대기 모델링 연구에서 시간 간격을 적절하게 결정하는 것은 중요한 문제이다. 본 연구에서는 비선형 대기 모형에서 수치 해의 시간 간격에 대한 민감도를 조사하였다. 이를 위해 간단한 무차원화된 역학 모형을 사용하여 시간 간격과 비선형성 인자를 바꾸어가며 수치 실험을 수행하였다. 실험 결과, 비선형성 인자가 영향을 줄 만큼 크지 않고 절단 오차를 무시할 수 있는 경우에는 수치 해가 시간 간격에 민감하지 않았다. 그러나 비선형성 인자가 큰 경우에는 수치 해가 시간 간격에 민감한 것으로 밝혀졌다. 이 경우, 시간 간격이 감소할수록 공간 필터의 강도가 증가하여 작은 규모의 현상이 약하게 모의되었다. 이는 일반적으로 시간 간격이 감소하면 절단 오차가 감소하여 더 정확한 수치 해가 도출된다는 사실과 상충한다. 이러한 충돌은 비선형 모형의 수치 해를 안정하게 하기 위해 공간 필터가 반드시 필요하기 때문에 피할 수 없다.
대기 모델링 연구에서 시간 간격을 적절하게 결정하는 것은 중요한 문제이다. 본 연구에서는 비선형 대기 모형에서 수치 해의 시간 간격에 대한 민감도를 조사하였다. 이를 위해 간단한 무차원화된 역학 모형을 사용하여 시간 간격과 비선형성 인자를 바꾸어가며 수치 실험을 수행하였다. 실험 결과, 비선형성 인자가 영향을 줄 만큼 크지 않고 절단 오차를 무시할 수 있는 경우에는 수치 해가 시간 간격에 민감하지 않았다. 그러나 비선형성 인자가 큰 경우에는 수치 해가 시간 간격에 민감한 것으로 밝혀졌다. 이 경우, 시간 간격이 감소할수록 공간 필터의 강도가 증가하여 작은 규모의 현상이 약하게 모의되었다. 이는 일반적으로 시간 간격이 감소하면 절단 오차가 감소하여 더 정확한 수치 해가 도출된다는 사실과 상충한다. 이러한 충돌은 비선형 모형의 수치 해를 안정하게 하기 위해 공간 필터가 반드시 필요하기 때문에 피할 수 없다.
An appropriate determination of time step is one of the important problems in atmospheric modeling. In this study, we investigate the sensitivity of numerical solutions to time step in a nonlinear atmospheric model. For this purpose, a simple nondimensional dynamical model is employed, and numerical...
An appropriate determination of time step is one of the important problems in atmospheric modeling. In this study, we investigate the sensitivity of numerical solutions to time step in a nonlinear atmospheric model. For this purpose, a simple nondimensional dynamical model is employed, and numerical experiments are performed with various time steps and nonlinearity factors. Results show that numerical solutions are not sensitive to time step when the nonlinearity factor is not influentially large and truncation error is negligible. On the other hand, when the nonlinearity factor is large (i.e., in a highly nonlinear regime), numerical solutions are found to be sensitive to time step. In this situation, smaller time step increases the intensity of the spatial filter, which makes small-scale phenomena weaken. This conflicts with the fact that smaller time step generally results in more accurate numerical solutions owing to reduced truncation error. This conflict is inevitable because the spatial filter is necessary to stabilize the numerical solutions of the nonlinear model.
An appropriate determination of time step is one of the important problems in atmospheric modeling. In this study, we investigate the sensitivity of numerical solutions to time step in a nonlinear atmospheric model. For this purpose, a simple nondimensional dynamical model is employed, and numerical experiments are performed with various time steps and nonlinearity factors. Results show that numerical solutions are not sensitive to time step when the nonlinearity factor is not influentially large and truncation error is negligible. On the other hand, when the nonlinearity factor is large (i.e., in a highly nonlinear regime), numerical solutions are found to be sensitive to time step. In this situation, smaller time step increases the intensity of the spatial filter, which makes small-scale phenomena weaken. This conflicts with the fact that smaller time step generally results in more accurate numerical solutions owing to reduced truncation error. This conflict is inevitable because the spatial filter is necessary to stabilize the numerical solutions of the nonlinear model.
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문제 정의
∆t가 감소함에 따라 변화되는 양상을 보다 정확히 알아보기 위해 상승 속도의 시계열을 확인해 보았다. Fig.
무차원화된 수치 모형은 역학 과정만을 포함한 단순한 역학 모형이기 때문에 시간 간격 변화에 따른 모형 결과의 차이를 복잡한 수치 모형에 비해 보다 정확하게 이해할 수 있다. 또한 비선형성의 크기를 임의로 조절하기 쉬워서 비선형성 정도에 따라 수치 실험 결과의 시간 간격 민감도가 어떻게 달라지는지를 살펴볼 수 있다.
본 연구에서는 간단한 무차원화된 수치 모형을 이용하여 시간 간격에 대한 민감도가 비선형성의 정도에 따라 어떻게 달라지는지 살펴보고, 시간 간격 변화에 따른 모형 결과 변화의 원인을 분석하기 위해 절단 오차와 모형의 계산 과정을 함께 살펴보고자 한다. 무차원화된 수치 모형은 역학 과정만을 포함한 단순한 역학 모형이기 때문에 시간 간격 변화에 따른 모형 결과의 차이를 복잡한 수치 모형에 비해 보다 정확하게 이해할 수 있다.
가설 설정
격자 간격과 시간 간격은 모든 경우에서 CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) 조건을 만족하였다. 무차원화된 기본류와 부력 진동수는 1로 모형 영역 내에서 균일하다고 가정하였다. 열 강제력의 고도는 z=1부터 9까지이고 수평 방향으로 모형 영역의 중심을 중심으로 길이 규모가 1인 종형 함수 형태를 고려하여 적분 시간 동안 일정한 강도가 지속되도록 하였다.
본 연구에서 사용한 무차원화된 수치 모형은 공간에 대한 미분 항을 계산하기 위해 수평 방향으로 4차 compact implicit 방식(Navon and Riphagen, 1979)을, 연직 방향으로 중앙 차분법을 사용하며, 시간 적분을 위해 Asselin(1972)이 제안한 필터가 적용된 등넘기법(leapfrog method)을 사용한다. 측면 경계조건으로는 Betz and Mittra(1992)가 고안한 복사 경계 조건을 사용하며, 바닥은 평평하다고 가정한다. 모형 상부에는 스펀지 층을 두어 중력파가 반사되는 것을 억제한다.
제안 방법
(2007)은 로렌츠 방정식(Lorenz, 1963)을 이용하여 수치 실험 결과의 오차는 지수 함수적으로 증가하며, 시간 간격에 따라 수치 실험 결과의 오차가 증가하는 비율과 예측 가능 시간, 그리고 심지어 변수의 수렴값 등도 달라질 수 있음을 보였다. 또한 준지균 잠재소용돌이도 방정식 계를 적용한 간단한 모형과 복잡한 전구 모형을 이용하여 시간 간격을 변화시켜가며 수치 실험한 결과 시간 간격이 증가함에 따라 오차가 증가함을 보였고, 이 때 발생하는 오차를 안정한 오차와 불안정한 오차로 나누어 분석하였다.
비선형성의 크기가 변함에 따라 시간 간격에 대한 수치 모형의 민감도가 어떻게 바뀌는지 살펴보기 위해 무차원화된 수치 모형을 이용하여 수치 실험을 수행하였다. 비선형성의 정도를 변화시키기 위해 비선형성 인자를 0부터 5까지 변화시켰으며, 시간 간격을 규준 시간 간격의 1/2, 1/4, 1/8, 그리고 1/16으로 줄여가며 수치 실험을 수행하였다. 시간 간격이 수치 실험에 영향을 미치는 요인은 시간 적분 과정에서 유한한 크기의 시간 간격을 사용하기 때문에 발생하는 절단 오차와 비선형성에 의한 불안정성을 해소하기 위해 짧은 파장을 갖는 파를 감쇠시키기 위한 공간 필터 사용으로 나뉠 수 있다.
비선형성의 정도에 따른 모형의 시간 간격에 대한민감도를 알아보기 위해 비선형성 인자 µ를 0부터 5까지 1씩 증가시키면서 수치 실험을 수행하였다.
비선형성의 크기가 변함에 따라 시간 간격에 대한 수치 모형의 민감도가 어떻게 바뀌는지 살펴보기 위해 무차원화된 수치 모형을 이용하여 수치 실험을 수행하였다. 비선형성의 정도를 변화시키기 위해 비선형성 인자를 0부터 5까지 변화시켰으며, 시간 간격을 규준 시간 간격의 1/2, 1/4, 1/8, 그리고 1/16으로 줄여가며 수치 실험을 수행하였다.
z=24부터 모형 꼭대기까지는 스펀지 층으로 설정하였다. 시간 간격은 규준 실험에서 0.001(∆t0)이며 이것을 각각 ∆t0/2, ∆t0/4, ∆t0/8, ∆t0/16으로 줄여서 총 5가지 시간 간격 값에 대해 실험하였다. 수치 실험은 시각이 14.
열 강제력은 Pandya and Durran(1996)에서 고려한 스콜선 형태의 열 강제력을 무차원화하였고, 배경 기본류는 z=0일 때 −1.8이고 선형적으로 감소하여 z=6일 때 0이 되고 그 이상의 고도에서는 0으로 일정하게 하였다.
무차원화된 기본류와 부력 진동수는 1로 모형 영역 내에서 균일하다고 가정하였다. 열 강제력의 고도는 z=1부터 9까지이고 수평 방향으로 모형 영역의 중심을 중심으로 길이 규모가 1인 종형 함수 형태를 고려하여 적분 시간 동안 일정한 강도가 지속되도록 하였다. ν는 스펀지 층 아래에서는 0.
, 2007)과 상충한다. 이러한 현상이 다르게 설계된 수치 실험에서도 동일하게 나타나는지 확인하기 위하여 추가적인 수치 실험을 수행하였다. 앞의 실험 설계에서 열 강제력의 형태와 배경 기본류만 변경하고 이외의 요소는 동일하게 설정하였다.
이와 같은 현상이 절단 오차 등과는 관계가 없음을 보이기 위해 ∆t를 변화시킬 때 γ도 함께 변화시켜서 γ/∆t가 일정하도록 조정하여 수치 실험을 수행하였다.
이론/모형
본 연구에서 사용한 수치 모형은 Baik and Chun(1996)이 개발한 무차원화된 수치 모형으로 2차원의 정역학, 비회전, 부시네스크 근사를 만족하는 방정식 계를 수치적으로 적분하는 모형이다. 변수를 무차원화하기 위해 열 강제력의 수평 길이 규모 L, 수평 방향의 기본류의 속도 규모 Uc, 기준 부력 진동수 Nc 등을 사용하였으며, 모형에서 고려한 방정식 계와 각각의 변수를 무차원화하는 방법은 Han and Baik(2012)에 자세히 기술되어 있다. 각각의 변수를 무차원화한 지배 방정식 계는 다음과 같다.
본 연구에서 사용한 무차원화된 수치 모형은 공간에 대한 미분 항을 계산하기 위해 수평 방향으로 4차 compact implicit 방식(Navon and Riphagen, 1979)을, 연직 방향으로 중앙 차분법을 사용하며, 시간 적분을 위해 Asselin(1972)이 제안한 필터가 적용된 등넘기법(leapfrog method)을 사용한다. 측면 경계조건으로는 Betz and Mittra(1992)가 고안한 복사 경계 조건을 사용하며, 바닥은 평평하다고 가정한다.
본 연구에서 사용한 수치 모형은 Baik and Chun(1996)이 개발한 무차원화된 수치 모형으로 2차원의 정역학, 비회전, 부시네스크 근사를 만족하는 방정식 계를 수치적으로 적분하는 모형이다. 변수를 무차원화하기 위해 열 강제력의 수평 길이 규모 L, 수평 방향의 기본류의 속도 규모 Uc, 기준 부력 진동수 Nc 등을 사용하였으며, 모형에서 고려한 방정식 계와 각각의 변수를 무차원화하는 방법은 Han and Baik(2012)에 자세히 기술되어 있다.
성능/효과
4가 될 때까지 수행하였다. 격자 간격과 시간 간격은 모든 경우에서 CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) 조건을 만족하였다. 무차원화된 기본류와 부력 진동수는 1로 모형 영역 내에서 균일하다고 가정하였다.
이는 비선형성이 큰 경우 더 작은 시간 간격을 사용한 수치 실험이 더 정확한 모사를 수행하지는 못하는 것을 의미한다. 본 연구 결과를 통해 절단 오차를 무시할 만하고 선형 안정도 조건을 만족시킨다면 오히려 큰 시간 간격을 적용한 수치 실험이 더 정확한 결과를 도출할 수 있는 것으로 나타났다. 따라서 비선형성이 강한 수치 실험을 수행할 때에는 절단 오차를 줄이면서 작은 규모의 현상을 가능한 정확히 모사하는 시간 간격을 찾는 것이 중요하다.
위와 같은 형태의 필터를 적용할 경우 푸리에 분석을 통해 파장이 2∆x인 파가 가장 많이 감쇠되며, 이 때의 감쇠 비율은 16γ가 됨을 확인할 수 있다.
시간 간격이 수치 실험에 영향을 미치는 요인은 시간 적분 과정에서 유한한 크기의 시간 간격을 사용하기 때문에 발생하는 절단 오차와 비선형성에 의한 불안정성을 해소하기 위해 짧은 파장을 갖는 파를 감쇠시키기 위한 공간 필터 사용으로 나뉠 수 있다. 종형 함수 형태의 열 강제력과 균일한 배경류를 고려한 수치 실험 결과 실험한 시간 간격의 범위 내에서 절단 오차에 의한 효과는 거의 없는 것으로 나타났으며, 시간 간격이 감소함에 따라 비선형성이 강한 경우 격자 간격의 6-12배에 해당하는 작은 규모의 현상의 강도가 약하게 모사되고 최대 상승 속도 역시 감소되는 현상을 보였다. 이는 스콜선 형태의 열 강제력과 연직 시어를 갖는 배경류를 설정하여 수행한 수치 실험에서도 동일하게 나타났다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
시간 간격은 어떤 영향을 미치는 것으로 알려져 있는가?
시간 간격은 전구 모형과 같은 복잡한 모형에서는 절단 오차뿐 아니라 모형 내 계산 과정에도 영향을 미치는 것으로 알려져 있다. Williamson and Olson(2003)은 전구 모형을 이용하여 시간 간격에 따라ITCZ (Intertropical Convergence Zone)에서의 강수량과 강수 구조 등이 달라짐을 보였는데, Mishra et al.
비선형 방정식 계의 한계점은 무엇인가?
특히 작은 규모의 현상일수록 비선형 항인 이류 항의 중요성이 커진다. 그러나 비선형 방정식 계는 특별한 경우를 제외하고는 해석 해를 구할 수 없으며, 수치적으로 해를 구할 때에도 초기 조건에 매우 민감하여(Lorenz, 1963) 정확한 해를 구하기가 매우 어렵다.
무차원화된 수치 모형은 비선형성의 크기를 임의로 조절하기 쉽기 때문에, 어떤 특징을 보이는가?
무차원화된 수치 모형은 역학 과정만을 포함한 단순한 역학 모형이기 때문에 시간 간격 변화에 따른 모형 결과의 차이를 복잡한 수치 모형에 비해 보다 정확하게 이해할 수 있다. 또한 비선형성의 크기를 임의로 조절하기 쉬워서 비선형성 정도에 따라 수치 실험 결과의 시간 간격 민감도가 어떻게 달라지는지를 살펴볼 수 있다.
참고문헌 (13)
Asselin, R., 1972, Frequency filter for time integrations. Monthly Weather Review, 100, 487-490.
Baik, J.-J. and Chun, H.-Y., 1996, Effects of nonlinearity on the atmospheric flow response to low-level heating in a uniform flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 53, 1856-1869.
Betz, V. and Mittra, R., 1992, Comparison and evaluation of boundary conditions for the absorption of guided waves in an FDTD simulation. IEEE Microwave Guided Wave Letter, 2, 499-501.
Chun, H.-Y., Choi, H.-J., and Song, I.-S., 2008, Effects of nonlinearity on convectively forced internal gravity waves: Application to a gravity wave drag parameterization. Journal of the Atmospheric Sciences, 65, 557-575.
Mishra, S.K., Srinivasan, J., and Nanjundiah, R.S., 2008, The impact of the time step on the intensity of ITCZ in an aquaplanet GCM. Monthly Weather Review, 136, 4077-4091.
Navon, I.M. and Riphagen, H.A., 1979, An implicit compact fourth-order algorithm for solving the shallowwater equation in conservation-law form. Monthly Weather Review, 107, 1107-1127.
Pandya, R. and Durran, D.R., 1996, The influence of convectively generated thermal forcing on the mesoscale circulation around squall lines. Journal of the Atmospheric Sciences, 53, 2924-2951.
Teixeira, J., Reynolds, C.A., and Judd, K., 2007, Time step sensitivity of nonlinear atmospheric models: Numerical convergence, truncation error growth, and ensemble design. Journal of the Atmospheric Sciences, 64, 175-189.
Williamson, D.L. and Olson, J.G., 2003, Dependence of aqua-planet simulations on time step. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 129, 2049-2064.
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