[논문]DIANA를 이용한 콘크리트 유한요소해석

이한선; 고동우; 선성민

문제 정의

그러나 국내에서는 그 활용도가 높지 않아, 해석 사례가 많지 않고, 실무 적용 사례 또한 전무하다 해도 과언이 아니다. 이에 기 수행된 실험 연구들을 바탕으로 해석 프로그램의 신뢰도 검증을 시도하였으며, 비선형 유한요소해석상의 주요 parameter에 대한 언급을 통해 software 사용자에 다소 대담한 조언을 목적으로 하였다.

가설 설정

Tresca criterion이 단순하여 사용하기에는 편한점이 있으나, intermediate principal stress 의 영향을 반영하기에는 다소 어려움이 있다. 따라서 octahedral shearing stress가 어떤 특정한 값, k에 도달하면 파괴에 이른다고 가정한 것이 Von-Mises yield criterion으로, 다음과 같은 식으로 표현된다.
재료 전체가 σ₁ , σ₂ , σ₃의 세 축에 대해 모두 동일한 특성을 지녔다는 가정을 전제로 한다.

제안 방법

Software 해석에 앞서 비선형 유한요소해석에 사용되는 재료 비선형 모델의 종류와 특성에 대한 문헌 연구를 통해 각 모델을 비교·분석하여 이를 적용한 몇 가지 해석 모델과 실험과의 상관관계를 검증하여, 재료 비선형 모델의 유용성에 대해 논하였으며, 재료의 hardening 및 softening parameter, interface element의 유용성, 철근 변형률 등 실험상 제한적일 수밖에 없는 결과를 대신할 수 있는 software의 역할에 대해 논의하였다.
유한요소해석을 위해 프로그램상에서 2차원의 plane stress 요소로 모델링하였다. 각 요소는 가장 단순한 형태의 4절점사각형 요소를 선택하였고, 실험체가 대칭이기 때문에 효율성을 높이기 위해 절반만을 모델링하여 해석하였다.
이와 같은 구조형식을 갖는 건물은 상부하중을 하부골조로 전달하기 위해 상부층과 하부층 사이에 전이보를 두는 것이 보통이고, 이들 전이보는 일반적인 보 이론과는 다른 거동을 보여 설계에 주의를 필요로 한다. 구조적으로 중요하면서 동시에 명확한 설계법이 없는 전이보의 거동 특성 이해를 위해 그림 9, 10에서와 같이 ACI의 휨 이론에 근거한 실험체와 Strut-and-tie method에 근거한 실험체를 제작, 실험을 수행하였고, 이를 DIANA를 이용하여 해석하였다.
본 연구에서는 Mohr-Coulomb 기준을 콘크리트에 적용시, 마찰각 Φ를 일반적인 30°로 설정하였다.
실험에서 철근에 부착된 각각의 Strain gage에 일련번호를 부여하여, 각 위치에서 하중 증가에 따른 변형률의 변화를 측정하였고, 이를 그래프에 해석 결과와 비교하여 나타내었다. 그림 36에서 보는 바와 같이 철근의 변형률은 정확하게 일치하지는 아니하나, 각 위치에서 대략적인 거동은 상당부분 유사한 것으로 판단된다.
실험체는 2차원의 Plane stress 요소로 모델링하였다. 2차원의 Plane stress 요소는 다음 식에서 보듯, 면 외 응력을 무시하는 요소이다.
Von-Mises모델을 사용할 시, 콘크리트의 Hardening 효과를 정량적으로 부여할 수 없기 때문에 이 효과를 제외한 해석을 수행하였으나, Drucker-Prager나 Mohr-Coulomb 모델의 경우 정량적인 Hardening parameter를 통해 쉽게 그 특성을 부여할 수 있다. 앞서 어떤 특별한 조건하에서는 Von-Mises모델과 Drucker-Prager모델의 차이가 없다는 결론에 도달하였지만, Hardening 현상에 대한 보다 직접적인 이해를 위해 AL-86 모델에 Drucker- Prager모델을 적용하여 이에 대한 효과를 비교, 분석하였다.
2차원의 Plane stress 요소는 다음 식에서 보듯, 면 외 응력을 무시하는 요소이다. 유한요소 Mesh는 4절점의 사각형요소를 사용하였으며, 최대한 실험과 동일한 조건을 갖추기 위해 지점의 철판 역시 모델링하였다. 철근은 line element로서, 실험체와 동일한 위치에서 그 단면적에 변화를 주어 실험체와 유사한 조건을 갖도록 했다.
다음 그림 15에서 보이는 단순보의 실험은 1998년 수행되었던 “축소모델 철근콘크리트 보의 휨 부착 및 전단 거동에 관한 상사성 실험 연구” (고동우, 1998)의 일부분이다. 유한요소해석을 위해 프로그램상에서 2차원의 plane stress 요소로 모델링하였다. 각 요소는 가장 단순한 형태의 4절점사각형 요소를 선택하였고, 실험체가 대칭이기 때문에 효율성을 높이기 위해 절반만을 모델링하여 해석하였다.
이러한 재료 해석 모델의 차이를 명확하게 하기 위하여 기존의 검증된 실험을 재해석하였다.
콘크리트의 Hardening효과를 표현하기 위해서 콘크리트의 이력곡선이 필요하였으나, 실험 시 측정된 결과의 신뢰성이 의심되는 상황에서 범용 구조해석 프로그램인 SAP2000의 비선형해석을 위한 기능 중 일부를 사용하여, 그림 26과 같은 일반적인 콘크리트의 이력곡선을 얻었다. 이에 콘크리트 초기 접선 탄성계수를 사용하여 소성 영역에서의 이력곡선을 얻을 수 있었다.
실험은 1970년 Cervenka 등에 의해 수행되었고, 책의 내용을 중심으로 모델을 구성하여 그림과 같이 plane stress요소로 모델링하였다. 좌우 대칭인 점을 고려하여 모델의 절반만을 모델링하였으며, Mesh는 3절점 삼각형 요소와, 4절점 사각형 요소를 사용, 해석하여 두 모델을 비교하였다. 모델 전체의 절점 수는 변화가 없으나, 삼각형 요소로 구성된 모델의 요소 수가 정확하게 두 배 더 많게 된다.
철근에 대한 hardening 효과는 실험 결과를 사용하여, 다음과 같이 항복 강도와 극한 강도의 이력을 단순화하여 나타내었고, 콘크리트의 경우와 마찬가지로 철근의 탄성계수 200,000PMa를 이용하여 소성 영역에서의 이력곡선을 얻었다.
철근이나 강구조에 주로 사용되는 Von-Mises모델과 콘크리트에 일반적으로 사용되는 Drucker-Prager모델의 해석상 차이점 분석을 위해 AL86 모델의 콘크리트 재료 모델을 Von-Mises와 Drucker-Prager를 각각 적용, 동일한 조건하에서 해석 수행하였다. 두 모델 모두 tension cut-off모델과 함께 사용하였으며, 아래에 결과를 나타내었다.
콘크리트의 Hardening효과를 표현하기 위해서 콘크리트의 이력곡선이 필요하였으나, 실험 시 측정된 결과의 신뢰성이 의심되는 상황에서 범용 구조해석 프로그램인 SAP2000의 비선형해석을 위한 기능 중 일부를 사용하여, 그림 26과 같은 일반적인 콘크리트의 이력곡선을 얻었다. 이에 콘크리트 초기 접선 탄성계수를 사용하여 소성 영역에서의 이력곡선을 얻을 수 있었다.

이론/모형

철근이나 강구조에 주로 사용되는 Von-Mises모델과 콘크리트에 일반적으로 사용되는 Drucker-Prager모델의 해석상 차이점 분석을 위해 AL86 모델의 콘크리트 재료 모델을 Von-Mises와 Drucker-Prager를 각각 적용, 동일한 조건하에서 해석 수행하였다. 두 모델 모두 tension cut-off모델과 함께 사용하였으며, 아래에 결과를 나타내었다. 그림 13에서와 같이 동일한 하중 단계에서 거의 동일한 균열 양상을 보였다.
본 연구에서는 Mohr - Coulomb모델이나, Drucker - Prager 모델을 tension cut-off model과 병행하여 사용하였다. 실제콘크리트의 인장강도의 경우, 압축강도의 1/10 정도가 정상범위인데 반해, Mohr-Coulomb 이론이 제시하고 있는 인장강도는 값이 훨씬 크다.
Chen의 “Plasticity in reinforced concrete”(McGraw-Hill, 1982)의 한 예제이다. 실험은 1970년 Cervenka 등에 의해 수행되었고, 책의 내용을 중심으로 모델을 구성하여 그림과 같이 plane stress요소로 모델링하였다. 좌우 대칭인 점을 고려하여 모델의 절반만을 모델링하였으며, Mesh는 3절점 삼각형 요소와, 4절점 사각형 요소를 사용, 해석하여 두 모델을 비교하였다.
한편, 콘크리트의 인장영역에 대해서는 Hillerborg의 breakpoint룰 사용하였다. Ultimate strain을 #로 가정하고, 콘크리트의 최대 인장강도를 일반식 f_t = #으로써 산출한다면, Hillerborg의 breakpoint은 #로 산정되며, 이는 그림 28과 같다.

성능/효과

1) 콘크리트 비선형 거동 묘사에 탁월한 성능을 보일 뿐 아니라, 기존에 표현할 수 없었던 비선형 철근 변형률까지 상당한 정확도로 표현할 수 있어, 실험상 제한적일 수밖에 없는 결과를 보충할 수 있는 결과를 산출, 실험 및 해석 분야에 기여할 수 있는 가능성이 크다고 판단된다.
3) Software 사용상 재료의 비선형 특성을 정의하고 해석할 시, Graphic Interface와 Text Interface를 모두 이용해야 하는 등의 난해함과 복잡함이 따른다. 보다 간편하게 이용할 수 있는 Interface 마련이 필요하다.
한가지 흥미로운 사실이 그림 25에 나타나 있다. 동일한 조건에서 해석을 수행하였음에도 4절점 사각형 요소를 사용한 해석은 해석 도중 발산하였으나, 3절점 삼각형 요소를 사용한 모델은 충분한 해석이 이루어졌다. 절점 수가 같더라도 모델의 요소 수의 차이에 의해 해석의 안정성이 좌우될 수 있음을 말해주는 결과라 할 수 있겠다.
휨 거동을 하는 보는 실험에서와 같이 휨 균열을 명확하게 보여주었으며, 하중-변위 관계 역시 실험과 근사한 경향을 나타냈다. 또한 전단 거동을 하는 보 역시 전단 거동에 의한 사균열(diagonal crack)의 묘사가 가능하였으며, 하중-변위 관계 역시 만족스러운 결과를 보여주었다.
해석결과 실험과 일치하는 하중-변위 관계를 얻을 수 있었으며, 균열 양상 역시 유사하게 묘사하고 있음을 확인할 수 있었다. 이 역시 콘크리트 재료 모델에 잘 맞지 않는 Von-Mises yield criteria를 적용하여 적절한 콘크리트의 거동 묘사가 가능함을 보여주었다.
해석결과 실험과 일치하는 하중-변위 관계를 얻을 수 있었으며, 균열 양상 역시 유사하게 묘사하고 있음을 확인할 수 있었다. 이 역시 콘크리트 재료 모델에 잘 맞지 않는 Von-Mises yield criteria를 적용하여 적절한 콘크리트의 거동 묘사가 가능함을 보여주었다.
해석결과 콘크리트 모델에 잘 맞지 않는 Von-Mises yield criteria를 적용한 두 개의 실험체 모두 적절한 거동 묘사가 가능함을 확인하였다. 휨 거동을 하는 보는 실험에서와 같이 휨 균열을 명확하게 보여주었으며, 하중-변위 관계 역시 실험과 근사한 경향을 나타냈다.

후속연구

큰 균열이 예상되는 부분에 interface element를 삽입하여, 균열을 집중시킴과 동시에 균열에 의한 영향을 보다 효과적으로 표현 할 수 있을 것으로 기대하였다. 즉, 일반적인 균열로는 그 폭이나 양상을 판정하는데 그치지만, 균열의 폭이 증가하면서 추가적으로 발생하는 현상에 대해서는 묘사할 수 없다.

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	비선형 유한요소해석 software, DIANA를 이용해 기존 실험결과를 해석한 결과는?	1) 콘크리트 비선형 거동 묘사에 탁월한 성능을 보일 뿐아니라, 기존에 표현할 수 없었던 비선형 철근 변형률까지 상당한 정확도로 표현할 수 있어, 실험상 제한적일 수밖에 없는 결과를 보충할 수 있는 결과를 산출, 실험 및 해석 분야에 기여할 수 있는 가능성이 크다고 판단된다. 2) 철근에 의한 구속에 의해 hydrostatic pressure가 충분히 발현되지 않는 상황 하에서 콘크리트 재료 모델이 해석결과에 기여하는 바는 거의 없다. 그러나 철근의 항복 이후 비선형 거동은 보다 정확한 결과를 얻기 위해 필수적이다. 3) Software 사용상 재료의 비선형 특성을 정의하고 해석할 시, Graphic Interface와 Text Interface를 모두 이용해야 하는 등의 난해함과 복잡함이 따른다. 보다 간편하게 이용할 수 있는 Interface 마련이 필요하다.
	DIANA란?	DIANA는 변위법에 기반한 해석 프로그램(DIsplacement method ANAlyser)으로, 콘크리트와 토질 등의 해석에 탁월한 성능을 보이는 것으로 알려져 있다. 콘크리트 및 토질에 대한 다양한 모델을 간편하게 사용할 수 있도록 제시하고 있으며, 특히 철근 콘크리트의 경우, 철근을 line element로서 실제 모델과 동일한 위치에 쉽게 모델링할 수 있어, 기존 유한요소 프로그램에서 사용하는 철근량이 부재 단면적에 분산되어 있는 모델(fiber cross section model)의 한계를 극복할 수 있는 등의 장점을 갖고 있다.
	material model은 어떻게 대별되는가?	유한요소를 이용한 재료 비선형 해석 시 적용하는 material model은 크게 hydrostatic pressure independent material과 hydrostatic pressure dependent material의 두 가지 모델로 대별된다.

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