[논문]A Study on the Power Comparison between Logistic Regression and Offset Poisson Regression for Binary Data

Kim, Dae-Youb; Park, Heung-Sun

doi:10.5351/ckss.2012.19.4.537

A Study on the Power Comparison between Logistic Regression and Offset Poisson Regression for Binary Data 원문보기

한국통계학회 논문집 = Communications of the Korean Statistical Society, v.19 no.4, 2012년, pp.537 - 546

Kim, Dae-Youb (Department of Statistics, Hankuk University of Foreign Studies) , Park, Heung-Sun (Department of Statistics, Hankuk University of Foreign Studies)

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper, for analyzing binary data, Poisson regression with offset and logistic regression are compared with respect to the power via simulations. Poisson distribution can be used as an approximation of binomial distribution when n is large and p is small; however, we investigate if the same conditions can be held for the power of significant tests between logistic regression and offset poisson regression. The result is that when offset size is large for rare events offset poisson regression has a similar power to logistic regression, but it has an acceptable power even with a moderate prevalence rate. However, with a small offset size (< 10), offset poisson regression should be used with caution for rare events or common events. These results would be good guidelines for users who want to use offset poisson regression models for binary data.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

가 되어 링크함수의 근사가 이루어지고, x을 사용한 회귀식의 적합성 여부가 Wald 검정의 검정력에 차이를 줄 수 있다는 생각에 로지스틱 회귀와 오프셋 포아송 회귀의 검정력을 조사하려고 한다.
특히, Peterson과 Deddens (2008)는 이항자료에서 log-binomial의 우도비 검정과 수정된 포아송 회귀(modified poisson regression)에 의한 Wald 검정의 검정력을 비교하였는데, 이는 오프셋이 1인 자료만을 생성시킴으로써 이항자료에 포아송 회귀모형을 적합시킨 비교 연구였다. 그러나, 본 연구는 공변량 값이 동일한 이항자료의 경우, 이를 오프셋을 이용한 계수자료 모형으로 변환시킬때 오프셋 크기를 5, 10, 100, 200으로 변화시키면서 공변량에 대한 검정력 변화를 조사하는 것이 목적임을 다시 한번 언급하고 싶다.
n이 상당히 클지라도 p가 어느 정도 이상(#)이면 이항분포는 포아송 분포와 차이가 나타나는데, 이는 자료수가 상당히 클지라도 발생확률이 작은 경우에만 포아송 근사가 가능하다는 것을 말해준다. 본 연구는 동일한 공변량값을 지닌 이항자료에서 로지스틱 회귀와 오프셋 포아송 회귀의 검정력 비교에서도 이와 같은 근사 조건이 성립할 것인지 알아보는데 그 목적을 두고 있다.

제안 방법

, m)를 공변량으로 갖는 관측치 Y_ij에서, j번째 시간에 사고가 발생하면 Y_ij = 1, 사고가 없으면 Y_ij = 0이라고 가정할 때 t_i시간에 발생한 사고건수 Z_i는 이항자료의 합 #로 표현되어 이항자료를 자연스럽게 계수자료의 오프셋 포아송 회귀모형으로 적합시킬 수 있다. 본 연구는 실제 자료가 0, 1의 값을 갖는다고 해도 자료의 분포가 이항분포인지, 아니면 평균이 작은 포아송 분포인지를 모르는 환경일 때 동일한 공변량 값에 대한 반응변수 값을 더한 계수자료로 변환하는 분석방법이 이항분포 자료의 로지스틱 회귀 검정력과 얼마나 차이가 있는지 조사하고 있다.
에 의해, 자료를 희귀사건(0.1 < π(xi) < 0.3), 보통빈도사건(0.3 < π(xi) < 0.7), 흔한사건(0.7 <π(xi) < 0.9)으로 구분하였다.
우리는 로지스틱 회귀의 검정력과 오프셋을 이용한 포아송 회귀의 검정력을 비교하기 위해, 공변량 xi를 −2와 2 사이의 균등분포 U(−2, 2)에서 m = 5 ∼ 200개의 수준을 생성하였고, 각 수준 xi에 대해 오프셋 크기 ni = 5, 10, 100, 200를 증가시키면서 이항분포 B(ni , π(xi))에 의해 난수를 생성하였다.
PROC GENMOD (SAS Institute, 2008)에서는 repeated 문을 사용하는 일반화추정방 정식(Generalized Estimating Equation; GEE)에서 스코어 검정을 제공하고 있지만, 포아송 회귀, 로지스틱 회귀에 사용하는 검정방법은 주로 Wald와 우도비 검정방법이다. 이 중, Wald는 PROC GENMOD에서 간단한 옵션으로 쉽게 구할 수 있을 뿐 아니라, LRT보다 계산이 쉽고 대표본에서 LRT와 근사하기 때문에 본 연구는 Wald 검정에 의한 검정력 비교를 하였다. 물론, 자료가 이항분포에서 생성되었기 때문에 당연히 로지스틱 회귀의 Wald 검정통계량의 검정력이 더 좋겠지만, 본 연구의 목적은 오프셋 포아송 회귀의 경우 이항분포가 포아송 분포로 근사된다는 사실 외에, 링크함수가 µ_x ≃ 0일 경우, 테일러 근사에 의해
일반화선형모형 (Nelder과 Wedderburn, 1972)이 소개된지 40년이 흐르면서 정규성을 가진 자료 뿐 아니라 이항자료와 계수자료에 대한 분석이 활발하게 진행되고 있다. 특히 최근에는 이항자료의 분석에서 전통적인 로지스틱 회귀 대신 포아송 회귀모형을 사용하는 예가 늘고 있는데, 본 연구는 동일한 공변량값을 지닌 이항자료들을 분석할 때, 오프셋을 사용한 포아송 회귀의 검정력이 오프셋 크기가 변함에 따라 로지스틱 회귀의 검정력에 어떻게 근사하는지를 모의실험을 통해 분석하였다.

데이터처리

가설 H0 : β1 = 0에 대한 검정력을 로지스틱 회귀와 log ni를 오프셋 변수로 갖는 포아송 회귀를 사용해 각각의 Wald 검정통계량으로 비교하였는데, xi의 수준수(m)를 증가시키고, 오프셋 크기(ni)도 증가시킴으로써 검정력을 측정하였다.
각 실험당 반복(iteration)은 SAS의 PROC GENMOD를 사용하여 1000회 시행하였고, H0 : β1 = 0을 기각하는 비율을 기록하였다.

성능/효과

그 결과, 전체적으로 로지스틱 회귀의 Wald 검정은 유의수준 0.05를 지키고 있는데 반해, 오프셋 포아송 회귀의 Wald 검정은 검정의 크기를 만족시키지 못였으나 로지스틱 회귀의 검정력에 근사하면서 점차 가까와지는 것을 볼 수 있었다. Figure 2는 공변량의 수준수가 5인 경우 오프셋의 크기가 10, 100, 200으로 증가함에 따라 오프셋 포아송의 검정력이 로지스틱 회귀의 검정력에 어떻게 근사하는지를 보여주고 있다.
그러나, Figure 3과 Figure 4는 오프셋 크기가 비교적 작은 5 혹은 10인 경우를 나타내고 있는데, 비록 희귀사건일지라도 오프셋 크기가 적을 경우, 공변량 수준수가 증가하여 자료의 수가 아무리 늘어난다 하더라도 오프셋 포아송 회귀의 검정력이 로지스틱 회귀의 검정력에 근접하지 못함을 보여주고 있으며, 예상과는 달리, 보통빈도사건의 경우는 희귀사건보다 훨씬 우월하게 로지스틱 회귀의 검정력에 근사하고 있음을 발견하였다. 따라서, 공변량값이 같은 이항자료의 합을 계수자료로 이용할 경우, 오프셋 포아송 회귀모형의 검정력이 자료의 수 보다는 오프셋의 크기에 의존하고 있다는 것을 의미하며, 특히 오프셋 크기가 작을 경우에는 흔한사건이나 심지어 희귀사건 때 보다 보통빈도사건에서 오히려 검정력이 뛰어나다는 것을 보여준다. 이는 0이 너무 많거나 1이 너무 많은 상황보다는 0과 1이 적당히 발생하는 상황에서 β₁에 대한 추정이 잘 이루어 지는 이유라고 추측된다.

참고문헌 (12)

Agresti, A. (1996). An Introduction to Categorical Data Analysis, New York
Breslow, N. E. and Clayton, D. G. (1993). Approximate inference in generalized linear mixed models, Journal of the American Statistical Association, 88, 9-25.

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Cornfield, J. (1956). A statistical problem arising from retrospective studies, Proceedings of the Third Berkeley Symposium, 4, 135-148.
McCullagh, P. and Nelder, J. (1989). Generalized Linear Models, Chapman and Hall, London.
McNutt, L.,Wu, C., Xue, X. and Hafner, J. P. (2003). Estimating the relative risk in cohort studies and clinical trials of common outcomes, American Journal of Epidemiology, 157, 940-943.

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Nelder, J. and Wedderburn, R. (1972). Generalized linear models, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 135, 370-384.

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Petersen, M. R. and Deddens, J. A. (2008). A comparison of two methods for estimating prevalence ratios, BMC Medical Research Methodology, 8, 1-9.

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SAS Institute (2008). SAS/STAT 9.2 User's Guide: The GENMOD Procedure, Cary, NC.
Spiegelman, D. and Hertzmark, E. (2005). Easy SAS calculations for risk or prevalence ratios and differences, American Journal of Epidemiology, 162, 199-200.

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Thall, P. F. and Vail, S. C. (1990). Some covariance models for longitudinal count data with overdispersion, Biometrics, 46, 657-671.

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Zhang, J. and Yu, K. F. (1998). What's the relative risk?, JAMA, 280, 1690-1691.

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Zou, G. (2004). A modified poisson regression approach to prospective studies with binary data, American Journal of Epidemiology, 159, 702-706.

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