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문제 정의
- 가장 널리 쓰이는 분석 방법으로 로지스틱 회귀분석 모형이 고려되어왔지만, 1의 비율이 매우 낮은 희귀사건(rare event)의 경우 로지스틱 회귀분석모형에서의 최대가능도 추정량(maximum likelihood estimator)에 심각한 편의(bias) 문제가 발생할 수있음이 이미 알려져 있다 (King과 Zeng, 2001). 따라서 본 논문에서는 이 편의 문제를 다루기 위해 앞으로 소개될 두 가지 방법을 시뮬레이션된 자료를 통해 비교연구를 수행한 후에, 편의가 작은 방법을 이용하여 충청북도 보은 지역에서 랜덤하게 얻어진 5000개 지역을 대상으로 산사태 발생 여부에 영향을 주는 환경 변수를 분석하고자 하였다.
- Heinze와 Schemper (2002)에서는 이 벌칙 가능도를 이용해서 로지스틱 회귀분석에서 어떠한 설명변수에 의해 0과 1이 완전히 분리(separation)가 되는 경우 회귀계수의 추정치가 발산하는 것을 막아주는 방법으로 활용하였다. 이 논문에서는 희귀사건을 다루는 로지스틱 회귀분석 모형에서 편의문제를 해결할 수 있는 두 가지 방법 - King과 Zeng (2001)의 방법과 Firth (1993)의 방법을 시뮬레이션 연구를 통해 비교분석 해 보고 어떠한 방법의 성능이 더 좋은지 판단하고자 한다. 앞으로 편의상 전자를 King 방법, 후자를 Firth 방법이라 명명하여 사용하겠다.
- Firth의 방법과 King의 방법 모두 이론적으로는 로지스틱 회귀모형에서 최대가능도 추정량의 O(1/n) 편의를 제거해주는 것으로 알려져 있기 때문에 성능이 비슷할 것으로 기대되지만 실제 희귀 사건 자료에 적용해 보게 되면 알고리즘의 안정성 측면에서 Firth의 방법이 훨씬 더 좋다는 것을 알 수 있다. 이를 이해하기 위해서 각 방법이 어떠한 방식으로 편의를 제거하는지에 대해 자세히 살펴보도록 하겠다.
- 특히 이 논문의 관심사인 이항반응변수에 대한 로지스틱 회귀 분석의 경우 Firth의 방법이 어떻게 적용되는지를 살펴보도록 하겠다. 먼저 설명변수 xi가 주어졌을 때 이항반응변수 yi = 1의 확률을
- King과 Zeng (2001)에서는 무작위 추출법(random sampling) 뿐 아니라 환자군-대조군 연구(casecontrol study)와 같은 표본 기법에 대한 희귀사건 로지스틱 회귀분석 문제를 같이 다루었다. 특히 환자군-대조군 연구를 통해 얻어지는 자료에 로지스틱 회귀모형이 적합되는 경우 절편에 큰 편의가 생길 수 있는데, 이 절편이 일치 추정량이 되도록 수정하는 방법을 해당 논문에서 제안하였다. 또한 사회과학에서 쓰이는 다양한 표본 추출 방식을 고려하였는데, 이 때 로그 가능도함수에 가중치를 고려하여 로지스틱 회귀분석의 모수를 올바르게 추정하는 방식에 대해서도 상세히 논하였다.
- 특히 환자군-대조군 연구를 통해 얻어지는 자료에 로지스틱 회귀모형이 적합되는 경우 절편에 큰 편의가 생길 수 있는데, 이 절편이 일치 추정량이 되도록 수정하는 방법을 해당 논문에서 제안하였다. 또한 사회과학에서 쓰이는 다양한 표본 추출 방식을 고려하였는데, 이 때 로그 가능도함수에 가중치를 고려하여 로지스틱 회귀분석의 모수를 올바르게 추정하는 방식에 대해서도 상세히 논하였다. 이 방법은 현재 R 패키지인 Zelig에 구현되어있다.
- 그러나 Heinze와 Schemper (2002)의 연구에서는 희귀 사건에서 대해서 Firth의 방법이 어떤 면이 우수한지에 대한 정확한 논의가 결여되어있다. 본 논문에서는 먼저 희귀 사건 시뮬레이션 자료에 대해 실제 편의의 수준이 어느 정도인지, 제 1종 오류와 검정력은 어떤지 자세히 살펴보도록 하겠다.
- 각 분석 방법을 통해 얻어진 추정치(estimate), 표준오차(se), 유의확률(p-value)를 보고하였다. 유의하지 않은 변수가 많기 때문에 단계적 변수 선택법(stepwise variable selection)을 이용한 결과를 함께 살펴보았다. 단계적 변수선택법에서 변수 선택 기준은 유의수준 0.
- 3에서 살펴볼 수 있었다. 세부적인 해석은 위에서 언급하였듯이 오즈의 관점에서 쉽게 가능하므로 논문의 간결성을 위해 생략하였다.
- 본 논문에서는 희귀 사건을 다룰 때 로지스틱 회귀분석에서 나타날 수 있는 편의 문제를 다루는 두 가지 방법에 대해 살펴보았다. 시뮬레이션 연구를 통해 살펴본 바에 따르면, 추정치가 아니라 스코어 함수를 수정함으로써 추정치를 구하는 알고리즘이기 때문에 큰 안정성을 갖는 Firth의 방법이 실제 훨씬 성능이 좋음을 알 수 있었다.
가설 설정
- 을 생각해보자. 여기서 P는 확률을 의미하고, 설명변수 xi에 대한 회귀계수는 1로 고정된 것이며 n개의 랜덤샘플이 있다고 가정한다. 이 때 King과 Zeng (2001)은 β0의 최대 가능도 추정량의 편의가
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