[논문]오목한 성능함수에서 공액경사도법을 이용한 단일루프 단일벡터 방법의 수렴성 개선

정성범; 이세정; 박경진

doi:10.3795/ksme-a.2012.36.7.805

초록
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신뢰성 기반 최적설계의 효과적인 수행을 위하여 개발된 단일루프 단일벡터 방법은 신뢰성 해석의 계산과정을 제거함으로써 최적설계 시 발생하는 과도한 계산비용을 줄일 수 있다. 하지만 성능함수의 오목한 정도가 심할 경우, 수렴을 하지 못하고 발산하는 경향을 보인다. 때문에 일반적인 단일루프 단일벡터 방법은 낮은 수렴성과 부정확성 문제를 내포하고 있다. 본 연구에서는 공액경사도법을 이용한 단일루프 단일벡터 방법을 제안한다. 공액경사도법은 이전 반복과정의 최대가능손상점에서 계산된 방향 벡터들을 이용하여 현재 설계점에서의 최대가능손상점을 산출하기 위한 새로운 방향벡터를 구하고 이 방향벡터를 이용하여 현재점에서의 최적화를 수행한다. 이를 다양한 수학예제에 적용하고 다른 방법들과 수치적 성능 비교를 통해 제안한 방법의 유용성을 검증한다. 공액경사도법을 이용한 단일루프 단일벡터 방법은 성능함수 특성에 크게 영향을 받지 않으며 수렴성을 크게 향상시킬 수 있다.

Abstract ▼ AI-Helper

The reliability based design optimization (RBDO) approach requires high computing cost to consider uncertainties. In order to reduce the design cost, the single loop single vector (SLSV) approach has been developed for RBDO. This method can reduce the cost in calculating deign sensitivity by elimina...

The reliability based design optimization (RBDO) approach requires high computing cost to consider uncertainties. In order to reduce the design cost, the single loop single vector (SLSV) approach has been developed for RBDO. This method can reduce the cost in calculating deign sensitivity by elimination of the nested optimization process. However, this process causes the increment of the instability or inaccuracy of the method according to the problem characteristics. Therefore, the method may not give accurate solution or the robustness of the solution is not guaranteed. Especially, when the function is concave, the process frequently diverges. In this research, the concept of the conjugate gradient method for unconstrained optimization is utilized to develop a new single loop single vector method. The conjugate gradient is calculated with gradient directions at the most probable points (MPP) of previous cycles. Mathematical examples are solved for the verification of the proposed method. The numeri cal performances of the obtained results are compared to those of other RBDO methods. The SLSV approach using conjugate gradient is not greatly influenced by the problem characteristics and improves its convergence capability.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 이 방법을 최대가능손상점 갱신 알고리즘에 적용한다. Yang⁽⁶⁾의 방법과 달리 이전 공액경사도의 영향을 고려하여 효율적인 수렴성 향상을 도모하고자 한다. 새로운 탐색 방향은 다음 식에 의해 산출된다.
6)로 정의하였다. 목표 신뢰도 지수에 따른 수렴성을 파악하였다. 최적화를 위한 설계정식 화는 아래와 같다.
특히 오목한 형태의 성능함수에서 수렴 강건성은 현저히 떨어진다. 본 논문에서는 이를 해결하고자 공액경사도를 이용한 SLSV 방법을 제안하였다. 제안한 방법을 통해 기존의 SLSV 방법이 오목한 성능함수에서 보이는 수렴 불안정성을 극복하였고 안정적인 해를 얻을 수 있도록 하였다.
본 연구에서는 기존 SLSV 방법이 내포하고 있는 단점을 개선하기 위해 Fletcher 와 Reeves ^(9,10)가 제안한 공액경사도법(Conjugate Gradient Method)을 이용한 단일루프 단일벡터 방법을 제안한다. 공액경사도법은 이전 반복과정의 최대가능손상점에서 계산된 방향벡터들을 이용하여 현재 설계점에서의 최대가능손상점을 산출하기 위한 공액경사도를 구한다.
이 기법은 신뢰성 해석 문제와 최적화 문제를 순차적으로 반복하여 효율적인 최적화를 도모하였다. 위의 연구들은 신뢰성 기반 최적설계의 실제 구조문제로의 적용을 위해 수치적 안정성, 수렴 강건성, 합리적인 설계비용을 모두 만족할 수 있는 방법론을 개발하고자 하는 노력이다.

가설 설정

이 예제는 대부분의 방법론에서 수렴 가능한 볼록 함수 형태의 구속조건을 갖는 문제이다. 확률 변수는 2 개이며 정규분포를 따른다고 가정하였다. 초기 설계점은 (9.
이 예제는 대부분의 방법론에서 수렴 가능한 볼록 함수 형태의 구속조건을 갖는 문제이다. 확률 변수는 2 개이며 정규분포를 따른다고 가정하였다. 초기 설계점은 (9.

제안 방법

(4) 이중 루프 구조를 제거하기 위해서 최적화 문제와 신뢰성 해석을 동시에 수렴시켜 수행하는 단일루프 단일벡터 방법(Single Loop Single Vector Method, SLSV)이 제안되었다. 단일루프 단일 벡터 방법은 정확한 최대가능손상점을 구하는 반복과정을 제거하고 설계변수가 최적화됨과 동시에 최대가능손상점도 근사적으로 수렴하도록 한 방법이다.
6)로 정의하였다. 목표 신뢰도 지수를 변화시켜 경향을 파악하였다. 최적설계를 위한 정식화는 다음과 같다.
본 연구에서는 3.1 절에서 제안한 MPP 갱신 알고리즘을 이용한 단일루프 단일벡터 방법을 다음과 같이 제안한다.
본 예제는 성능함수가 오목한 형태를 갖는 문제로 확률변수는 2 개이며 정규분포를 따른다. 구속 조건은 오목한 정도가 매우 심하여 최적해를 구하는데 많은 어려움을 갖는 문제이다.
SLSV 기반의 기법들이 이중루프 구조의 기법들에 비해 해석 횟수와 민감도 계산 횟수의 향상 정도가 두드러진다. 제안한 방법은 다른 기법들에 비해 적은 함수 계산 및 민감도 계산을 나타낸다.

데이터처리

적용한 방법론으로는 이중루프 방법인 신뢰도지수법(RIA)과 목표성능치법(PMA)을 이용한 신뢰성 기반 최적설계 기법, 신뢰도 평가 순차 기법 (SORA), 단일루프 단일벡터 방법(SLSV)을 수행하였다. 이 결과를 공액경사도법을 이용한 단일루프단일벡터 방법의 결과와 비교하였다. 각 기법들은 함수 호출 횟수와 민감도 계산 횟수를 이용하여 비교하였고 민감도 계산은 유한차분법(Finite Difference Method)을 사용하였다.
또한 신뢰성 기반 최적설계 시 민감도 계산 횟수를 크게 줄여 설계비용을 감소시키며 매우 정확한 최적해를 도출한다. 제안한 방법의 효용성 알아보고자 다양한 수학예제를 통하여 이미 개발된 방법론들과 비교하였다.
제안한 알고리즘의 유용성을 검증하기 위하여 수학 예제를 이용한 각 방법론의 비교를 수행하였다. 적용한 방법론으로는 이중루프 방법인 신뢰도지수법(RIA)과 목표성능치법(PMA)을 이용한 신뢰성 기반 최적설계 기법, 신뢰도 평가 순차 기법 (SORA), 단일루프 단일벡터 방법(SLSV)을 수행하였다.

이론/모형

이 결과를 공액경사도법을 이용한 단일루프단일벡터 방법의 결과와 비교하였다. 각 기법들은 함수 호출 횟수와 민감도 계산 횟수를 이용하여 비교하였고 민감도 계산은 유한차분법(Finite Difference Method)을 사용하였다.
기존의 신뢰성 기반 최적설계는 신뢰성 지수 방법 (Reliability Index Approach, RIA) ^{(1 )}과 목표성능치 방법(Performance Measure Approach, PMA) ^(2,3) 등을 사용하였다. 이중루프 구조라 불리는 이 방법들은 최대가능손상점(Most Probable Point, MPP)를 찾는 내부 최적화 과정과 확률론적 최적해를 찾는 외부 최적화 과정으로 구성된다.
본 연구에서는 Fletcher 와 Reeves^(9,10)가 제안한 공액경사도법을 단일루프 단일벡터 방법에 적용한다. 본래의 공액경사도법은 비제약 최적설계 문제에서 목적함수의 수렴성을 향상시키기 위해 최속 강하법을 수정한 기법이다.
본래의 공액경사도법은 비제약 최적설계 문제에서 목적함수의 수렴성을 향상시키기 위해 최속 강하법을 수정한 기법이다. 본 연구에서는 이 방법을 최대가능손상점 갱신 알고리즘에 적용한다. Yang⁽⁶⁾의 방법과 달리 이전 공액경사도의 영향을 고려하여 효율적인 수렴성 향상을 도모하고자 한다.
이 때문에 확정론적 최적해에서 불확실성을 고려하면 제품의 성능은 저하될 수 있다. 시스템의 불확실성을 정량적으로 예측하고 이를 설계과정에 적용하기 위한 노력의 일환으로 신뢰성 기반 최적설계 방법(ReliabilityBased Design Optimization, RBDO)이 대두되었다.
제안한 알고리즘의 유용성을 검증하기 위하여 수학 예제를 이용한 각 방법론의 비교를 수행하였다. 적용한 방법론으로는 이중루프 방법인 신뢰도지수법(RIA)과 목표성능치법(PMA)을 이용한 신뢰성 기반 최적설계 기법, 신뢰도 평가 순차 기법 (SORA), 단일루프 단일벡터 방법(SLSV)을 수행하였다. 이 결과를 공액경사도법을 이용한 단일루프단일벡터 방법의 결과와 비교하였다.

성능/효과

RIA 를 이용한 최적화 방법, 신뢰도 평가 순차 기법(SORA), 단일루프 단일벡터 방법(SLSV)은 수렴에 실패하였다. PMA 를 이용한 방법과 제안한 방법만이 최적해로 수렴하였다. 수렴한 두 방법을 비교하면, 제안한 방법이 매우 적은 함수 및 민감도 계산을 필요로 한다.
Table 5 는 예제 3 의 결과를 나타낸다. RIA 를 이용한 최적화 방법, 신뢰도 평가 순차 기법(SORA), 단일루프 단일벡터 방법(SLSV)은 수렴에 실패하였다. PMA 를 이용한 방법과 제안한 방법만이 최적해로 수렴하였다.
수렴한 두 방법을 비교하면, 제안한 방법이 매우 적은 함수 및 민감도 계산을 필요로 한다. 공액경사도법을 이용한 단일루프 단일벡터 방법이 효율성과 수렴성 측면에서 다른 방법들에 비해 우수한 결과를 보인다.
공액경사도법을 이용한 단일루프단일벡터 방법은 문제 특성에 크게 영향을 받지 않으며 수렴성을 크게 향상시킬 수 있다. 또한 신뢰성 기반 최적설계 시 민감도 계산 횟수를 크게 줄여 설계비용을 감소시키며 매우 정확한 최적해를 도출한다. 제안한 방법의 효용성 알아보고자 다양한 수학예제를 통하여 이미 개발된 방법론들과 비교하였다.
제안한 방법은 기존의 단일루프 단일벡터 방법과 달리 문제 특성에 영향을 크게 받지 않고 수렴 성을 개선할 수 있음을 보였다. 반면 제안한 방법은 볼록한 형태의 성능함수에서는 기존의 SLSV 기법에 비해 성능이 떨어질 가능성을 내포하고 있다. 만약 함수 형태를 유추하여 공액경사도법 사용 유무를 판단하고 반복과정을 진행한다면 수치적 계산 비용을 절감할 수 있으리라 판단된다.
제안한 방법은 기존의 단일루프 단일벡터 방법과 달리 문제 특성에 영향을 크게 받지 않고 수렴 성을 개선할 수 있음을 보였다. 반면 제안한 방법은 볼록한 형태의 성능함수에서는 기존의 SLSV 기법에 비해 성능이 떨어질 가능성을 내포하고 있다.
본 논문에서는 이를 해결하고자 공액경사도를 이용한 SLSV 방법을 제안하였다. 제안한 방법을 통해 기존의 SLSV 방법이 오목한 성능함수에서 보이는 수렴 불안정성을 극복하였고 안정적인 해를 얻을 수 있도록 하였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	신뢰성 기반 최적설계란 무엇인가	신뢰성 기반 최적설계는 확정론적 최적설계에서의 구속조건을 확률적으로 처리하여 불확실성이 존재하더라도 구속조건을 만족시키는 최적의 설계를 얻고자 하는 기법이다. 현재까지 신뢰성 기반 최적설계와 관련하여 많은 방법론이 제안되었지만 반복적인 민감도 해석을 필요로 하는 신뢰성 해석으로 인해 많은 설계비용을 초래하였다.
	신뢰성 기반 최적설계 방법이 대두되는 이유는 무엇인가	이 때문에 확정론적 최적해에서 불확실성을 고려하면 제품의 성능은 저하될 수 있다. 시스템의 불확실성을 정량적으로 예측하고 이를 설계과정에 적용하기 위한 노력의 일환으로 신뢰성 기반 최적설계 방법(ReliabilityBased Design Optimization, RBDO)이 대두되었다.
	설계변수나 시스템 파라미터에 존재하는 불확실성의 대표적인 예는 무엇인가	구조물 설계 시 설계자에 의해 정의되는 설계변수나 시스템 파라미터에는 불확실성(uncertainty)이 존재한다. 대표적인 예로 제작공차, 재료 물성치, 작용하중 등이 있다. 확정론적 최적설계(Deterministic Optimization, DO) 기법에서는 이러한 설계변수나 시스템 파라미터의 불확실성을 고려하지 않고 시스템이 만족해야 할 제한조건하에서 목적함수를 최소화하는 과정을 수행한다.

참고문헌 (11)

Hasofer, A. M. and Lind, N. C., 1974, "Exact and Invariant Second Moment Code Format," Journal of the Engineering Mechanics Division, Vol. 100, No. 1, pp. 111-121.
Lee, T. W. and Kwak, B. M., 1987, "A Reliability-Based Optimal Design Using Advanced First Order Second Moment Method," Mechanics of Structures and Machines, Vol. 15, No. 4, pp. 523-542.

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Tu, J. and Choi, K. K., 1999, "A New Study on Reliability-Based Design Optimization," Journal of Mechanical Design, ASME, Vol. 121, No. 4, pp. 557-564.

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Chen, X., Hasselman, T. K. and Neill, D. J., 1997, "Reliability-Based Structural Design Optimization for Practical Applications," AIAA-97-1403.
Choi, B. L., 2004, "Development of Reliability-Based Design Optimization Algorithm Using Enhanced Initial Design and Two-Point Approximation Technique," Hanyang University, Ph. D. Thesis.
Yang, Y. S., Kim, B. J. and Lee, J. O., 2005, "Modified Single Loop Single Vector Method for Stability and Efficiency Improvement in Reliability-Based Design Optimization," Journal of Computational Structural Engineering Institute of Korea, Vol. 18, No. 1, pp. 51-59.
Youn, B. D., Choi, K. K. and Park, Y. H., 2003, "Hybrid Analysis Method for Reliability-Based Design Optimization," Journal of Mechanical Design, ASME, Vol. 125, pp. 221-232.

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Du, X. and Chen, W., 2002, "Sequential Optimization and Reliability Assessment Method for Efficient Probabilistic Design," DETC2002/ DAC34127.
Fletcher, R. and Reeves, C. M., 1964, "Function minimization by Conjugate Gradients," The Computer Journal, Vol. 7, No. 2, pp. 149-154.

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Hager, W. W. and Zhang, H., 2005, "A Survey of Nonlinear Conjugate Gradient Methods," Computer and Information Science, Vol. 2, pp. 35-58.
Bang, S. H. and Min, S. J., 2006, "Reliability-Based Topology Optimization Using Single-Loop Single Vector Approach," Journal Transactions of the KSME, A, Vol. 30, No. 8, pp. 889-896.

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