로 ISC 함수를, 구속함수로 크리깅 모델을 사용하여 ALM 방법으로 최적해를 탐색하였다.
이런 noisy 한 CFD 결과는 크리깅 모델을 왜곡시켜 전역해 탐색에 어려움을 줄 수 있다. 따라서 본 논문에서는 noisy 한 CFD 데이터를 활용하면서 구속조건이 있는 RAE2822 익형 최적설계를 EGO 방법으로 해결하는 기법에 대하여 연구하였다. 참고로 본 논문에서 표현된 모든 목적함수는 최소해를 찾는 최소화 문제이다.
이런 문제를 해결하기 위하여 본 논문에서는 ‘Three-step’탐색법을 제안한다.

제안 방법

EGO 최적화 기법은 크게 두 단계로 나눌 수 있다[11]. 첫번째 단계로 Latin hypercube design(LHD)과 같은 초기 실험점의 측정값을 이용하여 크리깅 모델을 생성하고, 두 번째 단계로 그 크리깅 모델을 활용하여 ISC 함수를 계산하게 된다. 최대 또는 최소 ISC 값을 가지는 미지점을 차기 실험점으로 선택하게 된다.
여러 테스트 함수(test function)로 검증된 EGO 설계 프레임워크(framework)를 이용하여 실제 CFD 공력 최적화 문제인 RAE2822 익형설계를 수행하였다. 부드러운 함수형태인 테스트 함수와 달리 CFD 해석 결과는 noise(출력값의 지글거림)를 동반하게 된다.
검증 목적으로 EGO 방법을 이용하여 식 (13)과 같은 두개의 구속함수로 이루어진 테스트 함수[8]의 전역해를 구해 보았다.
구속 테스트 함수로 검증된 EGO 방법을 실제 CFD 문제에 적용해 본다.
해석조건은 Mach 0.73, AOA 2.79°의 Euler 해석을 KFLOW[10]로 수행하였고, 익형의 윗면은 식(14) 및 Fig. 5와 같은 5개의 Hicks-Henne bump 함수를 이용하여 표현하고 함수의 weighting factor 인 βk를 설계변수로 설정하였다.
설계공간(DV2 & DV3)을 등간격 9x9로 나누어 총 81회의 CFD 해석을 통하여 설계공간(design space)과 전역해(붉은 삼각형)를 Fig. 6에 그려 보았다.
E-4 만큼 증분을 입력하여 목적함수의 절대값 변화가 제일 큰 설계변수를 평가하는 민감도 해석을 거쳐 5개의 설계변수 중 2개만 선택(DV2 & DV3)하여 전역최적해를 EGO 방법으로 탐색해 보았다.
이런 noisy 한 특성을 가지고 있는 RAE2822 구속문제에 대하여 constrained EGO 방법인 EI&g 방법과 WB2&g 방법으로 전역해를 탐색해 보았다.
이 조건은 국소탐색 성능이 우수한 WB2 ISC를 위한 것이다. 마지막으로 EGO 알고리즘이 동일점을 샘플링하면 더 이상 전역해를 찾을 수 없다고 판단하여 EGO 최적화를 종료한다. 또한 EGO 설계의 효용성을 비교하기 위한 DOT 는 modified feasible direction 방법[9]으로 해를 탐색하였고 수렴조건과 위반공차는 Table 1의 a)에 기술하였다.
이런 noisy 한 CFD 데이터로 인한 크리깅 모델의 왜곡을 방지하고자 interpolation(p=free) 크리깅 모델을 도입하였다. 즉 식(19)의 상관계수 Θ 뿐만 아니라 상관함수의 지수 p를 미지수로 놓고 최대우도추정법(MLE)으로 변수값을 추정하여 생성한 크리깅 모델이다.
실험점에서 MSE 가 ‘0’인 특성은 유지되고 있다. 따라서 interpolation(p=free) 크리깅 모델을 사용하여 EGO 최적화 과정 중 상관함수의 지수(p)도 최대우도추정법으로 추정하면서 EGO 최적화를 수행하였다. 그 결과 Fig.
14 도식과 같이 먼저 구속 조건의 경계를 잘 표현하기 위하여 최대 EF 함수를 가지는 차기 실험점 한 개를 선택한다. 이를 포함하여 크리깅 모델을 갱신한 뒤, 이번에는 불구속 문제의 목적함수의 최소해를 찾기 위하여 ISC 함수(EI 또는 GEI)를 이용하여 차기 실험점 한개를 선택한다. 이를 포함하여 다시 크리깅 모델을 갱신한 뒤, 마지막으로 구속함수를 고려한 유용영역 측면에서 차기 실험점을 기존 constrained EGO 방법으로 선택한다.

대상 데이터

이런 noisy 한 특성을 가지고 있는 RAE2822 구속문제에 대하여 constrained EGO 방법인 EI&g 방법과 WB2&g 방법으로 전역해를 탐색해 보았다. 초기 실험점은 13개(corner 4개, LHD 9개)로 하였고, 종료조건은 Table 1의 예와 같이 세 가지로 하였다. 첫째 Relative EI 값이 0.

데이터처리

6에 그려 보았다. 전역해는 기울기 기반 상용 최적설계 프로그램인 DOT[13]를 통하여 계산된 값을 표시하였다. 항력계수인 목적함수 보다 양력계수로 구성된 구속함수의 기울기 변화가 심하여 국소해(local minimum)에 빠질 우려가 있다.

이론/모형

마지막으로 EGO 알고리즘이 동일점을 샘플링하면 더 이상 전역해를 찾을 수 없다고 판단하여 EGO 최적화를 종료한다. 또한 EGO 설계의 효용성을 비교하기 위한 DOT 는 modified feasible direction 방법[9]으로 해를 탐색하였고 수렴조건과 위반공차는 Table 1의 a)에 기술하였다.
이를 포함하여 크리깅 모델을 갱신한 뒤, 이번에는 불구속 문제의 목적함수의 최소해를 찾기 위하여 ISC 함수(EI 또는 GEI)를 이용하여 차기 실험점 한개를 선택한다. 이를 포함하여 다시 크리깅 모델을 갱신한 뒤, 마지막으로 구속함수를 고려한 유용영역 측면에서 차기 실험점을 기존 constrained EGO 방법으로 선택한다. 이와 같은 three-step 탐색을 종료조건이 만족할 때까지 사이클릭(cyclic) 하게 수행하게 된다.
2차원 RAE2822 익형의 항력 최소화 문제에 constrained EGO 방법을 적용해 본다.

성능/효과

4는 초기실험점(붉은 점) 9개를 시작으로 EI&g 방법과 WB2&g 방법으로 탐색한 실험점을 나타낸 것이다. 18회의 샘플링만으로도 목적함수와 구속함수를 잘 표현하면서 전역해 근처를 집중적으로 탐색하는 것을 알 수 있었다.
DOT는 총 57회의 CFD 해석을 통하여 최적해를 찾았지만 EGO 방법을 이용한 EI&g(p=2)와 WB2&g(p=2)는 각각 21회, 20회의 CFD 계산 결과만으로 DOT 가 달성한 목적함수 감소율(-25.97%)에 준하는 감소율을 각각 -25.26%, -25.69% 달성하였다.
첫째 Relative EI 값이 0.0005 보다 작은 경우가‘설계변수 수 + 1회’ 만큼 발생하면 EGO 최적화가 종료된다[18].
69% 달성하였다. 또한 탐색된 설계변수로 RAE2822 표면의 압력계수를 그려보면 Fig.10과 같이 DOT 결과와 거의 일치함을 알 수 있다.
최대우도추정법으로 변수값을 추정하여 p=1.6884, Θ=0.2989을 가지는 크리깅 모델이 생성되었고 Fig. 12에 나타낸 것처럼 noisy 한 데이터를 전부 지나면서도 실제함수의 개형은 유지되고 있는 것을 볼 수 있다.
Three-step 탐색법((d)EF+GEI+GEI&g)의 정확도를 물리량 측면에서 살펴보기 위하여 Fig.16과 같이 익형 주위의 압력 계수를 비교해 본 결과, 기울기 기반 최적설계인 DOT 결과와 거의 일치된 압력계수 선도를 볼 수 있다.
특히 이 중 (d)EF+GEI+GEI&g 조합으로 얻은 크리깅 모델이제일 실제함수와 근사하였고, 목적함수 감소율 또한 –25.7%로 기울기 기반 최적설계인 DOT 결과와 거의 일치된 결과를 보였다.
16과 같이 익형 주위의 압력 계수를 비교해 본 결과, 기울기 기반 최적설계인 DOT 결과와 거의 일치된 압력계수 선도를 볼 수 있다. 또한 Fig.17과 같이 three-step 탐색법으로 설계된 익형은 앞전 곡률반경이 작아져 앞전에서 압력강하(pressure peak)를 초기 형상보다 더 크게 만들어 주었지만 앞전을 지나 시위의 50% 까지 곡률반경이 커짐으로써 유속이 느려지고 압력회복이 천천히 이루어져 충격파를 약화시킬 수 있었다.
크리깅 모델의 왜곡을 방지하기 위하여 interpolation(p=free) 크리깅 모델을 도입하였지만 이로 인하여 EGO 해 탐색이 협소한 유용영역에 국한되어 해의 정확도가 감소되는 부작용이 발생되었다. 이에 three-step 탐색법을 제안하여 크리깅 모델의 왜곡을 방지하면서도 전역해의 정확도도 향상된 결과를 얻을 수 있었다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	EGO 방법은 무엇을 근간으로 고안되었는가?	EGO 방법은 단순히 근사모델(surrogate 또는 metamodel)을 이용하여 실제 설계 공간을 근사하여 전역해를 구하는 것이 아니라 확률 개념을 도입하여 전역해가 존재할 가능성이 큰 지역을 지속적으로 탐색하는 방법이다. 이와 같은 EGO 방법은 측정오차가 없는 전산실험(computer experiment)용 크리깅 모델(kriging model 또는 Design and Analysis of Computer Experiments; DACE)[14]을 근간으로 고안되었다. 회귀식과 실제함수값 간의 편차들은 서로 독립적이지 않고 상관관계(correlation)를 가진다는 가정에서 출발한 크리깅 근사모델은 미지점(untried point)에 대한 함수값(평균)을 제공하는 것 뿐만 아니라 그 함수값이 가지는 평균제곱오차(mean square error; MSE)도 예측해 준다[12].
	EGO 최적화 기법 두 단계는?	EGO 최적화 기법은 크게 두 단계로 나눌 수 있다[11]. 첫번째 단계로 Latin hypercube design(LHD)과 같은 초기 실험점의 측정값을 이용하여 크리깅 모델을 생성하고, 두 번째 단계로 그 크리깅 모델을 활용하여 ISC 함수를 계산하게 된다. 최대 또는 최소 ISC 값을 가지는 미지점을 차기 실험점으로 선택하게 된다.
	EGO 방법이란?	이와 같은 계산부하가 큰 전산해석을 이용하여 전역 최적해를 효율적으로 구하기 위한 방법의 일환으로 Efficient Global Optimization (EGO) 방법이 개발되었다[3,4]. EGO 방법은 단순히 근사모델(surrogate 또는 metamodel)을 이용하여 실제 설계 공간을 근사하여 전역해를 구하는 것이 아니라 확률 개념을 도입하여 전역해가 존재할 가능성이 큰 지역을 지속적으로 탐색하는 방법이다. 이와 같은 EGO 방법은 측정오차가 없는 전산실험(computer experiment)용 크리깅 모델(kriging model 또는 Design and Analysis of Computer Experiments; DACE)[14]을 근간으로 고안되었다.

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용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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