[논문]뉴턴의 일반화된 이항정리의 기원

고영미; 이상욱

doi:10.14477/jhm.2014.27.2.127

뉴턴의 일반화된 이항정리의 기원
The Origin of Newton's Generalized Binomial Theorem 원문보기

Journal for history of mathematics = 한국수학사학회지, v.27 no.2, 2014년, pp.127 - 138

고영미 (Dept. of Math., The Univ. of Suwon) , 이상욱 (Dept. of Math., The Univ. of Suwon)

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper we investigate how Newton discovered the generalized binomial theorem. Newton's binomial theorem, or binomial series can be found in Calculus text books as a special case of Taylor series. It can also be understood as a formal power series which was first conceived by Euler if convergence does not matter much. Discovered before Taylor or Euler, Newton's binomial theorem must have a good explanation of its birth and validity. Newton learned the interpolation method from Wallis' famous book ${\ll}$Arithmetica Infinitorum${\gg}$ and employed it to get the theorem. The interpolation method, which Wallis devised to find the areas under a family of curves, was by nature arithmetrical but not geometrical. Newton himself used the method as a way of finding areas under curves. He noticed certain patterns hidden in the integer binomial sequence appeared in relation with curves and then applied them to rationals, finally obtained the generalized binomial sequence and the generalized binomial theorem.

주제어

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문제 정의

이 논문은 「뉴턴은 이항급수 또는 일반화된 이항정리를 어떻게 발견했을까?」라는 질문에 대한 답을 제시하고자 하는 목적으로 쓰여졌다. 뉴턴의 이항급수는 대학의 미분적분학에서 다루어지는 내용 중에서 테일러 급수를 적용하거나, 오일러에 의해서 최초로 시작된 형식멱급수(formal power seires)의 개념으로 설명이 가능하지만, 뉴턴이 이항급수를 발견한 시기는 1665년 경으로 테일러(Talor, 1685–1731)나 오일러(Euler, 1707–1783)가 태어나기 전이다.
이 논문은 「뉴턴은 이항급수 또는 일반화된 이항정리를 어떻게 발견했을까?」라는 질문에 대한 답을 제시하고자 하는 목적으로 쓰여졌다. 뉴턴의 이항급수는 대학의 미분적분학에서 다루어지는 내용 중에서 테일러 급수를 적용하거나, 오일러에 의해서 최초로 시작된 형식멱급수(formal power seires)의 개념으로 설명이 가능하지만, 뉴턴이 이항급수를 발견한 시기는 1665년 경으로 테일러(Talor, 1685–1731)나 오일러(Euler, 1707–1783)가 태어나기 전이다.
대학과정에서 뉴턴의 일반화된 이항정리는 미분적분학에서 뿐만 아니라 이산수학 혹은 조합론에서 생성함수를 다룰 때도 소개된다. 이 논문은 테일러급수보다 먼저 나온 이항급수가 어떻게 발견되었는지에 초점을 두었다. 뉴턴과 월리스가 살았던 17세기는 지금의 우리에게 익숙한 엄밀한 논리에 따른 수학적 증명이 아직 생겨나기 전이었고 특히 함수에 대한 명확한 개념이나 급수의 수렴성은 아직 다루어지지 않았던 때였다.

제안 방법

이를 위해서 월리스의 보간법(interpolation)에 대한 설명을 빠뜨릴 수 없다. 월리스의 보간법에 활용된 알하젠의 합의 공식과 카발리에리의 불가분량법 (method of indivisibles)을 먼저 간단히 소개하고 각각이 어떤 관련을 가지고 어떻게 활용되었는지 살펴본다.
이 논문에서는 뉴턴이 이항급수를 얻는 과정을 설명하고, 이항급수의 기원에 대한 이해에 초점을 둔다. 이를 위해서 월리스의 보간법(interpolation)에 대한 설명을 빠뜨릴 수 없다.
뉴턴은 월리스가 곡선 아래의 넓이를 구하는 데 이용한 보간법에서 아이디어를 얻어 월리스와 유사한 방법으로 보간법을 적용하고 특정한 패턴을 발견함으로써 일반화된 이항정리, 즉 이항급수를 얻을 수 있었다. 일반화된 이항정리에 대한 엄밀한 증명은 19세기에 이르러 코쉬와 아벨 등에 의해 주어졌지만, 월리스나 뉴턴은 구체적인 증명 대신 대수적인 계산이나 기하적인 방법 등을 포함한 다양한 방법으로 그들이 얻은 공식을 실험적으로 검토함으로써 공식의 타당함을 확인하였다.
즉, 곡선과 x = n으로 둘러싸인 영역의 넓이를, 밑변의 길이가 1이고 높이가 각각 02, 12, 22, · · · , n2인 직사각형의 넓이의 합으로 근사하여, 가로가 x = −0.5 부터 x = n + 0.5 까지이고 세로가 n2인 직사각형의 넓이와 비교한다.

이론/모형

앞의 예에서 n = 2이면 이항계수 1, 2, 1이 n = 3이면 이항계수 1, 3, 3, 1이 곡선과 넓이의 식에서 공통적으로 계수에 나타난다. 이 결과를 음수 n으로 확장하여 양의 정수에 대해 성립하는 이항계수의 법칙을 음의 정수까지 적용하여 [Table 2]를 얻었다 (표에서 각 칸의 수는 왼쪽의 수와 위의 수의 합과 같다) [4, 10]. 예를 들어,[Table 2]에서 네 번째 열은 n = −1, 그리고 일곱 번째 열은 n = 2인 경우의 y = (1 + x)ⁿ의 넓이 식에서의 계수들을 나타낸 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	이탈리아의 수학자 카발리에리를 유명한 수학자로 만들어준 책은 무엇인가?	곡선 아래 영역의 넓이를 구하고자 하는 노력에서 적분법의 역사가 시작되었다고 한다면, 이런 적분법의 기초를 최초로 만든 사람은 이탈리아의 수학자 카발리에리(Cavalieri, 1598–1647)라고 할 수 있다. 1635년에 출판된 책《Geometria indivisiblibus continuorum nova quadam ratione promota》은 카발리에리를 유명한 수학자로 만들어주었다 [1]. 그는 이책에서 불가분량(indivisible)이라는 무한소(infinitesimal) 개념을 이용해서 넓이를 구하는 방법을 설명했다.
	소진법의 단점은 무엇인가?	소진법은 일반적으로 적용하기가 어렵다는 단점이 있어서, 그리스인들은 쌍곡선 y = 1/x아래 영역 등을 포함해 많은 영역의 넓이를 알 수 없었다 [2]. 14세기에 오어섬(Oresme)으로부터 곡선 아래 영역의 넓이를 구하는 문제의 중요성이 인식되었다.
	적분법의 기초를 최초로 만든 사람은 누구인가?	곡선 아래 영역의 넓이를 구하고자 하는 노력에서 적분법의 역사가 시작되었다고 한다면, 이런 적분법의 기초를 최초로 만든 사람은 이탈리아의 수학자 카발리에리(Cavalieri, 1598–1647)라고 할 수 있다. 1635년에 출판된 책《Geometria indivisiblibus continuorum nova quadam ratione promota》은 카발리에리를 유명한 수학자로 만들어주었다 [1].

참고문헌 (13)

K. ANDEERSON, Cavalieri's method of indivisibles, 1984. (http://library.mat.uniroma1.it/appoggio/MOSTRA2006/ANDERSEN.pdf)
M. CARROLL, S. DOUGHERTY, D. PERKINS, Indivisibles, infinitesimals and a tale of seventeenth-century mathematics, Math. Magazine 86 (2013), 239-254.

상세보기
J. L. COOLIDGE, The story of the binomial theorem, The Amer. Math. Monthly 56(3) (1949), 147-157.

상세보기
D. DENNIS, S. ADDINGTON, The binomial series of Issac Newton, Mathematical Intentions (http://www.quadrivium.info.)
D. DENNIS, J. CONFREY, The creation of continuous exponents: A study of the methods and epistemology of John Wallis, Researches in Collegiate Mathematics (CBMS Vol. 6) AMS (1996), 33-60.
D. DENNIS, V. KREINOVICH, S. RUMP, Intervals and the origins of calculus, Reliable Computing 4(2) (1998), 1-7.

상세보기
D. GINSBURG, B. GROOSE, J. TAYLOR, History of the integral from the 17th century, Lecture Note (www.math.wpi.edu/IQP/BVCalcHist/calc1.html)
REE Sangwook, KOH Youngmee, KIM YoungWook, e is Euler's style, Mathematics and Education 95 (2012), 68-77. 이상욱, 고영미, 김영욱, e는 오일러 스타일, 수학과 교육 (전국수학교사모임) 95 (2012), 68-77.
J. STILLWELL, Mathematics and its history, 3rd ed., Springer, 2010.
D. T. WHITESIDE, Newton's discovery of the general binomial theorem, The mathematical Gazette 45(353) (1961), 175-180.

상세보기
http://en.wikipedia.org/wiki/Alhazen
http://www.robertnowlan.com/pdfs/Wallis,%20John.pdf
http://www.phrases.org.uk/meanings/268025.html

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