토양 오염원의 이동에 관한 연구 (감쇠항이 있는 3차원 이송-확산 방정식의 수치모형 개발) A Study on the Transport of Soil Contaminant (A Development of FDM Model for 3-D Advection-Diffusion Equation with Decay Term)원문보기
오염물질의 이동 현상을 모의하기 위하여, 감쇠항이 있는 3차원 이송-확산 방정식의 수치모형이 개발되었다. 개발된 모형은 유한차분 모형으로서 시간단계의 가중치 ${\alpha}$를 포함하는 음해법(implicit finite difference method)과, 반복법인 Gauss-Seidel SOR(successive over relaxation)이 사용되었다. 모형은 보다 단순화된 가정 하에서 존재하는 두 가지의 해석적인 해와 비교되었다. 그 결과 Peclet number가 5~20 이하에서는 수치 분산의 영향이 크지 않았고 작은 오차범위 내에서 해석적인 해와 동일하였다. 또한 가중치 ${\alpha}$의 변화에 대한 모형의 거동은 Crank-Nicolson 모형(${\alpha}$=0.5)이 fully-implicit 모형(${\alpha}$=1)보다 해석적인 해에 접근함을 보여주었다. 모형의 검증과 실효성 제고를 위하여, mass balance를 검토하였다. 즉, 이송, 확산 및 감쇠항 각각에 대한 질량 이동을 산출하였으며, 그 결과 질량 이동의 계산 오차는 약 3% 이내였다. 본 모형은 감쇠 과정이 수반되는 3차원 이송-확산의 농도분포와 질량이동을 산출할 수 있으며 다양한 경계조건을 설정함으로서 현장조건을 반영할 수 있다. 그러나본 모형은 고정격자를 기반으로하는 유한차분 모형이므로 Peclet number가 비교적 작게 나타날 수 있는 토양 및 지하수계의 오염물질 이동 등의 문제에서 유용하게 적용될 수 있을 것으로 사료된다.
오염물질의 이동 현상을 모의하기 위하여, 감쇠항이 있는 3차원 이송-확산 방정식의 수치모형이 개발되었다. 개발된 모형은 유한차분 모형으로서 시간단계의 가중치 ${\alpha}$를 포함하는 음해법(implicit finite difference method)과, 반복법인 Gauss-Seidel SOR(successive over relaxation)이 사용되었다. 모형은 보다 단순화된 가정 하에서 존재하는 두 가지의 해석적인 해와 비교되었다. 그 결과 Peclet number가 5~20 이하에서는 수치 분산의 영향이 크지 않았고 작은 오차범위 내에서 해석적인 해와 동일하였다. 또한 가중치 ${\alpha}$의 변화에 대한 모형의 거동은 Crank-Nicolson 모형(${\alpha}$=0.5)이 fully-implicit 모형(${\alpha}$=1)보다 해석적인 해에 접근함을 보여주었다. 모형의 검증과 실효성 제고를 위하여, mass balance를 검토하였다. 즉, 이송, 확산 및 감쇠항 각각에 대한 질량 이동을 산출하였으며, 그 결과 질량 이동의 계산 오차는 약 3% 이내였다. 본 모형은 감쇠 과정이 수반되는 3차원 이송-확산의 농도분포와 질량이동을 산출할 수 있으며 다양한 경계조건을 설정함으로서 현장조건을 반영할 수 있다. 그러나본 모형은 고정격자를 기반으로하는 유한차분 모형이므로 Peclet number가 비교적 작게 나타날 수 있는 토양 및 지하수계의 오염물질 이동 등의 문제에서 유용하게 적용될 수 있을 것으로 사료된다.
To simulate the transport of pollutant, a numeric model for the advection-diffusion equation with the decay term is developed. This is finite-difference model using the implicit method (with the weight factor ${\alpha}$) and Gauss-Seidel SOR(successive over-relaxation). This model is comp...
To simulate the transport of pollutant, a numeric model for the advection-diffusion equation with the decay term is developed. This is finite-difference model using the implicit method (with the weight factor ${\alpha}$) and Gauss-Seidel SOR(successive over-relaxation). This model is compared to the analytical solutions (of simpler dimensional or boundary conditions), and in the condition of Peclet number < 5~20, the result shows stable condition, and Crank-Nicolson method (${\alpha}$=0.5) shows the more accurate results than fully-implicit method (${\alpha}$=1). The mass of advection, diffusion and decay is calculated and the error of mass balance is less than 3%. This model can evaluate the 3-D concentrations of the advection-diffusion and decay problems, but this model uses only the finite-difference method with the fixd grid system, so it can be effectively used in the problems with small Peclet numbers like the pollutant transport in groundwater.
To simulate the transport of pollutant, a numeric model for the advection-diffusion equation with the decay term is developed. This is finite-difference model using the implicit method (with the weight factor ${\alpha}$) and Gauss-Seidel SOR(successive over-relaxation). This model is compared to the analytical solutions (of simpler dimensional or boundary conditions), and in the condition of Peclet number < 5~20, the result shows stable condition, and Crank-Nicolson method (${\alpha}$=0.5) shows the more accurate results than fully-implicit method (${\alpha}$=1). The mass of advection, diffusion and decay is calculated and the error of mass balance is less than 3%. This model can evaluate the 3-D concentrations of the advection-diffusion and decay problems, but this model uses only the finite-difference method with the fixd grid system, so it can be effectively used in the problems with small Peclet numbers like the pollutant transport in groundwater.
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문제 정의
그러나 이와 같은 많은 노력에도 불구하고, 특히 국내에서는 3차원 지배방정식의 수치모형 연구 및 개발은 미미한 실정으로서, 이는 외국의 상업적 모형을 맹목적으로 사용하는 위험성을 불식시키지 못하는 요인이 되고 있다. 본 논문에서는 이러한 문제점에 초점을 두고 오염물질 이동 현상에 대한 3차원 편미분 방정식인 다음 식에 대한 유한차분 수치모형을 수립하고, 모형의 검증과 적용성을 연구, 제시하였다.
본 논문에서는 편미분 방정식의 각 항에 관련한 질량이동량을 산출하는 내용을 포함하여 프로그램을 개발하였다. 즉, 모형의 검증과 실효성의 제고를 위하여 이송, 확산 및 감쇠항 각각에 대한 질량 이동을 산출하여 비교하였다.
, 1997). 연구자들은 이론적인 모형의 수립과 실험을 통하여 토양 내에서의 오염 물질 이동현상을 파악하기 위해서 노력해왔다. 예를 들면, Corapcioglu and Haridas (1985)는 dispersion, convection, Brownian motion 등의 현상을 이론적으로 제시하였으며, Taylor and Jaffe (1990a)는 바이오 필름(bio-film) 모형에 대하여 연구하고, 바이오 필름의 기하학적인 모양이 확산 계수를 변화시킨다는 이론 체계를 수립하였다.
제안 방법
Table 2에서 영역의 모든 경계면은 natural condition(ex: Ci,j,k=Ci+1,j,k)로 설정하였고, 초기조건으로 4개의 격자점에서 모두 20,000g을 투입하였다.
본 연구의 수치모형을 해석적인 해 Eq. (12)와 비교하기 위하여 Fig. 3으로 표시되는 영역의 일정한 위치에 질량 M을 투입한 후 그 결과를 산출하였다. 단, 수치격자에 투여되는 질량은
본 연구의 3차원 수치모형의 결과를 1차원 해석적인 해를 나타낸 Eq. (8)과 비교하기 위하여 Fig. 3에서 제시된 격자에서 좌측 연직평면의 한 점(i=1, j=15, k=15)을 경계 조건 지점으로 하여 이곳의 농도를 일정하게 유지하고 또한 y, z 방향으로의 유속을 0으로 놓음으로서 1차원의 형태를 유지하도록 하였다. Fig.
오염 물질의 이동 현상을 모의하기 위하여, 감쇠항이 있는 3차원 이송-확산 방정식의 수치모형을 구성하고 모형의 검증, 및 수치실험을 수행하였다. 개발된 수치모형은 유한차분 모형으로서, 시간단계 n과 n+1에서의 가중치 α 를 포함하는 음해법(implicit finite difference method)과, 반복법인 Gauss-Seidel SOR (successive over relaxation)이 사용되었다.
본 논문에서는 편미분 방정식의 각 항에 관련한 질량이동량을 산출하는 내용을 포함하여 프로그램을 개발하였다. 즉, 모형의 검증과 실효성의 제고를 위하여 이송, 확산 및 감쇠항 각각에 대한 질량 이동을 산출하여 비교하였다. 그 결과 대부분의 경우 약 3%의 오차범위에서 mass balance가 일치함을 보였으며, 이것은 3차원 수치모형의 불확실성을 고려하여 만족할 만한 결과로 생각된다.
데이터처리
수치 모형의 검증을 위해서는 그 결과를 단순화된 가정 하에 존재하는 2가지의 해석적인 해와 비교하였다. 먼저 경계면에서 일정한 농도를 유지하는 조건에 대한 경우, Peclet number가 약 20 이하에서는 수치해법에 의한 해는 작은 오차범위 내에서 해석적인 해와 동일함을 보여주었다.
이론/모형
개발된 수치모형은 유한차분 모형으로서, 시간단계 n과 n+1에서의 가중치 α 를 포함하는 음해법(implicit finite difference method)과, 반복법인 Gauss-Seidel SOR (successive over relaxation)이 사용되었다.
(6)는 직접해법(direct method) 혹은 반복법(iterative method) 등을 이용하여 그 해를 구할 수 있다. 본 논문에서는 반복법의 일종인 Gauss-Seidel SOR (successive over relaxation)을 이용하기로 한다. 이 방법은 미지수 #에 대해서만 반복적인 계산을 수행하되, 여타 미지수의 값은 계산 과정에서의 최근값을 사용한다(Lee, 1995).
한편, 국내에서의 관련 연구를 살펴보면, 이상일 등(2006)은 강변 여과 과정에서의 오염 물질(용존성 유기 물질과 박테리아 등) 이동을 모의하기 위한 수학적 모델을 제시하였다. 수치모형의 연구와 연관하여, 유명관과 전경수(1999)는 1차원 이송-확산 방정식에 대하여 이송에 대하여는 Holly-Preissmann 기법을, 확산에는 Crank-Nicolson 방법을, 감쇠에 대하여는 해석적 방법을 각각 적용하였다. 이정규와 김주영(2000)은 2차원 이송확산 방정식에 대하여 변동 유속장 처리를 원활하게 하기 위한 특성곡선법과, Peclet number (Sun, 1996)의 제한을 완화할 수 있는 방법을 제시하였다.
성능/효과
(6)에서의 가중치 α의 변화에 대한 모형의 거동에 대하여서는 α=0.5인 Crank-Nicolson 방법이 α=1인 fully-implicit method(완전 음해법)보다 해석적인 해에 접근함을 보여주었다.
즉, 모형의 검증과 실효성의 제고를 위하여 이송, 확산 및 감쇠항 각각에 대한 질량 이동을 산출하여 비교하였다. 그 결과 대부분의 경우 약 3%의 오차범위에서 mass balance가 일치함을 보였으며, 이것은 3차원 수치모형의 불확실성을 고려하여 만족할 만한 결과로 생각된다. 여기서 각 항에 연관된 질량 이동량의 산출은 분석을 위하여 중요한 요소이며, 모형의 수치적 결과를 이해하는 유효한 지침이 될 수 있다.
그리고 time=0에서 time=113 days에 이르기까지 질량 비율(ratio)을 나타내었다. 그 결과 질량비율은 초기 시점의 값인 1에서부터 점차 편기되는 양을 나타내지만 그 오차(1- ratio)는 2%를 넘지 않음을 보여준다.
그리고 time=0에서 time=110 days에 이르기까지 질량 비율(ratio)을 나타내었다. 그 결과 질량비율은 초기 시점의 값인 1에서부터 점차 편기되는 양을 나타내지만 그 오차(1- ratio)는 3%를 넘지 않음을 보여준다.
후속연구
본 연구에 의해 개발된 3차원 유한차분 수치모형은 이송항이 크지 않은 오염물질의 이동현상(예를 들면 토양 및 지하수계에서의 흐름, 확산, 소멸 및 성장 등)에서, 농도분포의 산출과 질량이동 계산에 유용하게 사용될 수 있을 것으로 사료된다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
수치 모형은 어떻게 구분할 수 있는가?
(1994)은 오염 물질(입자에 고착되어 있거나 흐름에 부유되어 있는)의 성장에 한도를 두는 모형을 이용하여 수치적인 해를 구하고 이를 실험치와 비교하는 결과를 제시하였다. 수치 모형과 관련하여, 수치모형은 2차원 모형과 3차원 모형, 정상류 모형과 전이류 모형, 혹은 FEM 모형, FDM 모형 등으로 구분할 수 있다. 모형의 발전 과정을 살펴보면 Gupta and Tanji (1976)는 다공성 매체에서의 유체 흐름에 대한 FEM 모형을 개발하였으며, Wang and Anderson (1982)는 FEM 및 FDM의 일반적인 해법을, Pinder and Gray (1997)는 지표 및 지하 흐름에 대한 FEM 모형의 해법을 제시하였다.
오염물질의 이동 현상을 모의하기 위하여, 감쇠항이 있는 3차원 이송-확산 방정식의 수치모형이 개발된 것은 무엇인가?
오염물질의 이동 현상을 모의하기 위하여, 감쇠항이 있는 3차원 이송-확산 방정식의 수치모형이 개발되었다. 개발된 모형은 유한차분 모형으로서 시간단계의 가중치 ${\alpha}$를 포함하는 음해법(implicit finite difference method)과, 반복법인 Gauss-Seidel SOR(successive over relaxation)이 사용되었다. 모형은 보다 단순화된 가정 하에서 존재하는 두 가지의 해석적인 해와 비교되었다. 그 결과 Peclet number가 5~20 이하에서는 수치 분산의 영향이 크지 않았고 작은 오차범위 내에서 해석적인 해와 동일하였다.
토양과 지하수를 보존하는 문제는 어떤 차원에서 중요한 문제로 인식되고 있는가?
최근 산업의 발달과 도시화로 인하여 가정과 축산 농가, 유류저장 탱크 혹은 공장 등에서 배출하는 오염 물질의 양이 크게 증가하고 새로운 유해 물질도 증가함으로서 토양과 지하수의 오염이 심화되어 가고 있다. 토양과 지하수를 보존하는 문제는 이제 환경 보전의 차원에서 중요한 문제로 인식되고 있다. 오염 물질의 이동현상에 관한 수학적 모형은 여러 연구자들에 의해 다양하게 제시되었으나 일반적으로는 이송-확산(advection-diffusion) 방정식에 오염 물질이 흙 입자에 흡착(혹은 탈착) 하는 것과 오염물질 자체의 감쇠(혹은 성장)를 나타내는 항목을 포함시키는 것으로서 기술 된다(Baveye and Valocchi, 1989; Tan et al.
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