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두꺼운 꼬리를 갖는 연속 확률분포들의 꼬리 확률에 관하여
On Tail Probabilities of Continuous Probability Distributions with Heavy Tails 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.26 no.5, 2013년, pp.759 - 766  

윤석훈 (수원대학교 통계정보학과)

초록
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본 논문에서는 두꺼운 꼬리를 갖는 확률분포들의 여러 부류에 대해서 살펴본다. 주어진 하나의 확률분포가 이들 중 어떤 부류에 속하는 지를 알려면 해당 분포의 꼬리 확률에 대한 (점근) 표현식을 알아야만 한다. 그러나 대다수의 절대 연속 확률분포들은 분포함수가 아닌 확률밀도함수로 명시되기 때문에 통상적으로 이들의 꼬리 확률에 대한 표현식을 얻는 작업은 그리 쉬운 일이 아니다. 본 논문에서는 이러한 경우 확률밀도함수만을 이용하여 꼬리 확률에 대한 점근 표현식을 쉽게 얻을 수 있는 하나의 방법을 제안한다. 또한 제안한 방법을 설명하기 위하여 몇가지 예를 첨부한다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

The paper examines several classes of probability distributions with heavy tails. An (asymptotic) expression for tail probability needs to be known to understand which class a given probability distribution belongs to. It is usually not easy to get expressions for tail probabilities since most absol...

주제어

#두꺼운 꼬리를 갖는 분포   #열지수분포   #긴 꼬리   #정규적으로 변하는 꼬리  

AI 본문요약
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* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.

문제 정의

  • 본 논문에서는 우선 두꺼운 꼬리를 갖는 확률분포들의 부류를 세분화해서 살펴본다. 어떤 확률분포가 이렇게 세분화된 여러 부류 중 어디에 속하는 지를 알아 내기 위해서는 해당 확률분포의 꼬리 확률에 대한 표현식 또는 점근 표현식을 알아야만 한다.
  • 그러나, 대다수 절대 연속 확률분포(또는 확률 변수)들은 분포함수(distribution function)의 명시적인 표현식이 알려져 있지 않고, 대신 확률밀도함수(probability density function)만이 알려져 있다. 본 논문에서는 이러한 경우 확률밀도함수만을 이용하여 꼬리 확률의 점근 표현식을 쉽게 찾는 방법을 제안한다.
  • 본 절에서는 앞 절에 소개된 Lemma 2.1의 방법을 사용하여 명시적인 분포함수의 표현식이 알려져 있지 않은 몇몇 확률분포들에 대하여 꼬리 확률의 점근 표현식을 구해보고 해당 확률분포들의 꼬리가 어느 정도 두꺼운 지를 살펴보기로 한다. X를 하나의 절대 연속 확률변수라고 하고 X의 확률밀도함수를 fX로 나타내기로 하자.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
대다수의 절대 연속 확률분포들은 무엇으로 명시되는가? 주어진 하나의 확률분포가 이들 중 어떤 부류에 속하는 지를 알려면 해당 분포의 꼬리 확률에 대한 (점근) 표현식을 알아야만 한다. 그러나 대다수의 절대 연속 확률분포들은 분포함수가 아닌 확률밀도함수로 명시되기 때문에 통상적으로 이들의 꼬리 확률에 대한 표현식을 얻는 작업은 그리 쉬운 일이 아니다. 본 논문에서는 이러한 경우 확률밀도함수만을 이용하여 꼬리 확률에 대한 점근 표현식을 쉽게 얻을 수 있는 하나의 방법을 제안한다.
확률분포가 어디에 속하는지 알려면 어떻게 해야하는가? 본 논문에서는 두꺼운 꼬리를 갖는 확률분포들의 여러 부류에 대해서 살펴본다. 주어진 하나의 확률분포가 이들 중 어떤 부류에 속하는 지를 알려면 해당 분포의 꼬리 확률에 대한 (점근) 표현식을 알아야만 한다. 그러나 대다수의 절대 연속 확률분포들은 분포함수가 아닌 확률밀도함수로 명시되기 때문에 통상적으로 이들의 꼬리 확률에 대한 표현식을 얻는 작업은 그리 쉬운 일이 아니다.
Black Monday 이전에는 전문가들이 무엇을 믿어왔는가? 6%의 폭락률에 해당하고 금액으로는 미국 증권시장 전체적으로 약 5,000억달러가 하루 사이에 사라지는 결과가 초래되었다. 이 대폭락 사태 이전까지만해도 포트폴리오 매니저, 금융 의사결정권자, 증권 거래원들은 대부분의 유가 증권에서 수익률(혹은 손실률)의 분포는 정규분포를 따른다고 믿어 왔다 (Fergusson과 Platen, 2006). 그러나, 이후 극단 수익률(혹은 극단 손실률)의 발생은 정규분포에서 예상되는 것보다도 훨씬 자주 발생되고 있음이 자료 분석 결과 밝혀졌고, 오늘 날에는 대부분의 경제학자들이 주식, 외환에서의 수익률(혹은 손실률) 분포에 대한 정규분포 가정을 강하게 부정하고 있다.
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참고문헌 (10)

  1. Alves, I. F., de Haan, L. and Neves, C. (2009). A test procedure for detecting super-heavy tails, Journal of Statistical Planning and Inference, 139, 213-227. 

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  2. Asmussen, S. (2003). Applied Probability and Queues, Springer, Berlin. 

  3. Cline, D. B. H. (1994). Intermediate regular and ？ variation, Proceedings of the London Mathematical Society, 68, 594-616. 

  4. Embrechts, P., Kluppelberg, C. and Mikosch, T. (1997). Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer-Verlag, Berlin. 

  5. Fergusson, K. and Platen, E. (2006). On the distributional characterization of daily log-returns of a world stock index, Applied Mathematical Finance, 13, 19-38. 

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  6. Goldie, C. M. and Resnick, S. (1988). Distributions that are both subexponential and in the domain of attraction of an extreme-value distribution, Advances in Applied Probability, 20, 706-718. 

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  8. Resnick, S. I. (1987). Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes, Springer, New York. 

  9. Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V. and Teugels, J. (1999). Stochastic Processes for Insurance and Finance, John Wiley & Sons, Chichester. 

  10. Teugels, J. L. (1975). The class of subexponential distributions, Annals of Probability, 3, 1000-1011. 

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