[논문]SIMPLE Algorithm기반의 비압축성 Navier-Stokes Solver를 이용한 Immersed Boundary Method의 적용

김건홍; 박승오

doi:10.6112/kscfe.2012.17.1.044

SIMPLE Algorithm기반의 비압축성 Navier-Stokes Solver를 이용한 Immersed Boundary Method의 적용
IMPLEMENTATION OF IMMERSED BOUNDARY METHOD TO INCOMPRESSIBLE NAVIER-STOKES SOLVER USING SIMPLE ALGORITHM 원문보기

한국전산유체공학회지 = Journal of computational fluids engineering, v.17 no.1 = no.56, 2012년, pp.44 - 53

김건홍 (한국과학기술원 항공우주공학과) , 박승오 (한국과학기술원 항공우주공학과)

Abstract ▼ AI-Helper

Immersed boundary method(IBM) is a numerical scheme proposed to simulate flow field around complex objectives using simple Cartesian grid system. In the previous studies, the IBM has mostly been implemented to fractional step method based Navier-Stokes solvers. In this study, we implement the IBM to an incompressible Navier-Stokes solver which uses SIMPLE algorithm. The weight coefficients of the bi-linear and quadratic interpolation equations were formulated by using only geometric information of boundary to reconstruct velocities near IB. Flow around 2D circular cylinder at Re=40 and 100 was solved by using these formulations. It was found that the pressure buildup was not observed even when the bi-linear interpolation was adopted. The use of quadratic interpolation made the predicted aerodynamic forces in good agreement with those of previous studies. For an analysis of moving boundary, we smulated an oscillating circular cylinder with Re=100 and KC(Keulegan-Carpenter) number of 5. The predicted flow fields were compared with experimental data and they also showed good agreements.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 비압축성 유동의 수치해법으로 넓게 활용되고 있는 SIMPLE 기법 기반의 solver에 IBM 기법을 적용하여 그 효용성을 알아보고자 한다. 과거 SIMPLE 기반의 비압축성 NS solver에도 IBM을 적용한 사례가 있었으나, 정상 상태의 계산에만 적용되었다[7].
과거 SIMPLE 기반의 비압축성 NS solver에도 IBM을 적용한 사례가 있었으나, 정상 상태의 계산에만 적용되었다[7]. 본 연구에서는 정상 상태 뿐만 아니라 비정상 유동의 경우에도 IBM 기법을 적용하여 그 결과를 검토하고자 한다. 이를 위하여 선형 및 2차 interpolation 방정식을 구성하여 SIMPLE algorithm 기반의 Navier Stokes solver에 IBM을 적용하였다.

가설 설정

1. 새로운 time step에서의 유동장과 압력장을 초기화한다.
Bi-linear interpolation을 적용하기 위해 IB 근처에서 속도 ui는 η 및 ξ 방향으로 구분적으로 선형의(piecewise linear)분포를 갖는다고 가정한다.
Bi-linear interpolation과 마찬가지로 IB에 수직한 방향과 접선 방향의 좌표를 각각 η와 ξ라 한다. 또 IB 근처에서 벽면에 수직한 방향으로 속도는 2차 함수의 분포를 가지며 접선방향으로는 구분적으로 선형의 분포를 갖는다고 가정한다. 즉,

제안 방법

본 연구에 사용한 code에서는 식 (1)을 cell-centered Cartesian 격자계에서 이산화 하였다. 3 time step의 2차 정확도를 갖는 implicit 방법을 이용하여 시간항을 이산화 하였으며, 공간상에서 diffusive flux는 중앙 차분을 이용하였고 convective flux는 다음과 같은 deferred correction을 이용하여 2차의 정확도를 갖도록 이산화 하였다[8].
Immersed Boundary Method(IBM)는 Cartesian grid 기반 격자계를 사용하여 별도의 격자계를 사용하지 않고 물체 주변의 유동장을 해석하기 위한 CFD 기법이다. Body fitted grid를 사용하는 CFD 방법과 달리 해석하고자 하는 대상의 경계 조건이 해석 과정에 직접적으로 적용되지 않고, 추가적인 항을 지배 방정식에 더함으로써 해석하고자 하는 대상에 의한 유동장에서의 효과를 모사한다. 이러한 IBM은 격자 구성이 단순하고 복잡한 형상에 대한 해석을 수행하기에 유리한 것으로 알려져 있다.
IBM을 적용하여 Re = 100이고 KC = 5인 조건으로 진동하는 2차원 원형 실린더 주변 유동 해석을 수행하였다. 그 결과를 실험 데이터와 비교하였으며 비교적 잘 일치하는 것을 확인하였다.
IBM은 Peskin(1972)에 의해 심혈관류 유동 모사에 처음 적용되었다[1]. Peskin은 공간상에 자유롭게 움직이는 물체를 Lagrangian 변수로 표현하며, 이에 의한 효과를 공간상에 고정되어 있는 Cartesian mesh에서 정의된 Eulerian 변수로 전달하도록 하였다. 이 때 물체의 위치 정보와 탄성력을 Cartesian mesh로 전달하기 위해 Dirac delta 함수의 smoothed approximation을 사용하였는데, 이러한 forcing 함수를 사용하는 IBM을 continuous forcing 방법이라 한다[2].
계산은 grid1(230×160)과 grid2(370×280)의 두 가지 격자에 대해 수행 하였다.
매 time step마다 이전 time step에서의 위치와 속도 정보를 이용하여 새로운 time step에서의 위치를 업데이트하고 새로운 time step에서의 속도를 이용하여 IBM을 적용함으로써 해석을 수행하였다. 실린더의 중심이 (0,0)에 위치할 때 위상각을 0도로 하고 (-) 방향으로 가장 끝에 위치하였을 때 90도, 그리고 (+) 방향으로 가장 끝에 실린더가 위치하였을 때 270도가 되도록 설정하였다.
본 연구에서는 점 1'과 2'의 위치는 IB로부터 점 1과 2까지의 수직 거리의 2배 또는 3배가 되는 위치로 선택하여 계산하였다.
움직이는 대상 주위의 유동장 해석에 대한 IBM 적용을 확인하기 위하여 진동하는 2차원 원형 실린더 주변의 유동장 해석을 수행하고 실험 결과와 비교하여 보았다. 정지된 유동장에 2차원의 원형 실린더를 위치시키고 좌우로 진동하도록 설정하였다.
9와 같이 실린더가 움직이는 영역 주변으로 조밀하고 균일한 격자를 구성하였으며 (0,0)을 중심으로 상하좌우 실린더 지름의 15배 떨어지도록 경계를 설정하였다. 이 때 실린더 주위의 유동장은 정지된 상태로 모든 경계에서 속도가 0이 되도록 Dirichlet 조건을 설정하였다. 원형 실린더는 (0,0)을 중심으로 ± x 방향으로 움직이도록 설정하였으며 이 때 실린더의 속도는 다음과 같이 설정하였다.
이 때 interpolation 식은 IB 근처 유동장의 속도와 격자 정보, 그리고 IB의 형상 정보만을 이용하여 구성하였다. 이를 적용하여 Re=40과 100인 경우 2차원 원형 실린더의 비정상 유동장 해석을 수행하고 그 결과를 비교 하였다. 움직이는 대상에 대한 적용하기 위하여 Re = 100이고 Keulegan-Carpenter 수가 KC = 5의 조건으로 진동하는 2차원 원형 실린더에 대한 해석을 수행하고 그 결과를 실험 결과와 비교하였다.
움직이는 대상 주위의 유동장 해석에 대한 IBM 적용을 확인하기 위하여 진동하는 2차원 원형 실린더 주변의 유동장 해석을 수행하고 실험 결과와 비교하여 보았다. 정지된 유동장에 2차원의 원형 실린더를 위치시키고 좌우로 진동하도록 설정하였다. 이 때 실린더의 지름과 최대 속도를 기준으로 Re = 100이고 KC = 5가 되도록 설정하였다.
V는 진동 속도의 진폭이며 T는 주기, 그리고 L은 특성 길이로써 본 해석에서는 원형 실린더의 지름을 사용하였다. 해석을 위하여 Fig. 9와 같이 실린더가 움직이는 영역 주변으로 조밀하고 균일한 격자를 구성하였으며 (0,0)을 중심으로 상하좌우 실린더 지름의 15배 떨어지도록 경계를 설정하였다. 이 때 실린더 주위의 유동장은 정지된 상태로 모든 경계에서 속도가 0이 되도록 Dirichlet 조건을 설정하였다.

대상 데이터

계산은 grid1(230×160)과 grid2(370×280)의 두 가지 격자에 대해 수행 하였다. 여기서 forcing이 적용되는 interface cell의 개수는 각각 144개와 284개이다. 유동은 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르도록 설정하였으며, 계산 영역의 왼쪽 경계면인 inflow와 위・아래 경계면인 far field 경계면에서는 Dirichlet 경계 조건(u = U_∞, v =0)을 적용하였고, outflow 경계면에서는 Neumann 경계 조건을 적용하였다.

데이터처리

Table 1에는 Re가 40인 경우 재순환 영역의 길이, 항력 계수 그리고 압력에 의한 항력 계수의 계산 결과를 나타내고 기존 연구 결과와 비교하였다. Table 2에는 Re가 100인 경우 평균 항력 계수, 항력 계수와 양력 계수의 진폭, 그리고 양력의 Strouhal 수를 나타내고 기존 연구 결과와 비교 하였다. 선형과 2차의 interpolation 식을 이용하는 IBM을 적용하여 계산한 결과 구해진 공력 계수 및 공력 계수의 진폭, 그리고 재순환 영역 길이는 비교적 잘 일치하였다.
이를 적용하여 Re=40과 100인 경우 2차원 원형 실린더의 비정상 유동장 해석을 수행하고 그 결과를 비교 하였다. 움직이는 대상에 대한 적용하기 위하여 Re = 100이고 Keulegan-Carpenter 수가 KC = 5의 조건으로 진동하는 2차원 원형 실린더에 대한 해석을 수행하고 그 결과를 실험 결과와 비교하였다.
이상에서 정리한 interpolation 식을 이용하는 IBM을 적용하여 2차원 원형 실린더 주변의 유동장 해석을 수행하였다. 이 때 Re=40과 100인 경우에 대해 해석을 수행하였으며 그 결과를 기존의 연구 결과와 비교하였다.
이 때 interpolation 식을 정리 하는데 IB 주변의 격자와 IB 형상 정보만을 이용하였다. 이상에서 정리한 interpolation 식을 이용하는 IBM을 적용하여 2차원 원형 실린더 주변의 유동장 해석을 수행하였다. 이 때 Re=40과 100인 경우에 대해 해석을 수행하였으며 그 결과를 기존의 연구 결과와 비교하였다.

이론/모형

SIMPLE 기반의 비압축성 Navier-Stokes solver에 IBM을 적용하기 위하여 선형 및 2차의 interpolation 식을 정리하였다. 이 때 interpolation 식을 정리 하는데 IB 주변의 격자와 IB 형상 정보만을 이용하였다.
본 연구에서는 앞 절에서 설명한 SIMPLE algorithm 기반의 비압축성 NS solver에 direct forcing 방법의 IBM을 적용하였다. Direct forcing 방법을 적용하기 위해서는 먼저 IB 근처에서 다음과 같은 interpolation 식을 구성하고 점 P에서 식 (3)을 다음 식으로 대체하여 계산한다.
#는 선형 모멘텀 방정식의 소스항으로 대류와 확산항의 explicit part와 압력, 비정상항에 의한 소스항이 포한된다. 식 (3)과 같은 선형 모멘텀 방정식을 풀기 위해 Strong Implicit Procedure(SIP)를 사용하였다[10].
가중 계수는 어떠한 종류의 보간법을 적용하는지에 따라 결정된다. 여기서는 IB 주변의 유동장을 재구성하기 위해 bi-linear와 2차의 보간법을 이용하였다.
유동은 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르도록 설정하였으며, 계산 영역의 왼쪽 경계면인 inflow와 위・아래 경계면인 far field 경계면에서는 Dirichlet 경계 조건(u = U∞, v = 0)을 적용하였고, outflow 경계면에서는 Neumann 경계 조건을 적용하였다.
SIMPLE 기반의 비압축성 Navier-Stokes solver에 IBM을 적용하기 위하여 선형 및 2차의 interpolation 식을 정리하였다. 이 때 interpolation 식을 정리 하는데 IB 주변의 격자와 IB 형상 정보만을 이용하였다. 이상에서 정리한 interpolation 식을 이용하는 IBM을 적용하여 2차원 원형 실린더 주변의 유동장 해석을 수행하였다.
본 연구에서는 정상 상태 뿐만 아니라 비정상 유동의 경우에도 IBM 기법을 적용하여 그 결과를 검토하고자 한다. 이를 위하여 선형 및 2차 interpolation 방정식을 구성하여 SIMPLE algorithm 기반의 Navier Stokes solver에 IBM을 적용하였다. 이 때 interpolation 식은 IB 근처 유동장의 속도와 격자 정보, 그리고 IB의 형상 정보만을 이용하여 구성하였다.
이상에서 정리한 식을 바탕으로 SIMPLE 방법을 이용하여 비압축성 Navier-Stokes 방정식의 해를 구하기 위한 과정은 다음과 같다.

성능/효과

2차의 interpolation을 이용한 경우 θ = 0° 부근에서 선형 interpolation보다 wiggling이 적게 일어나는 것을 확인하였다.
계산 결과 원형 실린더 주변의 압력 계수 분포는 선형 및 2차 interpolation 식을 이용한 경우 모두 body-fitted 격자를 이용한 계산 결과와 잘 일치하였다. 벽면 근처에서 압력 계수 분포의 wiggling 현상이 발견되었으며 격자가 조밀한 경우 이러한 wiggling이 줄어드는 모습을 확인하였다.
벽면 근처에서 압력 계수 분포의 wiggling 현상이 발견되었으며 격자가 조밀한 경우 이러한 wiggling이 줄어드는 모습을 확인하였다. 공력 계수, 재순환 영역 길이 및 Strouhal 수 비교에서도 기존의 계산 결과와 현재 IBM을 이용한 계산 결과는 비교적 잘 일치 하였다.
IBM을 적용하여 Re = 100이고 KC = 5인 조건으로 진동하는 2차원 원형 실린더 주변 유동 해석을 수행하였다. 그 결과를 실험 데이터와 비교하였으며 비교적 잘 일치하는 것을 확인하였다.
IBM을 이용한 계산 결과는 body-fitted 격자를 이용하여 계산한 결과와 잘 일치하는 모습을 보인다. 다만 body-fitted 격자를 이용한 계산 결과는 벽면을 따라서 부드러운 압력 계수의 분포를 보이지만 IBM을 이용한 계산 결과는 벽면을 따라 압력 계수의 분포가 꿈틀대는(wiggling) 모습을 확인할 수 있다. 특히 격자가 성긴 grid1의 경우 압력 계수의 꿈틀거리는 모습이 더 확연히 나타난다.
7은 grid2 격자에서 선형과 2차의 interpolation 식을 이용하여 IBM을 적용하여 구한 원형 실린더 윗면에서의 압력계수 분포를 비교하고 있다. 두 방법을 이용한 계산 결과는 서로 잘 일치하며 body-fitted 계산 결과와도 잘 일치하는 모습을 확인할 수 있다. 2차의 interpolation을 이용한 경우 θ = 0° 부근에서 선형 interpolation보다 wiggling이 적게 일어나는 것을 확인하였다.
2D인 위치에서 수직 방향을 따라 분포된 속도 성분을 Deutsch 등의 실험 결과와 함께 나타내고 있다. 서로 다른 위상차와 위치에서 속도 성분은 실험 결과와 비교적 잘 일치하고 있는 것을 확인할 수 있다. 위상각이 180도일 때 x = 0D인 경우 y/D가 -0.
Table 2에는 Re가 100인 경우 평균 항력 계수, 항력 계수와 양력 계수의 진폭, 그리고 양력의 Strouhal 수를 나타내고 기존 연구 결과와 비교 하였다. 선형과 2차의 interpolation 식을 이용하는 IBM을 적용하여 계산한 결과 구해진 공력 계수 및 공력 계수의 진폭, 그리고 재순환 영역 길이는 비교적 잘 일치하였다. 다만 Re가 100인 경우 양력 계수의 Strouhal 수 St = fD/U_∞는 기존의 연구보다 약간 낮게 예측되었다.
10은 서로 다른 위상각에서 압력과 와류의 isoline을 나타내고 있다. 정지된 실린더에 대한 해석과 마찬가지로 질량 보존에 대하여 특별한 처리를 해주지 않고 경계 내부까지 일반적인 질량 보존 방법을 적용하였으며 그 결과 실린더 내부 영역에도 압력이 분포하는 것을 확인할 수 있다. 위상각이 0도인 경우 -x 방향으로 빠른 속도로 움직이게 된다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	discrete forcing 방법의 이점은 무엇인가?	IBM의 또 다른 방법으로 discrete forcing 방법이 있다. 이는 immersed boundary(IB)와 유동장 정보로부터 IB 주변의 유동장을 재구성(reconstruct)하는 방법으로 해석하고자 하는 물체의 경계면(sharp edge)를 모사할 수 있으며 높은 레이놀즈수 유동에 적용할 수 있는 이점이 있는 것으로 알려져 있다. Discrete forcing은 indirect forcing과 direct forcing 기법으로 세분화된다.
	Immersed Boundary Method(IBM)란 무엇인가?	Immersed Boundary Method(IBM)는 Cartesian grid 기반 격자계를 사용하여 별도의 격자계를 사용하지 않고 물체 주변의 유동장을 해석하기 위한 CFD 기법이다. Body fitted grid를 사용하는 CFD 방법과 달리 해석하고자 하는 대상의 경계 조건이 해석 과정에 직접적으로 적용되지 않고, 추가적인 항을 지배 방정식에 더함으로써 해석하고자 하는 대상에 의한 유동장에서의 효과를 모사한다.
	IBM은 어디에 처음 적용되었는가?	IBM은 Peskin(1972)에 의해 심혈관류 유동 모사에 처음 적용되었다[1]. Peskin은 공간상에 자유롭게 움직이는 물체를 Lagrangian 변수로 표현하며, 이에 의한 효과를 공간상에 고정되어 있는 Cartesian mesh에서 정의된 Eulerian 변수로 전달하도록 하였다.

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표제어: PCR

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용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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