큰 반소수 n=pq의 소인수 p,q를 나눗셈 시행법으로 직접 찾는 것은 현실적으로 거의 불가능하다. 따라서 대부분의 소인수분해 알고리즘은$a^2{\equiv}b^2$ (mod n)의 제곱합동을 찾아 p=GCD(a-b, n), q=GCD(a+b, n)의 소인수를 찾는 간접 방법을 적용하고 있다. n = pq에 대해 p와 q를 선택한 영역은 $l(p)=l(q)=l(\sqrt{n})=0.5l(n)$의 [$10{\cdots}01$, $99{\cdots}9$] 범위에서 $\sqrt{n}$을 기준으로 $10{\cdots}00$ < p < $\sqrt{n}$과 $\sqrt{n}$ < q < $99{\cdots}9$에 존재한다는 사실만이 밝혀졌다. 본 논문은 n으로 부터 획득한 정보를 이용하여 p의 범위를 보다 축소시키는 방법을 제안한다. 제안 방법은 $n=n_{LR}+n_{RL}$, $l(n_{LR})=l(n_{RL})=l(\sqrt{n})$으로 분할하여 $p_{min}=n_{LR}$, $q_{min}=n_{RL}$로 설정하는 방법을 적용하였다. 본 논문에서 제안한 n의 정보로 p의 범위를 축소하는 방법은 $\sqrt{n}$의 정보로 p의 범위 축소 방법에 비해 최소 17.79%에서 최대 90.17%의 범위 축소 효과를 얻었다.
큰 반소수 n=pq의 소인수 p,q를 나눗셈 시행법으로 직접 찾는 것은 현실적으로 거의 불가능하다. 따라서 대부분의 소인수분해 알고리즘은$a^2{\equiv}b^2$ (mod n)의 제곱합동을 찾아 p=GCD(a-b, n), q=GCD(a+b, n)의 소인수를 찾는 간접 방법을 적용하고 있다. n = pq에 대해 p와 q를 선택한 영역은 $l(p)=l(q)=l(\sqrt{n})=0.5l(n)$의 [$10{\cdots}01$, $99{\cdots}9$] 범위에서 $\sqrt{n}$을 기준으로 $10{\cdots}00$ < p < $\sqrt{n}$과 $\sqrt{n}$ < q < $99{\cdots}9$에 존재한다는 사실만이 밝혀졌다. 본 논문은 n으로 부터 획득한 정보를 이용하여 p의 범위를 보다 축소시키는 방법을 제안한다. 제안 방법은 $n=n_{LR}+n_{RL}$, $l(n_{LR})=l(n_{RL})=l(\sqrt{n})$으로 분할하여 $p_{min}=n_{LR}$, $q_{min}=n_{RL}$로 설정하는 방법을 적용하였다. 본 논문에서 제안한 n의 정보로 p의 범위를 축소하는 방법은 $\sqrt{n}$의 정보로 p의 범위 축소 방법에 비해 최소 17.79%에서 최대 90.17%의 범위 축소 효과를 얻었다.
It is impossible directly to find a prime number p,q of a large semiprime n = pq using Trial Division method. So the most of the factorization algorithms use the indirection method which finds a prime number of p = GCD(a-b, n), q=GCD(a+b, n); get with a congruence of squares of $a^2{\equiv}b^2$...
It is impossible directly to find a prime number p,q of a large semiprime n = pq using Trial Division method. So the most of the factorization algorithms use the indirection method which finds a prime number of p = GCD(a-b, n), q=GCD(a+b, n); get with a congruence of squares of $a^2{\equiv}b^2$ (mod n). It is just known the fact which the area that selects p and q about n=pq is between $10{\cdots}00$ < p < $\sqrt{n}$ and $\sqrt{n}$ < q < $99{\cdots}9$ based on $\sqrt{n}$ in the range, [$10{\cdots}01$, $99{\cdots}9$] of $l(p)=l(q)=l(\sqrt{n})=0.5l(n)$. This paper proposes the method that reduces the range of p using information obtained from n. The proposed method uses the method that sets to $p_{min}=n_{LR}$, $q_{min}=n_{RL}$; divide into $n=n_{LR}+n_{RL}$, $l(n_{LR})=l(n_{RL})=l(\sqrt{n})$. The proposed method is more effective from minimum 17.79% to maxmimum 90.17% than the method that reduces using $\sqrt{n}$ information.
It is impossible directly to find a prime number p,q of a large semiprime n = pq using Trial Division method. So the most of the factorization algorithms use the indirection method which finds a prime number of p = GCD(a-b, n), q=GCD(a+b, n); get with a congruence of squares of $a^2{\equiv}b^2$ (mod n). It is just known the fact which the area that selects p and q about n=pq is between $10{\cdots}00$ < p < $\sqrt{n}$ and $\sqrt{n}$ < q < $99{\cdots}9$ based on $\sqrt{n}$ in the range, [$10{\cdots}01$, $99{\cdots}9$] of $l(p)=l(q)=l(\sqrt{n})=0.5l(n)$. This paper proposes the method that reduces the range of p using information obtained from n. The proposed method uses the method that sets to $p_{min}=n_{LR}$, $q_{min}=n_{RL}$; divide into $n=n_{LR}+n_{RL}$, $l(n_{LR})=l(n_{RL})=l(\sqrt{n})$. The proposed method is more effective from minimum 17.79% to maxmimum 90.17% than the method that reduces using $\sqrt{n}$ information.
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문제 정의
본 논문은 RSA 암호를 효율적으로 해독하기 위한 소인수 분해법을 연구하였다. 제안된 방법은 n = pq의 소인수 p의 범위를 보다 축소시키는 방법이다.
지금까지는# 정보로부터 #의 [10 ⋯ 01, 99 ⋯ 9] 범위에서 # 과#에 존재한다는 사실만이 밝혀졌다. 본 논문은 n의 정보를 이용하여 p의 범위를 보다 축소시키는 방법을 제안하였다. 제안 방법은 n =nLR+nRL으로 분할하여 pmin = nLR, qmin = nRL로 설정하는 방법을 적용하였다.
지금까지는 소인수 p의 범위를 축소시키는 방법을 고찰하였다. 축소된 소인수 범위에 대해 어떤 탐색 방법을 적용하면 효율적인가에 대해 제안한다.
제안 방법
또한, [qmin,qmax] 값의 변경에 따라[pmin,pmax ]의 범위가 조정되었다. 또한, 보다 효율적인 탐색 방법도 제안하였다.
본 장에서는 p,q의 범위를 보다 더 축소시키는 방법을 제안한다. 제안된 방법은 n으로부터 p = [pmin,pmax ], q = [qmin,qmax] 정보를 추출한다.
본 논문은 n의 정보를 이용하여 p의 범위를 보다 축소시키는 방법을 제안하였다. 제안 방법은 n =nLR+nRL으로 분할하여 pmin = nLR, qmin = nRL로 설정하는 방법을 적용하였다. 또한, [qmin,qmax] 값의 변경에 따라[pmin,pmax ]의 범위가 조정되었다.
본 논문은 RSA 암호를 효율적으로 해독하기 위한 소인수 분해법을 연구하였다. 제안된 방법은 n = pq의 소인수 p의 범위를 보다 축소시키는 방법이다. 지금까지는# 정보로부터 #의 [10 ⋯ 01, 99 ⋯ 9] 범위에서 # 과#에 존재한다는 사실만이 밝혀졌다.
본 장에서는 p,q의 범위를 보다 더 축소시키는 방법을 제안한다. 제안된 방법은 n으로부터 p = [pmin,pmax ], q = [qmin,qmax] 정보를 추출한다.
제안된 방법을 RSA 번호에 적용하여 보자. RSA 번호중 RSA-129를 제외한 소인수분해가 된 값들은 표 8에 제시되어 있다.
이론/모형
RSA 암호의 공개키 n은 동일하거나 유사한 자리수에서 임의로 2개 소수 (prime number) p와 q를 추출하여 곱한 합성수 (composite number)로 반소수 (semiprime)라고도 한다. 여기서 임의로 선택한 p,q가 소수인지 여부는 소수 판별법 (primality test, PT)을 적용한다. 또한, RSA 암호 해독은 반소수 n을 p,q로 소인수분해(factorization)하여야 한다.
성능/효과
본 논문에서 제안한 n의 정보로 p의 범위를 축소하는 방법은 #의 정보로 p의 범위 축소 방법에 비해 최소 17.79%에서 최대 90.17%의 범위 축소 효과를 얻었다.
으로 얻은 p의 범위와 비교한 결과는 표 7과 같다. 제안된 방법은 최소 17.79%에서 최대 85.90%까지의 p 범위 축소 효과를 얻었다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
RSA 암호 해독을 하기 위해 어떤 과정을 거쳐야 하는가?
RSA 암호의 공개키 n은 동일하거나 유사한 자리수에서 임의로 2개 소수 (prime number) p와 q를 추출하여 곱한 합성수 (composite number)로 반소수 (semiprime)라고도 한다. 여기서 임의로 선택한 p,q가 소수인지 여부는 소수 판별법 (primality test, PT)을 적용한다. 또한, RSA 암호 해독은 반소수 n을 p,q로 소인수분해(factorization)하여야 한다.[1-4]
정수 n이 큰 수인 경우 나눗셈 시행법을 사용하면 비현실적으로 과다한 시간이 소요되기 때문에 일반적으로 나눗셈 시행법 대신 어떤 방법을 사용하는가?
[6] n이 큰 수인 경우 나눗셈 시행법은 비현실적으로 과다한 시간이 소요된다. 따라서 일반적으로 간접 방법인 체 (Sieve) 방법이 사용되고 있다. 체 방법은 a2 -b 2 ≡0(mod n)의 제곱 합동 (congruence of squares)인 a,b를 결정하고 p = GCD(a-b,n), q= GCD(a+b, n)을 구하는 간접 방식이다.
소인수분해 방법에는 무엇이 있는가?
임의로 선택한 2개 소수 곱 p×q로 반소수 n을 생성하는 것은 쉬운 반면에, 역으로 n이 주어졌을 때 이를 2개의 소인수 p,q로 인수분해하는 것은 어렵다. 소인수분해 방법에는 나눗셈 시행 (Trial Division), Pollard의 rho 알고리즘, Pollad의 p-1 알고리즘, William의 p+1 알고리즘, Lenstra elliptic curve 인수분해, 페르마 (Fermat) 인수분해법, 오일러 (Euler) 인수분해법, 2차 체 (quadratic Sieve), MPQS (multiple-polynomial quadratic sieve), NFS (Number field sieve), GNFS (General number field), Dixon, CFRAC (continued fraction factorization), SQUFOF (Shanks' square forms factorization)와 양자 컴퓨터를 활용한 Shor 알고리즘 등 다양한 방법들이 있다.[5]
참고문헌 (14)
C. Richard and P. Carl, "Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd ed.)", Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005.
D. John, "The Prime Number Theorem", Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Washington, D.C.: Joseph Henry Press, 2003.
T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, and C. Stein, "Introduction to Algorithms (2nd ed.)," MIT Press and McGraw-Hill, 2001.
C. Pomerance, "Analysis and Comparison of Some Integer Factoring Algorithms, in Computational Methods in Number Theory," Math. Centre Tract 154, pp. 89-139, Amsterdam, 1982.
K. Thorsten, "On Polynomial Selection for the General Number Field Sieve", Mathematics of Computation , Vol.75, No. 256, pp. 2037-2047, 2006.
A. K. Lenstra, H. W. Lenstra, Jr., M. S. Manasse, and J. M. Pollard, "The Factorization of the Ninth Fermat Number," Math. Comp. Vol. 61, pp. 319-349, 1993.
Myeong-Bok Choi, Sang-Un Lee, "The n+1 Integer Factorization Algorithm," The Institute of Internet, Broadcasting and Communication (IIBC), pp.107-112, vol. 11. no.2, April, 2011.
Myeong-Bok Choi, Sang-Un Lee, "The k-Fermat's Integer Factorization Algorithm," The Institute of Internet, Broadcasting and Communication (IIBC), pp.157-164, vol. 11. no.4, August, 2011.
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