강건최적설계 분야에서 목적함수의 강건성은 목적함수의 변화가 둔감한 해를 강조한다. 일반적으로 목적함수의 강건성은 설계변수나 파라미터에 대한 목적함수의 변동을 줄임으로써 달성할 수 있다. 하지만, 기존의 방법들에서는 변동에 둔감한 목적을 달성하기 위해 목적함수의 값이 희생되는 경우가 있다. 또한, 설계변수의 수가 증가할수록 비선형계획법을 이용한 강건최적설계의 수치적 계산비용은 증가한다. 본 연구에서는 상한함수를 사용한 새로운 강건성지수와 비선형계획법에서의 강건최적설계 방법을 제안한다. 또한, 제안한 방법의 효율성을 향상시키기 위하여 선형화된 함수의 상한 값을 이용한 방법도 소개한다. 이를 다양한 수학예제에 적용하고 기존의 강건성지수와 수치적 성능 비교를 통해 제안한 방법의 유용성을 검증한다. 제안한 강건성지수는 목적함수의 성능에 손실이 발생하지 않으며 효율성을 크게 향상시킬 수 있다.
강건최적설계 분야에서 목적함수의 강건성은 목적함수의 변화가 둔감한 해를 강조한다. 일반적으로 목적함수의 강건성은 설계변수나 파라미터에 대한 목적함수의 변동을 줄임으로써 달성할 수 있다. 하지만, 기존의 방법들에서는 변동에 둔감한 목적을 달성하기 위해 목적함수의 값이 희생되는 경우가 있다. 또한, 설계변수의 수가 증가할수록 비선형계획법을 이용한 강건최적설계의 수치적 계산비용은 증가한다. 본 연구에서는 상한함수를 사용한 새로운 강건성지수와 비선형계획법에서의 강건최적설계 방법을 제안한다. 또한, 제안한 방법의 효율성을 향상시키기 위하여 선형화된 함수의 상한 값을 이용한 방법도 소개한다. 이를 다양한 수학예제에 적용하고 기존의 강건성지수와 수치적 성능 비교를 통해 제안한 방법의 유용성을 검증한다. 제안한 강건성지수는 목적함수의 성능에 손실이 발생하지 않으며 효율성을 크게 향상시킬 수 있다.
In the robust optimization field, the robustness of the objective function emphasizes an insensitive design. In general, the robustness of the objective function can be achieved by reducing the change of the objective function with respect to the variation of the design variables and parameters. How...
In the robust optimization field, the robustness of the objective function emphasizes an insensitive design. In general, the robustness of the objective function can be achieved by reducing the change of the objective function with respect to the variation of the design variables and parameters. However, in conventional methods, when an insensitive design is emphasized, the performance of the objective function can be deteriorated. Besides, if the numbers of the design variables are increased, the numerical cost is quite high in robust optimization for nonlinear programming problems. In this research, the robustness index for the objective function and a process of robust optimization are proposed. Moreover, a method using the supremum of linearized functions is also proposed to reduce the computational cost. Mathematical examples are solved for the verification of the proposed method and the results are compared with those from the conventional methods. The proposed approach improves the performance of the objective function and its efficiency.
In the robust optimization field, the robustness of the objective function emphasizes an insensitive design. In general, the robustness of the objective function can be achieved by reducing the change of the objective function with respect to the variation of the design variables and parameters. However, in conventional methods, when an insensitive design is emphasized, the performance of the objective function can be deteriorated. Besides, if the numbers of the design variables are increased, the numerical cost is quite high in robust optimization for nonlinear programming problems. In this research, the robustness index for the objective function and a process of robust optimization are proposed. Moreover, a method using the supremum of linearized functions is also proposed to reduce the computational cost. Mathematical examples are solved for the verification of the proposed method and the results are compared with those from the conventional methods. The proposed approach improves the performance of the objective function and its efficiency.
* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.
문제 정의
강건성을 나타내기 위해 상한함수의 개념을 이용한 방법은 선형 계획법에서 강건성을 고려하기 위한 연구에서 시작한다. (15,16) 본 연구에서는 상한함수를 이용한 개념을 차용하여 비선형 계획법에서 강건최적설계를 위한 목적함수의 강건성 지수를 새로이 제안한다. 설계변수의 공차나 파라미터의 변동범위가 정의될 때 목적함수의 상한함수는 다음과 같다.
기존의 비선형계획법에서 목적함수의 강건성을 확보하기 위한 연구는 설계변수나 파라미터의 변동에 목적함수의 변화가 둔감한 설계를 추구하여 강건성을 달성하려 하였다. 하지만, 제시하는 강건해가 목적함수의 성능에 손실을 발생시킬 수 있는 특징이 있으며, 비선형 계획법에서 강건최적설계를 수행할 때 수치적 비용이 비싸다는 이유로 실제 구조 문제에 적용하는 데 큰 한계점으로 지적되어 왔다.
또한, 제안한 강건성지수로 비선형 계획법을 이용한 강건최적 설계를 수행함에 있어 최적민감도(13)를 적용하여, 강건성지수의 계산만으로 별도의 민감도 계산이 필요하지 않음을 수학적 전개과정을 통해 보인다. 더불어 제안한 강건최적설계 과정의 효율성을 향상시키기 위하여 선형화된 목적함수의 강건성지수를 소개한다. 제안한 방법은 수학 예제에 적용하고 기존의 강건성지수와 수치적 성능 비교를 통해 제안한 방법의 유용성을 검증한다.
이는 설계변수의 개수가 증가할 경우 제안한 방법의 효율성을 감소시킬 수 있다. 따라서 내부 루프에서 최적설계 과정을 수행하지 않고 해를 구할 수 있는 방법을 소개한다.
하지만, 제시하는 강건해가 목적함수의 성능에 손실을 발생시킬 수 있는 특징이 있으며, 비선형 계획법에서 강건최적설계를 수행할 때 수치적 비용이 비싸다는 이유로 실제 구조 문제에 적용하는 데 큰 한계점으로 지적되어 왔다. 본 논문에서는 이를 해결하고자 목적함수의 상한함수를 이용한 강건최적설계방법을 제안하였다. 제안한 지수를 통해 강건최적설계를 수행할 경우 기존 방법에서 일반적으로 추구하던 강건성의 개념과는 달리 목적함수의 손실이 발생하지 않는 강건해를 제시하였다.
본 연구에서는 기존의 강건성지수와 비선형 계획법을 이용한 강건최적설계 방법이 내포하고 있는 한계점을 개선하기 위하여 비선형 계획법에서 목적함수의 상한함수를 이용한 강건최적설계방법을 제안한다. 목적함수의 상한함수로 표현되는 강건성지수는 설계변수나 파라미터의 변동을 고려할 때 목적함수가 가장 큰 부분을 의미한다.
(1)강건최적설계의 연구는 모두에 대하여 이루어졌으며, 각 설계 정식화를 구성하는 목적함수와 제한 조건의 강건성을 확보하기 위한 지수의 개발로 이어졌다. 본 연구에서는 목적함수의 강건성을 확보하기 위한 강건성지수와 이를 이용한 비선형 계획법에서 강건최적설계 방법에 대해 논한다.
본 연구에서는 목적함수의 상한함수를 이용한 강건성지수와 과정을 소개하였다. 상한함수를 이용한 개념이나 제안한 방법이 비선형 계획법을 이용한 강건최적설계에서 수치적 비용이 크게 줄어드는 특징은 제한 조건의 강건성으로도 충분히 확대 적용할 수 있으리라 판단된다.
본 연구에서는 설계변수의 공차나 파라미터의 불확실성에 대한 변동범위가 정의되었을 때 목적 강건성을 확보할 수 있는지수와 강건최적설계 방법을 제안한다.
가설 설정
기어감속기 시스템의 특성을 수학식으로 묘사한 예제로 목적함 수는 기어감속기의 질량을, 제한조건은 감속기를 구성하는 기어와 축에 실제 부여되는 설계제약조건들을 의미한다. 설계변수의 공차 범위는 ∆bi= 0.012로 가정하였고, 가중치법에서의 가중치 w = 0.5로 정의하였다. 설계를 위한 정식화는 다음과 같다.
이 예제는 비선형성이 있는 목적함수와 3 개의 제한 조건으로 구성된 문제이다. 초기 설계점은 (3.0 3.5) 이고 설계변수의 공차 범위는 (0.2 0.2) 로 가정하였다.가중치법에서의 가중치 w = 0.
이 예제는 비선형성이 있는 목적함수와 1개의 제한 조건으로 구성된 문제이다. 초기 설계점은 (8.0 9.0)이 고 설계변수의 공차 범위는 (0.1 0.1)로 가정하였다.가중치법에서의 가중치는 w = 0.
제안 방법
본 논문에서는 식(4)를 외부루프(Outer loop), 식(3)을 내부루프(Inner loop)로 지칭한다. 따라서 제안한 방법은 외부 루프에서 강건최적설계를 수행하기 위해 내부 루프를 순환하는 이중루프(Double loop)구조로 구성되어 있다. 제안한 강건최적설계의 순서를 요약하면 다음과 같다.
제안한 지수를 통해 강건최적설계를 수행할 경우 기존 방법에서 일반적으로 추구하던 강건성의 개념과는 달리 목적함수의 손실이 발생하지 않는 강건해를 제시하였다. 또한, 제안한 방법의 효율성을 향상시키기 위하여 선형화된 함수를 이용한 강건성지수와 과정을 소개하였고, 예제를 통해 비선형 계획법을 이용한 강건최적설계를 수행함에 있어 효율성이 향상된 강건해를 얻을 수 있도록 하였다.
앞서 목적함수의 강건성을 확보하기 위한 강건최적 설계를 수행함에 있어 제안한 방법은 내부 루프의 최적점에서 계산된 최적민감도를 이용하여 외부 루프의 민감도로 그대로 이용하는 특성을 지닌다. 최적민감도는 최적 설계 시 상수로 고려하는 파라미터가 바뀌었을 때 그 파라미터에 대한 최적값의 변화율이다.
목적함수의 상한함수로 표현되는 강건성지수는 설계변수나 파라미터의 변동을 고려할 때 목적함수가 가장 큰 부분을 의미한다. 이 강건성지수를 이용하여 강건최적설계를 수행하면 불확실성의 변동을 고려함에도 목적함수의 성능에 손실이 발생하지 않는 강건해를 제시한다. 또한, 제안한 강건성지수로 비선형 계획법을 이용한 강건최적 설계를 수행함에 있어 최적민감도(13)를 적용하여, 강건성지수의 계산만으로 별도의 민감도 계산이 필요하지 않음을 수학적 전개과정을 통해 보인다.
더불어 제안한 강건최적설계 과정의 효율성을 향상시키기 위하여 선형화된 목적함수의 강건성지수를 소개한다. 제안한 방법은 수학 예제에 적용하고 기존의 강건성지수와 수치적 성능 비교를 통해 제안한 방법의 유용성을 검증한다.
본 논문에서는 이를 해결하고자 목적함수의 상한함수를 이용한 강건최적설계방법을 제안하였다. 제안한 지수를 통해 강건최적설계를 수행할 경우 기존 방법에서 일반적으로 추구하던 강건성의 개념과는 달리 목적함수의 손실이 발생하지 않는 강건해를 제시하였다. 또한, 제안한 방법의 효율성을 향상시키기 위하여 선형화된 함수를 이용한 강건성지수와 과정을 소개하였고, 예제를 통해 비선형 계획법을 이용한 강건최적설계를 수행함에 있어 효율성이 향상된 강건해를 얻을 수 있도록 하였다.
데이터처리
제안한 알고리즘의 유용성을 검증하기 위해 수학 예제를 이용하여 제안한 방법과 기존의 방법의 비교를 수행하였다. 기존의 방법에서는 대표적으로 다중목적함수 형태의 가중치법(Weighted sum approach)을 이용하여 제안한 방법과의 결과를 비교하였다.가중치법을 대조군으로 이용한 이유는 목적함수의 변동과 더불어 평균도 같이 고려할 수 있는 대표적인 방법이기 때문이다.
5. 예제
제안한 알고리즘의 유용성을 검증하기 위해 수학 예제를 이용하여 제안한 방법과 기존의 방법의 비교를 수행하였다. 기존의 방법에서는 대표적으로 다중목적함수 형태의 가중치법(Weighted sum approach)을 이용하여 제안한 방법과의 결과를 비교하였다.
이론/모형
가중치법을 대조군으로 이용한 이유는 목적함수의 변동과 더불어 평균도 같이 고려할 수 있는 대표적인 방법이기 때문이다. 각 방법들의 효율성은 함수 호출 횟수를 이용하여 비교하였고, 민감도 계산은 유한차분법(Finite Difference Method)을 사용하였다.
성능/효과
목적함수가 오목한 형태의 문제에서는 기존의 가중치법이나 상한함수를 이용한 강건 최적설계의 결과 모두 확정론적 최적해와 유사한 위치로 수렴하였다. 강건최적설계 결과의 효율성 비교에 있어서는 기존의 방법이나 상한함수를 이용한 방법보다 선형화된 함수를 이용한 강건최적설계방법이 가장 적은 함수 호출 횟수를 보임을 확인할 수 있다. 본예제에 있어 선형화된 상한함수를 이용한 경우 상한함수를 이용한 강건 성지수의 결과와 비교해볼 때 동일한 위치로 수렴함에도 계산비용에 있어서 가장 효과적임을 알 수 있다.
이 강건성지수를 이용하여 강건최적설계를 수행하면 불확실성의 변동을 고려함에도 목적함수의 성능에 손실이 발생하지 않는 강건해를 제시한다. 또한, 제안한 강건성지수로 비선형 계획법을 이용한 강건최적 설계를 수행함에 있어 최적민감도(13)를 적용하여, 강건성지수의 계산만으로 별도의 민감도 계산이 필요하지 않음을 수학적 전개과정을 통해 보인다. 더불어 제안한 강건최적설계 과정의 효율성을 향상시키기 위하여 선형화된 목적함수의 강건성지수를 소개한다.
Table 4는 초기 값, 확정론적 최적해의 결과와 더불어 기존의 방법과 제안한 방법을 이용한 강건 최적설계를 보여준다. 먼저, 확정론적 최적해에서는 초기 설계에 비해 목적함수의 평균과 표준편차가 모두 감소한 결과를 보인다. 이는 목적함수의 성능 향상과 둔감한 설계를 동시에 충족하는 부분으로, 설계변수의 하한상한 값에 대하여 목적함수가 오목한 형태를 보일 때 나타나는 특성이다.
하지만 제안한 방법은 표준편차도 줄었으며 동시에 평균과 상한값 또한 감소하여 성능에 손실이 발생하지 않는 강건해를 제시하고 있음을 보여준다. 목적함수가 볼록한 함수 형태의 비선형성을 지니는 경우 기존의 방법과 제안한 방법이 제시하는 강건해가 상이함을 확인할 수 있다. 한편, 효율성을 비교하였을 때 제안한 방법에서는 기존의 방법에 비해 해석 횟수의 향상 정도가 두드러진다.
강건최적설계 결과의 효율성 비교에 있어서는 기존의 방법이나 상한함수를 이용한 방법보다 선형화된 함수를 이용한 강건최적설계방법이 가장 적은 함수 호출 횟수를 보임을 확인할 수 있다. 본예제에 있어 선형화된 상한함수를 이용한 경우 상한함수를 이용한 강건 성지수의 결과와 비교해볼 때 동일한 위치로 수렴함에도 계산비용에 있어서 가장 효과적임을 알 수 있다.
앞서 소개한 강건최적설계 과정은 내부 루프와 외부 루프에서 최적설계를 수행해야 하는 특징이 있다. 이는 설계변수의 개수가 증가할 경우 제안한 방법의 효율성을 감소시킬 수 있다. 따라서 내부 루프에서 최적설계 과정을 수행하지 않고 해를 구할 수 있는 방법을 소개한다.
2에 나타난 바와 같이, 미소변동 범위 내에서 비선형 함수의 상한 값이나 민감도와 거의 유사함을 확인할 수 있다. 이러한 이유로 선형화된 상한함수를 목적함수의 강건성지수로 이용할 경우, 최적 설계 과정을 수행하지 않고 목적함수의 상한값과 최적민감도를 계산할 수 있기 때문에 제안한 강건최적설계 방법의 효율성이 향상될 수 있다.
이는 수렴된 강건해가 목적함수의 성능에 손실이 있는 결과를 제시하고 있음을 의미한다. 하지만 제안한 방법은 표준편차도 줄었으며 동시에 평균과 상한값 또한 감소하여 성능에 손실이 발생하지 않는 강건해를 제시하고 있음을 보여준다. 목적함수가 볼록한 함수 형태의 비선형성을 지니는 경우 기존의 방법과 제안한 방법이 제시하는 강건해가 상이함을 확인할 수 있다.
목적함수가 볼록한 함수 형태의 비선형성을 지니는 경우 기존의 방법과 제안한 방법이 제시하는 강건해가 상이함을 확인할 수 있다. 한편, 효율성을 비교하였을 때 제안한 방법에서는 기존의 방법에 비해 해석 횟수의 향상 정도가 두드러진다.
이와 같은 문제에서는 상한함수를 이용한 강건최적설계의 결과나 기존의 방법도 확정론적 최적해와 유사한 위치로 수렴하였다. 함수호출 횟수를 통한 효율성 비교에 있어서는 기존의 방법이나 상한함수를 이용한 방법보다 선형화된 함수를 이용한 강건최적설계방법이 가장 우수함을 확인할 수 있다. 선형화된 상한함수를 이용한 강건 최적 설계의 방법이 상한함수를 이용한 강건 성지수의 결과와 동일한 위치로 수렴하고 효율성 측면에 있어서도 우수한 결과를 보인다.
Table 4는 초기 값, 확정론적 최적해의 결과와 더불어 기존의 방법과 제안한 방법을 이용한 강건 최적설계를 보여준다. 먼저, 확정론적 최적해에서는 초기 설계에 비해 목적함수의 평균과 표준편차가 모두 감소한 결과를 보인다. 이는 목적함수의 성능 향상과 둔감한 설계를 동시에 충족하는 부분으로, 설계변수의 하한상한 값에 대하여 목적함수가 오목한 형태를 보일 때 나타나는 특성이다.
후속연구
본 연구에서는 목적함수의 상한함수를 이용한 강건성지수와 과정을 소개하였다. 상한함수를 이용한 개념이나 제안한 방법이 비선형 계획법을 이용한 강건최적설계에서 수치적 비용이 크게 줄어드는 특징은 제한 조건의 강건성으로도 충분히 확대 적용할 수 있으리라 판단된다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
목적함수의 강건성은 어떻게 달성할 수 있는가?
강건최적설계 분야에서 목적함수의 강건성은 목적함수의 변화가 둔감한 해를 강조한다. 일반적으로 목적함수의 강건성은 설계변수나 파라미터에 대한 목적함수의 변동을 줄임으로써 달성할 수 있다. 하지만, 기존의 방법들에서는 변동에 둔감한 목적을 달성하기 위해 목적함수의 값이 희생되는 경우가 있다.
목적함수의 강건성이 강조하는 것은?
강건최적설계 분야에서 목적함수의 강건성은 목적함수의 변화가 둔감한 해를 강조한다. 일반적으로 목적함수의 강건성은 설계변수나 파라미터에 대한 목적함수의 변동을 줄임으로써 달성할 수 있다.
목적함수의 강건성에서 설계변수의 수가 증가하면 일어나는 변화는?
하지만, 기존의 방법들에서는 변동에 둔감한 목적을 달성하기 위해 목적함수의 값이 희생되는 경우가 있다. 또한, 설계변수의 수가 증가할수록 비선형계획법을 이용한 강건최적설계의 수치적 계산비용은 증가한다. 본 연구에서는 상한함수를 사용한 새로운 강건성지수와 비선형계획법에서의 강건최적설계 방법을 제안한다.
참고문헌 (18)
Arora, J. S., 2012, Introduction to Optimum Design, Elsevier, Korea, pp. 754-760.
Belegundu, A. D. and Zhang, S., 1992, "Robustness of Design Through Minimum Sensitivity," Journal of Mechanical Design, Vol. 114, pp. 213-217.
Han, J. S. and Kwak, B. M., 2004, "Robust Optimization Using a Gradient Index: MEMS Applications," Structural Multidisciplinary Optimization, Vol. 27, No. 6, pp. 439-478.
Kim, N. K., Kim, D. W., Kim, H. G., Lowther, D. A. and Sykulski, J. K., 2010, "Robust Optimization Utilizing the Second-Order Sensitivity Information," IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 46, No. 8, pp. 3117-3120.
Ramakrishnan, B. and Rao, S. S., 1996, "A General Loss Function Based Optimization Procedure for Robust Design," Engineering Optimization, Vol. 25, pp. 255-276.
Parkinson, D. B., 2000, "The Application of a Robust Design Method to Tolerancing," Journal of Mechanical Design, Vol. 122, No. 2, pp. 97-102.
Sundaresan, S., Ishii, K. and Houser, D. R., 1995, "A Robust Optimization Procedure with Variations on Design Variables and Constraints," Engineering Optimization, Vol. 24, No. 2, pp. 101-117.
Doltsinis, I. and Kang, Z., 2004, "Robust Design of Structures Using Optimization Methods," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 193, No. 23-26, pp. 2221-2237.
Lee, K. H., Eom, I. S., Park, G. J. and Lee, W. I., 1996, "Robust Design for Unconstrained Optimization Problems Using the Taguchi Method," AIAA Journal, Vol. 34, No. 5, pp. 1059-1063.
Chen, W., Wiecek, M. M. and Zhang, J., 1999, "Quality Utility-A Compromise Programming Approach to Robust Design," Journal of Mechanical Design, Vol. 121, No. 2, pp. 179-187.
Jung, D. H. and Lee, B. C., 2002, "Development of a Simple and Efficient Method for Robust Optimization," International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 53, No. 9, pp. 2201-2215.
Sobieszczanski-Sobieski, J., Barthelemy, J. M. and Riley, K. M., 1982, "Sensitivity of Optimum Solutions of Problem Parameters," AIAA Journal, Vol. 20, No. 9, pp. 1291-1299.
Lee, S. J., Jeong, S. B. and Park, G. J., 2013, "Investigation of the Robustness Index of the Objective Function in Robust Optimization," Trans. Korean Soc. Mech. Eng. A, Vol. 37, No. 5, pp. 589-599.
Ben-Tal, A., Ghaoui, L. El. and Nemirovski, A., 2009, Robust Optimization, Princeton University Press, New Jersey.
Beyer, H. G. and Sendhoff, B., 2007, "Robust Optimization - A Comprehensive Survey," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 196, No. 33-34, pp. 3190-3218.
Park, G. J., 2007, Analytic Methods for Design Practice, Springer-Verlag, New York, pp. 397-448.
Lu, S. and Kim, H. M., 2010, "A Regularized Inexact Penalty Decomposition Algorithm for Multidisciplinary Design Optimization Problem with Complementarity Constraints," Journal of Mechanical Design, Vol. 132, No. 4, pp. 041005 (12 pages), http://dx.doi.org/10.1115/1.4001206.
※ AI-Helper는 부적절한 답변을 할 수 있습니다.