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문제 정의
- 본 논문에서는 블랙-숄즈 모형보다 기초자산의 움직임을 더 충실히 재현해내는 것으로 알려진 레비모형 중에서 Variance Gamma 모형을 KOSPI 200 자료에 적합 시켜 보았다. 자료를 적합 시키고 우도비 검정을 실시한 결과, 위험중립측도가 아닌 실제확률측도에서 KOSPI 200은 블랙-숄즈모형보다 대칭적인 Variance Gamma 과정을 더 잘 따르고, 위험중립측도 하에서는 Variance Gamma 모형을 따름을 확인할 수 있었다.
- 실제확률측도와 위험중립측도 하에서 블랙-숄즈 모형과 Variance Gamma 모형에서의 최대우도추정량을 구하고 우도비 검정을 실시하였다. 실제확률측도는 시장에서 관측되는 확률측도를 의미하므로 이 측도에서의 우도비 검정은 주식시장에서 관측되는 기초자산의 움직임이 어떤 모형에 더 잘 적합되는 가를 확인하고자 하는 것이고, 위험중립측도는 실제확률측도와 동치이면서 할인된 기초자산의 가격을 마팅게일로 만들어 옵션의 가격결정을 위해 사용되는 측도이므로 이 측도에서의 우도비 검정은 관측되는 옵션가격이 어떤 모형가격에 더 가까운지를 확인하고자 하는 것이다. 또한, 최대우도 추정량을 이용하여 Variance Gamma 모형과 블랙-숄즈 모형에서의 옵션가격을 구하고 APE(average absolute error as a percentage of the mean price), AAE(average absolute error), ARPE(average relative percentage error) 통계량을 계산하여 Variance Gamma 모형이 블랙-숄즈 모형보다 옵션 가격을 더 잘 추정하는지를 확인하였다.
- 이에 본 논문에서는 Variance Gamma 모형이 국내 주식시장에서의 기초자산의 움직임을 블랙-숄즈 모형에 비하여 더 충실히 재현해내는지 알아보기 위해 KOSPI 200 지수 자료와 옵션 자료를 이용하여 분석해 보고자 한다. 실제확률측도와 위험중립측도 하에서 블랙-숄즈 모형과 Variance Gamma 모형에서의 최대우도추정량을 구하고 우도비 검정을 실시하였다.
- 이제, 금융시장에서의 기초자산의 모형화를 생각해보자. 기초자산의 움직임이 Variance Gamma 과정을 따를 때, 그 확률과정은 블랙-숄즈 모형에서 브라운 운동의 역할을 Variance Gamma 과정으로 대체함으로써 다음과 같이 쓸 수 있다.
제안 방법
- 1)과 같이 옵션가격을 이용하여 우도를 계산하므로 훨씬 많은 양의 데이터를 사용하게 된다. 그래서 1주일 단위로 보더라도 충분한 데이터가 존재하게 되어 추정과 검정을 주단위로 실시하였다. 최대우도추정량은 Jacquier와 Jarrow(1995), Elliott 등 (1995)과 Madan 등 (1998)에서 사용된 #의 오차 모형을 채택하여 구하였으며, 식에서 wi는 i번째 옵션 가격이고, #은 옵션 가격 결정식을 이용하여 구해진 i번째 모형가격이다.
- 또한, Variance Gamma 모형이 블랙-숄즈 모형의 문제로 꼽히는 변동성 스마일의 문제 등을 교정해주는지 확인하기 위하여 가격오차를 종속변수로 하고, 통화성, 통화성의 제곱과 만기일을 설명변수로 하는 회귀분석을 실시하였다. 그리고 외표본에서의 성능을 알아보기 위하여, 앞에서 추정된 105개의 모수 중 2009년 12월 마지막 주의 자료에서 추정된 모수를 이용하여 2010년 1월 첫째 주의 옵션 가격을 추정하고, 모형의 비교를 위하여 앞에서 언급한 세 통계량을 계산하였다.
- 기초자산의 가격이 어떤 확률과정을 더 잘 따르는지 살펴보기 위하여 로그 정규분포, 대칭적인 Variance Gamma 그리고 Variance Gamma의 밀도함수를 이용하여 최대우도추정량을 구하고, 우도비 검정을 실시하였다. 사용된 자료는 2008년 1월부터 2009년 12월까지 총 503일 간의 일별 KOSPI 200지수의 종가자료이다.
- 이제까지는 추정된 모수를 이용하여 세 모형의 옵션 가격을 계산 후, 이를 이용하여 모형의 성능을 비교하였다. 다음으로는 2009년 12월 마지막 주의 자료를 이용하여 추정된 모수로 2010년 1월 첫째 주의 자료를 이용하여 모형의 적합성을 파악해 보도록 하겠다. 2010년 1월 첫째 주의 옵션 가격 추정을 위해 사용한 모수는 표 3.
- 두 모형에서 옵션 가격추정의 성능을 비교하기 위하여 크게 두 가지를 고려하여 보았다. 우선, 앞에서 추정된 모수를 이용하여 세 모형에서 옵션 가격을 추정하고, 모형 비교를 위하여 ARPE, APE, AAE 통계량을 계산하였다.
- 또한, 최대우도 추정량을 이용하여 Variance Gamma 모형과 블랙-숄즈 모형에서의 옵션가격을 구하고 APE(average absolute error as a percentage of the mean price), AAE(average absolute error), ARPE(average relative percentage error) 통계량을 계산하여 Variance Gamma 모형이 블랙-숄즈 모형보다 옵션 가격을 더 잘 추정하는지를 확인하였다. 마지막으로 시장가격과 모형가격의 잔차를 종속변수로 하고, 통화성, 통화성의 제곱 그리고 만기일을 설명변수로 하는 회귀분석을 시행하여 Variance Gamma 모형에서 변동성 스마일 현상이 교정되는지를 살펴보았다.
- 이에 본 논문에서는 Variance Gamma 모형이 국내 주식시장에서의 기초자산의 움직임을 블랙-숄즈 모형에 비하여 더 충실히 재현해내는지 알아보기 위해 KOSPI 200 지수 자료와 옵션 자료를 이용하여 분석해 보고자 한다. 실제확률측도와 위험중립측도 하에서 블랙-숄즈 모형과 Variance Gamma 모형에서의 최대우도추정량을 구하고 우도비 검정을 실시하였다. 실제확률측도는 시장에서 관측되는 확률측도를 의미하므로 이 측도에서의 우도비 검정은 주식시장에서 관측되는 기초자산의 움직임이 어떤 모형에 더 잘 적합되는 가를 확인하고자 하는 것이고, 위험중립측도는 실제확률측도와 동치이면서 할인된 기초자산의 가격을 마팅게일로 만들어 옵션의 가격결정을 위해 사용되는 측도이므로 이 측도에서의 우도비 검정은 관측되는 옵션가격이 어떤 모형가격에 더 가까운지를 확인하고자 하는 것이다.
- 옵션의 기초자산 KOSPI 200 지수를 행사가격으로 나눈 통화성에 따른 모형의 잔차를 살펴보도록 하겠다. Buraschi와 Jackwerth (2001)을 참고하여 통화성은 그 값을 기준으로 5가지로 구분하였다.
- 두 모형에서 옵션 가격추정의 성능을 비교하기 위하여 크게 두 가지를 고려하여 보았다. 우선, 앞에서 추정된 모수를 이용하여 세 모형에서 옵션 가격을 추정하고, 모형 비교를 위하여 ARPE, APE, AAE 통계량을 계산하였다. 각각의 통계량은 다음과 같이 계산된다.
- 311이었다. 위험중립측도 하에서 기초자산이 블랙-숄즈, 대칭적인 Variance Gamma 그리고 Variance Gamma 세 모형 중 어느 모형을 따르는지 살펴보기 위하여 식 (3.1)을 이용하여 우도비 검정을 실시하였다. 그 결과는 표 3.
- 위험중립측도 하에서는 각 주별로 모수의 최대우도추정량을 구하였다. 실제확률측도에서는 주식의 일별 종가를 이용하므로 데이터의 양이 많지 않으나, 위험중립측도에서는 식 (3.
- 이제까지는 추정된 모수를 이용하여 세 모형의 옵션 가격을 계산 후, 이를 이용하여 모형의 성능을 비교하였다. 다음으로는 2009년 12월 마지막 주의 자료를 이용하여 추정된 모수로 2010년 1월 첫째 주의 자료를 이용하여 모형의 적합성을 파악해 보도록 하겠다.
대상 데이터
- 기초자산의 가격이 어떤 확률과정을 더 잘 따르는지 살펴보기 위하여 로그 정규분포, 대칭적인 Variance Gamma 그리고 Variance Gamma의 밀도함수를 이용하여 최대우도추정량을 구하고, 우도비 검정을 실시하였다. 사용된 자료는 2008년 1월부터 2009년 12월까지 총 503일 간의 일별 KOSPI 200지수의 종가자료이다. 기초자산이 Variance Gamma 과정을 따르는 경우에는 식 (2.
데이터처리
- 각 모수에 대해 t-검정을 하여 p-value가 .01이상이고 .05미만의 값을 갖는 경우에는 ∗ 표시를 하였고, p-value가 .01이하인 경우에는 ∗∗ 표시를 하였다.
- 또한, Variance Gamma 모형이 블랙-숄즈 모형의 문제로 꼽히는 변동성 스마일의 문제 등을 교정해주는지 확인하기 위하여 가격오차를 종속변수로 하고, 통화성, 통화성의 제곱과 만기일을 설명변수로 하는 회귀분석을 실시하였다. 그리고 외표본에서의 성능을 알아보기 위하여, 앞에서 추정된 105개의 모수 중 2009년 12월 마지막 주의 자료에서 추정된 모수를 이용하여 2010년 1월 첫째 주의 옵션 가격을 추정하고, 모형의 비교를 위하여 앞에서 언급한 세 통계량을 계산하였다.
- 실제확률측도는 시장에서 관측되는 확률측도를 의미하므로 이 측도에서의 우도비 검정은 주식시장에서 관측되는 기초자산의 움직임이 어떤 모형에 더 잘 적합되는 가를 확인하고자 하는 것이고, 위험중립측도는 실제확률측도와 동치이면서 할인된 기초자산의 가격을 마팅게일로 만들어 옵션의 가격결정을 위해 사용되는 측도이므로 이 측도에서의 우도비 검정은 관측되는 옵션가격이 어떤 모형가격에 더 가까운지를 확인하고자 하는 것이다. 또한, 최대우도 추정량을 이용하여 Variance Gamma 모형과 블랙-숄즈 모형에서의 옵션가격을 구하고 APE(average absolute error as a percentage of the mean price), AAE(average absolute error), ARPE(average relative percentage error) 통계량을 계산하여 Variance Gamma 모형이 블랙-숄즈 모형보다 옵션 가격을 더 잘 추정하는지를 확인하였다. 마지막으로 시장가격과 모형가격의 잔차를 종속변수로 하고, 통화성, 통화성의 제곱 그리고 만기일을 설명변수로 하는 회귀분석을 시행하여 Variance Gamma 모형에서 변동성 스마일 현상이 교정되는지를 살펴보았다.
- 위와 같은 사실로 미루어보아 Variance Gamma 모형을 이용하는 경우에 블랙-숄즈 모형에 비하여 통화성에 따른 변동성 스마일 현상이 다소 줄어들 것을 기대할 수 있다. 실제 통계적으로 Variance Gamma 모형에서 이와 같은 현상이 줄어드는지 확인하기 위하여 모형의 잔차를 종속변수로 하고, 통화성, 통화성의 제곱 그리고 만기일을 설명변수로 하는 선형회귀분석을 시행하였다. Bates (1995)는 변동성 스마일 현상이 통화성과 관련이 있음을 보여주었고, 일반적으로 외가격, 내가격 구간에서 그리고 만기일이 길어질수록 변동성이 커지는 것으로 알려져 있기 때문에 통화성, 통화성의 제곱과 만기일을 설명변수로 선택하였다.
이론/모형
- 최대우도추정량은 Jacquier와 Jarrow(1995), Elliott 등 (1995)과 Madan 등 (1998)에서 사용된 #의 오차 모형을 채택하여 구하였으며, 식에서 wi는 i번째 옵션 가격이고, #은 옵션 가격 결정식을 이용하여 구해진 i번째 모형가격이다.
성능/효과
- 4에 제시되어 있다. ARPE 통계량의 경우 Variance Gamma 모형은 블랙-숄즈 모형에 비하여 45%정도 낮아졌으며, APE와 AAE 통계량 역시 블랙-숄즈 모형에 비하여 Variance Gamma의 경우에 값이 더 작은 경향이 있었다. 이로 보아 블랙-숄즈 모형보다 Variance Gamma 모형에서 더 나은 적합이 이루어졌음을 알 수 있다.
- 3에 제시되어 있다. 귀무가설을 블랙-숄즈, 대립가설을 대칭적인 Variance Gamma로 하는 우도비 검정을 총 105주의 데이터에 대해 실시한 결과 1% 유의수준에서 63.54%가 기각되었다. 또한, 귀무가설을 블랙-숄즈, 대립가설을 Variance Gamma로 하는 우도비 검정 결과 1% 유의수준에서 97.
- 또한, 위험중립측도에서 Variance Gamma 모형의 모수를 2008년 1월부터 2009년 12월까지 총 105주의 자료를 이용하여 최대우도추정법으로 추정하고 모형 가격을 계산한 결과, Variance Gamma의 모형가격이 블랙-숄즈 모형 가격보다 내표본과 외표본의 경우 모두 실제 시장가격과 더 가까움을 확인할 수 있었다. 그러나 통화성, 통화성의 제곱, 그리고 만기일을 설명변수로 하고, 모형가격의 잔차를 종속변수로 하는 회귀분석의 결과 Variance Gamma 모형가격이 블랙-숄즈 모형의 단점인 변동성 스마일 현상을 해결하지는 못하고 있음을 알 수 있었다.
- 이제까지의 결과를 통해 Variance Gamma 모형이 블랙-숄즈 모형보다 시장가격을 더 정확히 적합해주는 경향이 있다는 것을 확인 할 수 있다. 그러나 회귀분석 결과로 보아, Variance Gamma 모형이 블랙-숄즈 모형의 단점으로 꼽히는 변동성 스마일 현상을 교정해주지는 못하는 것으로 판단된다.
- 또한, S&P500 선물옵션자료를 이용하여 Variance Gamma 모형가격이 블랙-숄즈 모형가격보다 시장가격에 더 가깝게 추정되며, 블랙-숄즈 모형가격과 시장가격의 잔차가 통화성, 만기일, 그리고 통화성의 제곱과 유의한 상관관계가 있는데 반하여 Variance Gamma 모형은 이러한 상관관계를 감소시킬 수 있음을 보였다.
- 또한, Variance Gamma의 로그 우도가 대칭적인 Variance Gamma에 비하여 향상되지 않았으며, 모수 θ가 0과 유의미하게 다르지 않다.
- 54%가 기각되었다. 또한, 귀무가설을 블랙-숄즈, 대립가설을 Variance Gamma로 하는 우도비 검정 결과 1% 유의수준에서 97.92%가 기각되었다. 특히, 귀무가설을 대칭적인 Variance Gamma, 대립가설을 Variance Gamma로 하는 검정을 한 결과 1% 유의수준에서 95.
- 자료를 적합 시키고 우도비 검정을 실시한 결과, 위험중립측도가 아닌 실제확률측도에서 KOSPI 200은 블랙-숄즈모형보다 대칭적인 Variance Gamma 과정을 더 잘 따르고, 위험중립측도 하에서는 Variance Gamma 모형을 따름을 확인할 수 있었다. 또한, 위험중립측도에서 Variance Gamma 모형의 모수를 2008년 1월부터 2009년 12월까지 총 105주의 자료를 이용하여 최대우도추정법으로 추정하고 모형 가격을 계산한 결과, Variance Gamma의 모형가격이 블랙-숄즈 모형 가격보다 내표본과 외표본의 경우 모두 실제 시장가격과 더 가까움을 확인할 수 있었다. 그러나 통화성, 통화성의 제곱, 그리고 만기일을 설명변수로 하고, 모형가격의 잔차를 종속변수로 하는 회귀분석의 결과 Variance Gamma 모형가격이 블랙-숄즈 모형의 단점인 변동성 스마일 현상을 해결하지는 못하고 있음을 알 수 있었다.
- 로그 우도를 이용한 우도비 검정결과, 유의확률 < 0.01로 블랙-숄즈 모형보다 대칭적인 Variance Gamma 모형이 일별 로그 수익률에 더 적합함을 볼 수 있었다.
- Bates (1995)는 변동성 스마일 현상이 통화성과 관련이 있음을 보여주었고, 일반적으로 외가격, 내가격 구간에서 그리고 만기일이 길어질수록 변동성이 커지는 것으로 알려져 있기 때문에 통화성, 통화성의 제곱과 만기일을 설명변수로 선택하였다. 선형회귀분석 결과 각 설명변수의 회귀계수가 유의하지 않다면, 블랙-숄즈 모형에서 문제가 되었던 변동성 스마일 현상이 Variance Gamma 모형을 도입함으로써 다소 해결이 된다고 할 수 있다.
- 이는 모형가격과 시장가격의 잔차가 이들 설명변수와 연관되어 있음을 시사한다. 위와 같은 회귀분석 결과로 보아, 블랙-숄즈 모형의 단점으로 언급되는 변동성 스마일 현상이 Variance Gamma 모형에서 교정되지 않았음을 확인할 수 있다. 이와 같은 결과는 S&P 500 자료를 이용하여 동일한 회귀분석을 실시한 Madan 등 (1998)에서의 결과와 상이하다.
- 위의 결과에 비추어 볼 때, Variance Gamma 확률과정은 블랙-숄즈 모형에 비하여 옵션의 가격을 더 잘 적합 시키지만, 한국 주식시장에서는 변동성 스마일 등 블랙-숄즈 모형의 단점을 완전히 해결하지는 못한다는 사실을 확인할 수 있었다. 이는 미국 주식시장에서와 달리 한국 주식시장에서 변동성 스마일 현상을 해결하기 위해서는 Variance Gamma 모형보다는 확률변동성을 포함하는 레비확률과정 등의 다른 대안을 찾아야함을 시사한다고 하겠다.
- 또한, Variance Gamma의 로그 우도가 대칭적인 Variance Gamma에 비하여 향상되지 않았으며, 모수 θ가 0과 유의미하게 다르지 않다. 이로부터 KOSPI 200 지수가 통계적으로 블랙-숄즈 모형보다 대칭적 Variance Gamma를 더 잘 따른 다고 할 수 있으나, 대칭적인 Variance Gamma 확률과정보다 Variance Gamma 확률과정을 더 잘 따른다는 결론은 내릴 수 없다.
- 이제까지의 결과를 통해 Variance Gamma 모형이 블랙-숄즈 모형보다 시장가격을 더 정확히 적합해주는 경향이 있다는 것을 확인 할 수 있다. 그러나 회귀분석 결과로 보아, Variance Gamma 모형이 블랙-숄즈 모형의 단점으로 꼽히는 변동성 스마일 현상을 교정해주지는 못하는 것으로 판단된다.
- 본 논문에서는 블랙-숄즈 모형보다 기초자산의 움직임을 더 충실히 재현해내는 것으로 알려진 레비모형 중에서 Variance Gamma 모형을 KOSPI 200 자료에 적합 시켜 보았다. 자료를 적합 시키고 우도비 검정을 실시한 결과, 위험중립측도가 아닌 실제확률측도에서 KOSPI 200은 블랙-숄즈모형보다 대칭적인 Variance Gamma 과정을 더 잘 따르고, 위험중립측도 하에서는 Variance Gamma 모형을 따름을 확인할 수 있었다. 또한, 위험중립측도에서 Variance Gamma 모형의 모수를 2008년 1월부터 2009년 12월까지 총 105주의 자료를 이용하여 최대우도추정법으로 추정하고 모형 가격을 계산한 결과, Variance Gamma의 모형가격이 블랙-숄즈 모형 가격보다 내표본과 외표본의 경우 모두 실제 시장가격과 더 가까움을 확인할 수 있었다.
- 83%가 기각됨을 확인 할 수 있다. 즉, 우도비 검정 결과 위험중립측도 하에서 기초자산이 Variance Gamma 과정을 따른다고 결론 내릴 수 있다.
- 첨도에 영향을 주는 모수 ν는 대칭적인 Variance Gamma와 Variance Gamma의 경우 모두 .0037이고 검정결과 0과 유의미하게 다름을 확인할 수 있었다.
- 92%가 기각되었다. 특히, 귀무가설을 대칭적인 Variance Gamma, 대립가설을 Variance Gamma로 하는 검정을 한 결과 1% 유의수준에서 95.83%가 기각됨을 확인 할 수 있다. 즉, 우도비 검정 결과 위험중립측도 하에서 기초자산이 Variance Gamma 과정을 따른다고 결론 내릴 수 있다.
- 01이하의 값을 갖는 경우를 나타낸다. 표를 살펴보면, R2 통계량이 14.22%, 13.28%로 두 모형 모두 모형가격과 시장가격의 잔차의 14%정도가 세 설명변수(통화성, 통화성의 제곱, 만기일)에 의하여 설명됨을 알 수 있다. 또한, 두 모형에서 모두 설명변수가 .
- 회귀분석을 실시한 후 잔차의 등분산성과 임의성을 진단하기 위한 회귀진단을 실시하였는데, 잔차의 등 분산성을 검정해주는 Breusch-Pagan 검정에서 두 모형 모두 유의확률이 .05보다 크게 나왔고 DurbinWatson 통계량은 두 모형 모두 1과 2사이의 값을 가지므로 잔차의 임의성이 어느 정도 만족됨을 확인할 수 있었다. 잔차와 적합값의 산점도에서도 특별한 경향성이 발견되지 않았다.
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