메타모델은 설계 프레임워크 안에서 높은 효율성과 우수한 예측 능력, 타 프로그램과 쉬운 연동성 때문에 공학분야에서 지난 10 년간 최적설계 기법들과 함께 발전해왔다. 메타모델을 구성하기 위해서는 실험계획법, 메타모델링 기법, 검증법과 같은 절차가 요구된다. 검증법은 메타모델의 정확성을 판단하기 때문에 순차적 크리깅 메타모델에서 정확한 크리깅 메타모델을 구성하기 위한 표본점의 개수를 결정한다. 크리깅 메타모델과 같은 보간모델은 표본점에서의 응답을 항상 지나기 때문에 기존 방법으로 메타모델의 정확성을 판단하기 위해서는 추가적인 해석이나 메타모델의 재구성이 요구된다. 본 연구에서는 이러한 추가적인 해석과 메타모델의 재구성을 요구하지 않는 메타모델의 해석적 민감도를 이용하는 민감도 검증법을 제안한다. 14 개의 2 차원 수학예제와 공학예제를 이용하여 이 방법의 타당성을 검증한다.
메타모델은 설계 프레임워크 안에서 높은 효율성과 우수한 예측 능력, 타 프로그램과 쉬운 연동성 때문에 공학분야에서 지난 10 년간 최적설계 기법들과 함께 발전해왔다. 메타모델을 구성하기 위해서는 실험계획법, 메타모델링 기법, 검증법과 같은 절차가 요구된다. 검증법은 메타모델의 정확성을 판단하기 때문에 순차적 크리깅 메타모델에서 정확한 크리깅 메타모델을 구성하기 위한 표본점의 개수를 결정한다. 크리깅 메타모델과 같은 보간모델은 표본점에서의 응답을 항상 지나기 때문에 기존 방법으로 메타모델의 정확성을 판단하기 위해서는 추가적인 해석이나 메타모델의 재구성이 요구된다. 본 연구에서는 이러한 추가적인 해석과 메타모델의 재구성을 요구하지 않는 메타모델의 해석적 민감도를 이용하는 민감도 검증법을 제안한다. 14 개의 2 차원 수학예제와 공학예제를 이용하여 이 방법의 타당성을 검증한다.
Metamodels have been developed with a variety of design optimization techniques in the field of structural engineering over the last decade because they are efficient, show excellent prediction performance, and provide easy interconnections into design frameworks. To construct a metamodel, a sequent...
Metamodels have been developed with a variety of design optimization techniques in the field of structural engineering over the last decade because they are efficient, show excellent prediction performance, and provide easy interconnections into design frameworks. To construct a metamodel, a sequential procedure involving steps such as the design of experiments, metamodeling techniques, and validation techniques is performed. Because validation techniques can measure the accuracy of the metamodel, the number of presampled points for an accurate kriging metamodel is decided by the validation technique in the sequential kriging metamodel. Because the interpolation model such as the kriging metamodel based on computer experiments passes through responses at presampled points, additional analyses or reconstructions of the metamodels are required to measure the accuracy of the metamodel if existing validation techniques are applied. In this study, we suggest a sensitivity validation that does not require additional analyses or reconstructions of the metamodels. Fourteen two-dimensional mathematical problems and an engineering problem are illustrated to show the feasibility of the suggested method.
Metamodels have been developed with a variety of design optimization techniques in the field of structural engineering over the last decade because they are efficient, show excellent prediction performance, and provide easy interconnections into design frameworks. To construct a metamodel, a sequential procedure involving steps such as the design of experiments, metamodeling techniques, and validation techniques is performed. Because validation techniques can measure the accuracy of the metamodel, the number of presampled points for an accurate kriging metamodel is decided by the validation technique in the sequential kriging metamodel. Because the interpolation model such as the kriging metamodel based on computer experiments passes through responses at presampled points, additional analyses or reconstructions of the metamodels are required to measure the accuracy of the metamodel if existing validation techniques are applied. In this study, we suggest a sensitivity validation that does not require additional analyses or reconstructions of the metamodels. Fourteen two-dimensional mathematical problems and an engineering problem are illustrated to show the feasibility of the suggested method.
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문제 정의
본 연구에서 제안한 민감도 검증법을 용접 대차의 구조응답에 대한 크리깅 메타모델의 근사화 문제에 도입하여 제안된 방법의 실제 공학 문제에 대한 적용 가능성을 검토하였다. 구조 해석은 상용 유한요소 프로그램인 ANSYS 를 사용하였다.
본 연구에서는 기존 검증법들과는 다르게 추가적인 크리깅 메타모델의 재생성을 필요로 하지 않고 오직 크리깅 메타모델에서 제공하는 민감도 정보만을 이용하여 효율적이며, 순차적 크리깅 메타 모델을 적용할 때 실험의 종료조건으로도 사용 가능한 민감도 검증법을 제안한다.
본 연구에서는 순차적으로 생성된 크리깅 메타 모델이 정확해지면서 변화가 작아지고 이에 따라 민감도 차이가 0 에 가까워진다는 것을 이용하여 민감도 검증법을 제안하였다. 다양한 수학 함수와 실제 공학 예제에 적용하여 기존 방법들과 달리 추가 예측점의 생성과 시뮬레이션 모델의 추가 해석을 필요로 하지 않고, 메타모델의 재구성도 요구하지 않기 때문에 수치적인 계산 비용을 줄일 수 있다.
본 연구에서는 추가적인 해석과 메타모델의 재생성이 필요하지 않고 오직 크리깅 메타모델에서 제공하는 민감도 정보만을 이용한 효율적인 민감도 검증법을 제안한다. 또한 제안된 검증법을 다양한 수학 예제와 실제 공학 예제에 적용하여 기존의 검증법들과 비교를 통해 메타모델의 정확성 판단과 종료조건으로의 타당성을 확인한다.
가설 설정
이러한 경우는 최종 수렴된 표본점의 개수 중 최대값을 사용하였다. 연속 3 번으로 크리깅 메타모델이 위에 조건을 만족한다면 크리깅 메타모델이 크게 변화하지 않을 것이다. 민감도 검증법의 가장 큰 장점은 추가 해석이나 검증점의 추가 생성, 메타모델의 재구성 없이 메타모델의 정확성을 판단할 수 있는 것이며, 순차적 크리깅 메타모델에 적용하였을 때 실험의 종료조건을 제안하는 것이다.
크리깅 메타모델은 추정해야 할 실제 함수를 식(3)와 같이 평균(mean)에 해당하는 전역모델 f(x)Tβ과 편차(deviation)에 해당하는 국부모델 Z(x)의 합으로 가정한다.
제안 방법
본 연구에서는 추가적인 해석과 메타모델의 재생성이 필요하지 않고 오직 크리깅 메타모델에서 제공하는 민감도 정보만을 이용한 효율적인 민감도 검증법을 제안한다. 또한 제안된 검증법을 다양한 수학 예제와 실제 공학 예제에 적용하여 기존의 검증법들과 비교를 통해 메타모델의 정확성 판단과 종료조건으로의 타당성을 확인한다.
메타모델을 구성하기 위한 절차는 실험계획법(design of experiments)을 수행하고 메타모델을 구성한 후 검증법(validation technique)을 통해 메타모델의 정확성을 검증한다. 이 중 검증법은 구성된 메타모델의 정확성을 판단하여 정확한 메타모델을 구성하는 최소한의 표본점의 개수를 결정한다.
연속 3 번으로 크리깅 메타모델이 위에 조건을 만족한다면 크리깅 메타모델이 크게 변화하지 않을 것이다. 민감도 검증법의 가장 큰 장점은 추가 해석이나 검증점의 추가 생성, 메타모델의 재구성 없이 메타모델의 정확성을 판단할 수 있는 것이며, 순차적 크리깅 메타모델에 적용하였을 때 실험의 종료조건을 제안하는 것이다.
본 연구에서 제안한 크리깅 메타모델의 민감도 검증법의 우수성을 확인하기 위해 다양한 수학 예제와 실제 공학 예제에 적용하였다. 수학 예제는 다양한 2 차원 수학 함수에 적용하여 평균제곱근 오차 방법 및 교차검증법과 비교하였으며, 실제 공학 예제는 최대 응력, 최대 변위, 1 차 고유진동 수를 응답으로 하는 용접 대차 시뮬레이션 모델을 사용하여 평균제곱근오차법과 비교하였다.
본 연구에서는 응답값의 정보를 반영하지 않고 충진성(space filling)만을 고려한 순차적 실험계획법 중에서 최소거리 최대화 방법과 최대 엔트로피 방법을 이용하여 예제를 수행한다.
실험계획법은 크게 한 번에 모든 표본점들을 결정하는 실험계획 방식과 표본점을 점차 증가시키는 순차적 실험계획법으로 분류된다. 본 연구에서는 표본점의 증가에 따른 민감도 검증법 적용을 확인하는 것이기 때문에 순차적 실험계획법만을 수행한다.
수학 함수를 크리깅 메타모델을 이용하여 근사화하기 위해 초기 표본점은 3 수준 전 조합 실시법을 이용하여 9 개의 표본점을 사용하였고, 순차적 실험계획법은 최소거리 최대화 방법과 최대 엔트로피 방법을 이용하였다. 제안된 검증법으로 모델의 정확도를 평가하여 수렴조건을 만족하였을 때 실험을 종료하였고, 10000 개의 예측점에서의 수학 함수와 크리깅 메타모델의 평균제곱근오차 및 교차검증법과 비교하여 정확성을 평가하였다.
개의 표본점에서의 민감도를 도출한 것이다. 위의 수렴조건이 의미하는 것은 모델이 정확해짐에 따라 모델의 변화가 적어지면서 민감도의 차가 0 에 수렴하는 것을 이용하여 검증법에 적용하였다. 위의 수렴조건이 연속 3 번 만족할 때 수렴한다고 판단하였으며 설계 변수 개수만큼 민감도가 도출되기 때문에 설계 변수마다 수렴된 표본점의 개수가 다를 수가 있다.
데이터처리
이렇게 민감도 검증법을 만족하는 크리깅 메타모델의 정확성을 확인하기 위해서 평균제곱근오차법을 사용하였다. 10 수준 전 조합 실시법으로 검증점 1000 개를 생성하고 시뮬레이션 모델을 실행하여 얻은 응답과 생성된 크리깅 메타모델의 응답을 비교하여 평균제곱근오차를 구하였다.
본 연구에서 제안한 민감도 검증법을 용접 대차의 구조응답에 대한 크리깅 메타모델의 근사화 문제에 도입하여 제안된 방법의 실제 공학 문제에 대한 적용 가능성을 검토하였다. 구조 해석은 상용 유한요소 프로그램인 ANSYS 를 사용하였다.
본 연구에서 제안한 크리깅 메타모델의 민감도 검증법의 우수성을 확인하기 위해 다양한 수학 예제와 실제 공학 예제에 적용하였다. 수학 예제는 다양한 2 차원 수학 함수에 적용하여 평균제곱근 오차 방법 및 교차검증법과 비교하였으며, 실제 공학 예제는 최대 응력, 최대 변위, 1 차 고유진동 수를 응답으로 하는 용접 대차 시뮬레이션 모델을 사용하여 평균제곱근오차법과 비교하였다.
위와 같은 과정을 12 개의 수학 함수에 적용하였고 10000 개의 검증점에서 수학 함수와 크리깅 메타모델의 평균제곱근오차를 구하여 0.5%이하가 되는 표본점의 개수와 민감도 검증법을 적용하였을 때 종료조건을 만족하고 최종 수렴한 표본점의 개수를 비교하여 Table 1 로 나타내었다. 표의 결과를 보면 표본점의 수렴개수가 비슷한 경향이 있는 것을 알 수 있다.
각각 최종 수렴할 때 0 에 가까운 값으로 수렴하는 것을 알 수 있고, 이를 통해 실험의 종료조건을 만족하는 것을 확인할 수 있다. 이렇게 민감도 검증법을 만족하는 크리깅 메타모델의 정확성을 확인하기 위해서 평균제곱근오차법을 사용하였다. 10 수준 전 조합 실시법으로 검증점 1000 개를 생성하고 시뮬레이션 모델을 실행하여 얻은 응답과 생성된 크리깅 메타모델의 응답을 비교하여 평균제곱근오차를 구하였다.
수학 함수를 크리깅 메타모델을 이용하여 근사화하기 위해 초기 표본점은 3 수준 전 조합 실시법을 이용하여 9 개의 표본점을 사용하였고, 순차적 실험계획법은 최소거리 최대화 방법과 최대 엔트로피 방법을 이용하였다. 제안된 검증법으로 모델의 정확도를 평가하여 수렴조건을 만족하였을 때 실험을 종료하였고, 10000 개의 예측점에서의 수학 함수와 크리깅 메타모델의 평균제곱근오차 및 교차검증법과 비교하여 정확성을 평가하였다.
이론/모형
반면에 표본점에서의 응답값을 지나는 보간모델은 비선형성이 강하고, 같은 입력에 대해서 동일한 응답을 주는 전산실험에 많이 사용되고 있다. 본 연구는 전산실험을 기반으로 하기 때문에 대표적 보간모델인 크리깅 메타모델만을 다룬다.
성능/효과
Table 3 은 민감도 검증법을 적용한 결과에서 최종 수렴한 표본점의 개수를 나타낸 것이며 괄호 안의 값은 최대값을 결정한 변수들을 나타낸 것이다. 각각 89 개, 43 개, 55 개의 표본점으로 생성한 크리깅 메타모델이 정확하다는 것을 알 수 있고,Fig. 6, Fig.
각각 최종 수렴할 때 0 에 가까운 값으로 수렴하는 것을 알 수 있고, 이를 통해 실험의 종료조건을 만족하는 것을 확인할 수 있다. 이렇게 민감도 검증법을 만족하는 크리깅 메타모델의 정확성을 확인하기 위해서 평균제곱근오차법을 사용하였다.
본 연구에서는 순차적으로 생성된 크리깅 메타 모델이 정확해지면서 변화가 작아지고 이에 따라 민감도 차이가 0 에 가까워진다는 것을 이용하여 민감도 검증법을 제안하였다. 다양한 수학 함수와 실제 공학 예제에 적용하여 기존 방법들과 달리 추가 예측점의 생성과 시뮬레이션 모델의 추가 해석을 필요로 하지 않고, 메타모델의 재구성도 요구하지 않기 때문에 수치적인 계산 비용을 줄일 수 있다. 또한, 순차적 크리깅 메타모델을 수행함에 있어서 실험의 종료조건으로 사용 가능하다는 장점을 확인하였다.
다양한 수학 함수와 실제 공학 예제에 적용하여 기존 방법들과 달리 추가 예측점의 생성과 시뮬레이션 모델의 추가 해석을 필요로 하지 않고, 메타모델의 재구성도 요구하지 않기 때문에 수치적인 계산 비용을 줄일 수 있다. 또한, 순차적 크리깅 메타모델을 수행함에 있어서 실험의 종료조건으로 사용 가능하다는 장점을 확인하였다. 향후 과제로는 다양한 실제 공학 문제에 적용하여 검증법으로써 확인이 요구되며, 민감도가 설계 변수들마다 독립적인 값을 가지고 있다는 특성을 이용하여 각 설계 변수들마다 표본점의 개수를 다르게 사용하는 실험계획법으로 발전시키는 연구도 진행하고 있다.
위의 수렴조건이 의미하는 것은 모델이 정확해짐에 따라 모델의 변화가 적어지면서 민감도의 차가 0 에 수렴하는 것을 이용하여 검증법에 적용하였다. 위의 수렴조건이 연속 3 번 만족할 때 수렴한다고 판단하였으며 설계 변수 개수만큼 민감도가 도출되기 때문에 설계 변수마다 수렴된 표본점의 개수가 다를 수가 있다. 이러한 경우는 최종 수렴된 표본점의 개수 중 최대값을 사용하였다.
01%로 크리깅 메타모델로 얻은 응답값과 시뮬레이션 모델을 실행하여 얻은 응답값의 차이가 0에 근접하며 정확한 크리깅 메타모델이 생성되었다고 판단할 수 있다. 이를 통해 제안한 민감도 검증법을 실제 공학 예제에도 적용 가능한 것을 확인하였다.
최대 응력의 경우는 평균제곱근오차값이 제일 컸지만 0.07%로 상당히 정확한 응답값을 제공하였고, 최대 변위는 0.02%, 1 차 고유진동수는 0.01%로 크리깅 메타모델로 얻은 응답값과 시뮬레이션 모델을 실행하여 얻은 응답값의 차이가 0에 근접하며 정확한 크리깅 메타모델이 생성되었다고 판단할 수 있다. 이를 통해 제안한 민감도 검증법을 실제 공학 예제에도 적용 가능한 것을 확인하였다.
3 은 평균제곱근오차법과 교차검증법을 적용하여 실험 종료까지의 값을 그래프로 나타낸 것이다. 평균제곱근오차법을 적용한 그래프를 살펴보면 최종 수렴할 때의 평균제곱근오차값이 0 에 가깝고, 표본점의 개수가 36 개가 될 때 급격히 감소하는 것을 알 수 있다. 표본점의 개수가 36 개일 때 x1의 민감도 검증법 값을 보면 급격히 증가하여 크리깅 메타모델이 전에 생성된 모델과 많이 달라지는 것을 알 수 있다.
후속연구
또한, 순차적 크리깅 메타모델을 수행함에 있어서 실험의 종료조건으로 사용 가능하다는 장점을 확인하였다. 향후 과제로는 다양한 실제 공학 문제에 적용하여 검증법으로써 확인이 요구되며, 민감도가 설계 변수들마다 독립적인 값을 가지고 있다는 특성을 이용하여 각 설계 변수들마다 표본점의 개수를 다르게 사용하는 실험계획법으로 발전시키는 연구도 진행하고 있다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
메타모델링 기법은 무엇으로 구성되는가?
메타모델링 기법은 크게 메타모델을 구성하기 위해 정해진 기준에 따라 표본점을 선택하는 실험 계획법, 이 표본점의 정보를 통해 메타모델을 구성하는 메타모델링 기법, 구성된 메타모델의 정확성을 판단하는 검증법 등으로 구성된다.
실험의 종류에 따라 어떤 메타모델을 사용하는가?
메타모델은 크게 회귀모델(regression model)과 보간모델(interpolation model)로 분류된다. 회귀모델은 표본점에서의 응답값을 지나지 않기 때문에 비선 형성이 작은 전산실험이나 실험오차가 존재하는 실제 실험(physical experiment)에 많이 사용되고 있다. 반면에 표본점에서의 응답값을 지나는 보간모델은 비선형성이 강하고, 같은 입력에 대해서 동일한 응답을 주는 전산실험에 많이 사용되고 있다. 본 연구는 전산실험을 기반으로 하기 때문에 대표적 보간모델인 크리깅 메타모델만을 다룬다.
산업체에서 개발하는 실제 설계문제에 최적설계 기법을 직접 적용하는 것에 한계가 있는 이유는 무엇인가?
많은 해석횟수가 필요한 다양한 최적설계 기법에 실제 설계문제에 사용되는 대형 시뮬레이션 모델이나 해석시간이 많이 소요되는 해석 모델을 사용하게 되면 계산 비용이 기하급수적으로 증가한다. 따라서 컴퓨터 성능의 지속적인 발전에도 불구하고 산업체에서 개발하는 실제 설계문제에 최적설계 기법을 직접 적용하기에는 한계가 있다.
참고문헌 (10)
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