[논문]만곡부에서 이론식에 기반한 횡분산계수 경험공식 개발

백경오

doi:10.12652/ksce.2012.32.6b.373

만곡부에서 이론식에 기반한 횡분산계수 경험공식 개발
Development of Empirical Formula for Transverse Dispersion Coefficient Based on Theoretical Equation in River Bends 원문보기

大韓土木學會論文集, Journal of the Korean Society of Civil Engineers, B. 수공학, 해안 및 항만공학, 환경 및 생태공학, v.32 no.6B, 2012년, pp.373 - 378

백경오 (국립한경대학교 토목공학과)

초록
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본 연구에서는 이론적 배경을 토대로 사행 하천의 만곡부에 적용하기 용이한 횡분산계수 경험공식을 새롭게 제안하였다. 차원해석을 통한 독립변수들의 선정 대신 이론식을 기반으로 독립변수들과 그들의 함수형태를 우선 결정하였다. 결정된 함수식에서 매개변수를 골라내고 이를 고정하는 대신 회귀계수로 전환하여 실제 하천 만곡부에 적합한 경험식을 비선형회귀분석을 통해 제안하였다. 기존의 횡분산계수식들과 비교해 보면 본 연구에서 개발된 식이 관측 분산계수와 대체적으로 일치하는 경향을 보였다. 개발된 식의 특징을 살펴보면 마찰항에 대한 민감도가 상대적으로 적어 조도가 작은 하천에도 적용하기에 무리가 없어 보인다. 또한 개발된 식은 수심 대비 사행반경의 비가 큰 경우에도 기존의 추정식처럼 이상치를 나타낼 우려가 없어 만곡이 심한 사행하천에 적용하기 적합하다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this study, a new empirical equation for the transverse dispersion coefficient has been developed based on the theoretical background in river bends. The nonlinear least-square method was applied to determine regression coefficients of the equation. The estimated dispersion coefficients derived by the new equation were compared with observed transverse dispersion coefficients acquired from natural rivers and coefficients calculated by the other existing empirical equations. From a comparison of the existing transverse dispersion equations and the new proposed equation, it appears that the behavior of the existing formula in a relative sense is very much dependent on the friction factor and the river geometry. However, the new proposed equation does not vary widely according to variation of friction factor. Also, it was revealed that the equation proposed in this study becomes an asymptotic curve as the curvature effect increases.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

반면 분산자료를 토대로 경험적으로 개발된 식들은 현장 적용에 간편성이 있으나, 만곡부의 복잡한 분산 메카니즘을 반영하지 못한다. 따라서 본 연구에서는 횡분산계수 산정에 있어서 이론적 접근법과 경험식을 접목하여 새로운 추정식을 제안하고자 한다. 이를 위해 먼저 차원해석을 통한 독립변수들(무차원 수리량과 지형인자 등)의 선정 대신 이론식을 기반으로 독립변수들과 그들의 함수형태를 결정한다.
반면 실험자료를 토대로 경험적으로 개발된 식들은 현장 적용에 간편성이 있으나, 만곡부의 복잡한 분산 메카니즘을 구체적으로 반영하지 못하는 약점이 있었다. 본 연구에서는 횡분산계수 산정에 있어서 이론적 접근법과 경험식을 접목하여 새로운 추정식을 제안하였다. 먼저 차원해석을 통한 독립변수들의 선정 대신 이론식을 기반으로 독립변수들과 그들의 함수형태를 결정하였다.
비교된 세 가지 분산계수 추정식들이 수리량의 변화에 얼마나 민감하게 반응하는지 살펴보았다. 우선 제반 수리량들은 고정시키고 마찰항(#)만을 변화시켰을 때 횡분산계수의 거동을 그림 6a)에 도시하였다.

제안 방법

이를 위해 먼저 차원해석을 통한 독립변수들(무차원 수리량과 지형인자 등)의 선정 대신 이론식을 기반으로 독립변수들과 그들의 함수형태를 결정한다. 결정된 함수식에서 매개변수를 골라내고 이를 고정하는 대신 회귀계수로 전환하여 실제 사행하천에 적합한 경험식을 새로 개발하였다. 개발된 식을 기존의 식들과 비교하여 그 정확도를 검증해 보았다.
먼저 차원해석을 통한 독립변수들의 선정 대신 이론식을 기반으로 독립변수들과 그들의 함수형태를 결정하였다. 결정된 함수식에서 매개변수를 골라내고 이를 고정하는 대신 회귀계수로 전환하여 실제 하천 만곡부에 적합한 경험식을 새로 개발하였다. 개발된 식의 정확도를 검증함에 있어서 사행하천의 만곡부에서 수행된 분산 실험 자료가 많지 않아 어려움이 있었으나, 기존의 식과 비교해 보면 본 연구에서 개발된 식이 관측 분산계수와 대체적으로 일치하는 경향을 보였다.
그는 270°의 원형수로에서 90°지점에서 추적자를 주입한 후 180°지점에서 농도자료를 취득하여 분산계 수를 관측하였다.
본 연구에서는 횡분산계수 산정에 있어서 이론적 접근법과 경험식을 접목하여 새로운 추정식을 제안하였다. 먼저 차원해석을 통한 독립변수들의 선정 대신 이론식을 기반으로 독립변수들과 그들의 함수형태를 결정하였다. 결정된 함수식에서 매개변수를 골라내고 이를 고정하는 대신 회귀계수로 전환하여 실제 하천 만곡부에 적합한 경험식을 새로 개발하였다.
본 연구에서 개발한 식 (26)과 기존에 제안된 횡분산계수 경험식들과의 비교를 통해 새로운 식의 정확도를 검토해 보았다. 앞서 서론부에서 여러 연구자들의 식들을 소개한 바있으나, 이 중 자연하천의 만곡부에 적용 가능한 식(사행반 경이나 사행도 등이 포함된 경우)과 범위가 아닌 하나의 값으로 제안된 식을 골라보면 식 (6) (Yotsukura와 Sayre, 1976)과 식 (8) (Jeon 등, 2007) 두 개 뿐이다.
본 연구에서는 식 (20)을 회귀함수로 삼아 실험실 및 자연하천에서 실험을 통해 취득된 분산자료를 바탕으로 하여 새로운 경험공식을 유도하였다. 식 (20)에서 보듯이 이론적으로 횡분산계수에 영향을 주는 무차원 수리량은 #와 #의 곱(P)임이 명확해졌고, 2차류의 증가분은 지수함수로 표현되었으니 회귀계수들만 결정되면 경험식이 완성될 수 있다.
따라서 본 연구에서는 횡분산계수 산정에 있어서 이론적 접근법과 경험식을 접목하여 새로운 추정식을 제안하고자 한다. 이를 위해 먼저 차원해석을 통한 독립변수들(무차원 수리량과 지형인자 등)의 선정 대신 이론식을 기반으로 독립변수들과 그들의 함수형태를 결정한다. 결정된 함수식에서 매개변수를 골라내고 이를 고정하는 대신 회귀계수로 전환하여 실제 사행하천에 적합한 경험식을 새로 개발하였다.
회귀계수 α, β를 결정함에 있어서 실험실에서 취득된 분산자료와 실제 자연하천에서 취득된 자료를 이용하여 각각 두 개의 회귀식을 제안하였다.

대상 데이터

이 실험은 5 set의 유황조건으로 수행되었는데, 이를 정리하면 표 1과 같다. 실제 자연하천 자료는 11 set의 분산자료를 사용하여 경험식을 유도하였다. 2차원 횡분산 실험은 연구결과가 많지 않을 뿐더러, 그 중에서 만곡부에서 수행된 실험만을 고르다 보니 자료수가 많지는 않다.
물론 실험실 자료를 기반으로 개발된 식은 단지 참고용일 뿐이고, 자연하천의 분산자료를 이용한 경험식이 본 연구의 최종 결과물이다. 실험실 분산자료는 Fischer(1969)가 식 (5)를 개발하는데 사용하였던 자료를 이용하였다. 그는 270°의 원형수로에서 90°지점에서 추적자를 주입한 후 180°지점에서 농도자료를 취득하여 분산계 수를 관측하였다.

데이터처리

결정된 함수식에서 매개변수를 골라내고 이를 고정하는 대신 회귀계수로 전환하여 실제 사행하천에 적합한 경험식을 새로 개발하였다. 개발된 식을 기존의 식들과 비교하여 그 정확도를 검증해 보았다.

이론/모형

식 (22)가 비선형 방정식의 형태이므로, 회귀분석 기법도 비선형 알고리듬의 하나인 Gauss-Newton법을 이용하여 각각의 회귀계수들을 결정하였다. 실험실 자료(표 1)와 자연하천 자료(표 2)를 기반으로 도출된 회귀식은 각각 다음과 같다.

성능/효과

결정된 함수식에서 매개변수를 골라내고 이를 고정하는 대신 회귀계수로 전환하여 실제 하천 만곡부에 적합한 경험식을 새로 개발하였다. 개발된 식의 정확도를 검증함에 있어서 사행하천의 만곡부에서 수행된 분산 실험 자료가 많지 않아 어려움이 있었으나, 기존의 식과 비교해 보면 본 연구에서 개발된 식이 관측 분산계수와 대체적으로 일치하는 경향을 보였다. 개발된 식의 특징을 살펴보면 마찰항에 대한 민감도가 상대적으로 적어 조도가 작은 하천에도 적용하기에 무리가 없어 보였다.
개발된 식의 정확도를 검증함에 있어서 사행하천의 만곡부에서 수행된 분산 실험 자료가 많지 않아 어려움이 있었으나, 기존의 식과 비교해 보면 본 연구에서 개발된 식이 관측 분산계수와 대체적으로 일치하는 경향을 보였다. 개발된 식의 특징을 살펴보면 마찰항에 대한 민감도가 상대적으로 적어 조도가 작은 하천에도 적용하기에 무리가 없어 보였다. 또한 개발된 식은 수심 대비 사행반경의 비가 큰 경우에도 기존의 추정식처럼 이상치를 나타낼 우려가 없어 만곡이 심한 사행하천에 적용하기 적합해 보였다.
개발된 식의 특징을 살펴보면 마찰항에 대한 민감도가 상대적으로 적어 조도가 작은 하천에도 적용하기에 무리가 없어 보였다. 또한 개발된 식은 수심 대비 사행반경의 비가 큰 경우에도 기존의 추정식처럼 이상치를 나타낼 우려가 없어 만곡이 심한 사행하천에 적용하기 적합해 보였다.
다음으로 제반 수리량들은 고정시키고 수심 대 사행 반경비(h^/r_c)만을 변화시켰을 때 횡분산계수의 거동을 그림 6b)에 도시하였다. 이 그림에서도 보듯이 Yotsukura와 Sayre의 식은 h^/r_c이 커지면 지속적인 증가 추세를 보이는 반면, 본 연구에서 개발된 식은 일정한 값으로 수렴이 되어, 만곡이 심한 구간에서도 이상치를 보이지 않고 적절한 분산계수를 산출할 것으로 예상된다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	분산계수란 무엇입니까?	자연하천에서 보존성 물질의 이동 과정을 이송-분산 방정 식으로 해석하고자 할 때, 결정해야 할 매개변수로서 분산계수(dispersion coefficient)가 있다. 분산계수는 하천에서 오염 물의 혼합능(mixing capacity)를 파악할 수 있는 대표적인 인자이기 때문에 그것의 결정과정에 신중을 기하여야 한다. 분산계수를 결정하는 방법에는 농도 자료를 이용하는 관측법(observing method)과 농도자료가 없는 경우, 기본 수리량을 이용하는 추정법(estimating method)으로 크게 나눌 수있다.
	이론적 또는 경험적으로 분산계수를 표현하는 공식들이 지는 한계는 무엇입니까?	그럼에도 불구학고 지금까지 여러 연구가들에 의해 이론적 또는 경험적으로 분산계수를 표현하는 공식들이 제안되어 왔었다. 이론적 배경을 기초로 유도된 식은 물리적 함의를 갖고 있으나, 현장적용에 어려움이 많고 계산과정 또한 복잡하였다. 반면 실험자료를 토대로 경험적으로 개발된 식들은 현장 적용에 간편성이 있으나, 만곡 부의 복잡한 분산 메카니즘을 구체적으로 반영하지 못하는 약점이 있었다. 본 연구에서는 횡분산계수 산정에 있어서 이론적 접근법과 경험식을 접목하여 새로운 추정식을 제안하였다.
	분산계수를 결정하는 방법은 크게 어떻게 나뉘게 됩니까?	분산계수는 하천에서 오염 물의 혼합능(mixing capacity)를 파악할 수 있는 대표적인 인자이기 때문에 그것의 결정과정에 신중을 기하여야 한다. 분산계수를 결정하는 방법에는 농도 자료를 이용하는 관측법(observing method)과 농도자료가 없는 경우, 기본 수리량을 이용하는 추정법(estimating method)으로 크게 나눌 수있다. 여기서 추정법은 전단류의 영향을 고려하여 이론적으로 분산계수식을 유도하는 이론식(theoretical equation)과 다수의 농도실험 자료를 바탕으로 회귀분석을 통해 분산계수를 취득하는 경험식(empirical equation)으로 또한 분류할 수 있다.

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