[논문]입·출력 제약을 갖는 도립진자의 스윙업 제어

경기영; 박재헌; 이영삼

doi:10.5302/j.icros.2014.14.0051

입·출력 제약을 갖는 도립진자의 스윙업 제어
Swing-up Control of an Inverted Pendulum Subject to Input/Output Constraints 원문보기

제어·로봇·시스템학회 논문지 = Journal of institute of control, robotics and systems, v.20 no.8, 2014년, pp.835 - 841

(인하대학교 로봇공학과) , 경기영 (인하대학교 전기공학과) , 박재헌 (인하대학교 전기공학과) , 이영삼 (인하대학교 전기공학과)

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper we propose a swing-up strategy for a single inverted pendulum. The proposed method has a feature whereby can handle the input and output constraint of a pendulum in a systematic way. For the swing-up of a pendulum, we adopt a 2-DOF control structure that combines the feedforward and feedback control. In order to generate the swing-up feedforward trajectories that satisfy the input and output constraint, we formulate the problem of generating feedforward trajectories as a nonlinear optimal control problem subject to constraints. We illustrate that the proposed method is more flexible than the existing method and provides great freedom in choosing the actuator of the inverted pendulum. Through an experiment, we show that the proposed method can swing a pendulum upward effectively while satisfying all the imposed constraints.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.

문제 정의

이 논문에서는 도립진자의 입력과 출력 제약조건을 고려하여 도립진자를 스윙업 제어하는 방법을 제안하였다. 제안되는 방법은 기존에 제안된 2자유도 구조의 제어구조를 취하되 피드포워드 궤적 생성을 제약조건을 고려한 최적제어 문제로부터 계산해내는 방식을 특징으로 한다.
이 논문에서는 피드포워드 궤적 생성 문제를 제약조건을 갖는 시스템에 대한 최적제어 문제로 설정함으로써 [4]의 방법보다 더 유연하고 조직적인 스윙업 제어가 가능하도록 한다. 스윙업이 이루어지기 위해서 도립진자 시스템은 t=0인 시점과 t=T인 시점에서 다음의 경계치 조건을 만족해야 한다.
이 논문은 도립진자가 가지는 입, 출력 제약조건을 조직적으로 고려할 수 있는 스윙업 제어기법을 제안하는 것을 목표로 한다. 이를 통해 스윙업이 이루어지는 동안 카트가 양끝의 벽에 충돌하지 않게 하고 구동기의 제약조건을 설계단계에서부터 고려함으로써 구동부의 선정에 폭을 넓힐 수 있도록 한다.

가설 설정

제안된 궤적 생성 방법의 특징을 살펴보기 위하여 다양한 비용함수를 가정하여 스윙업 궤적을 생성하여 보았다. 그림 4는 생성된 궤적을 비교한 그림이다.

제안 방법

이 논문에서는 [4]에서와 같이 피드포워드 제어와 피드백 제어를 같이 사용하여 도립진자를 제어하는 구조를 취하되 피드포워드 궤적을 특정한 형태의 함수로 가정하여 생성하는 것이 아니라 이점 경계치와 제약조건을 가지는 비선형 최적제어 문제의 해로 정의하고 이를 이용하여 도립진자를 스윙업 하는 방법을 제안한다.
이 논문에서는 [4]에서와 같이 피드포워드 제어와 피드백 제어를 함께 사용하는 2자유도 구조의 제어구조를 이용하여 스윙업 제어문제를 다룬다. [4]에서는 진자가 지면을 향해 정지해 있는 상태에서 진자를 흔들어 올려 도립 상태에 도달하게끔 만드는 카트의 운동궤적을 도립진자의 모델식을 이용하여 미리 계산해 놓고 카트가 이 궤적을 추종하도록 카트의 가속도를 발생시켜 진자를 스윙업 시키는 방식을 취하고 있다.
이 논문에서는 그림 1과 같은 카트형 도립진자 시스템의 스윙업 제어를 다룬다. 여기서 x는 레일중심으로부터 측정된 카트의 변위를, θ는 지면과 수직을 이루는 선으로부터 진자막대가 가지는 회전변위, m은 진자의 질량, I은 진자의 회전축에서 진자의 무게중심까지의 거리, c는 진자의 회전축에서 나타나는 회전 마찰계수, x_lim은 레일의 중심으로부터 양끝의 벽까지의 거리를 나타낸다.
이 논문에서는 제안되는 제어기법의 효용성을 검증하기 위한 실험을 위해 연구실에서 개발한 도립진자 시스템(그림 2)을 활용할 것이다. 개발된 도립진자 시스템은 카트를 움직이기 위한 구동기로서 DC 모터를 사용하고 있으며 동력 전달을 위하여 타이밍벨트를 사용하고 있다.
에너지 기반의 제어를 이용한 스윙업 제어의 기본 생각은 진자가 가지는 에너지를 상태변수를 이용하여 정의하고 도립상태의 진자가 가지는 에너지 값을 가지게끔 진자를 흔들어 에너지를 주입함으로써 진자를 도립시키는 제어방식을 말한다. 이를 위해 진자를 움직여주는 카트(cart)의 가속도를 제어입력으로 본 수학적 모델식을 사용한다. 초창기 스윙업 제어에서는 카트가 무한한 길이의 레일(rail)위에서 운동하는 것을 가정하였으나 대부분의 도립진자 시스템의 레일 길이는 제약이 있으므로 이를 고려하기 위한 제어기법이 제안되었다[2,9,13].
이 논문에서는 도립진자의 입력과 출력 제약조건을 고려하여 도립진자를 스윙업 제어하는 방법을 제안하였다. 제안되는 방법은 기존에 제안된 2자유도 구조의 제어구조를 취하되 피드포워드 궤적 생성을 제약조건을 고려한 최적제어 문제로부터 계산해내는 방식을 특징으로 한다. 기존의 방법에서는 카트 가속도의 피드포워드 궤적이 특정한 형태의 함수인 것을 가정한 것과 달리 제안되는 방식은 특별한 형태를 가정하지 않음으로써 더 유연성을 가지고 문제 설정단계에서 도립진자의 입 · 출력 제약조건을 조직적으로 고려할 수 있는 장점을 가지기 때문에 도립진자 시스템의 구동부 선택에 더 큰 자유도를 줄 수 있다.
제안된 방법의 유용성을 검증하기 위하여 2자유도 구조의 스윙업 제어기를 이용한 스윙업 제어 실험을 수행하였다. 피드포워드 제어를 수행하기 위해서 본 논문에서 제안된 방법을 이용하여 생성한 궤적을 사용하였다.
피드백제어기는 피드포워드제어의 오차를 보정해 주는 역할을 수행하며 이 논문에서는 [4]에서와 같이 LQ 제어기를 사용하였다. 제어기 설계에 사용되는 선형시스템은 본 논문에서 제안된 방법을 통해 생성해낸 피드포워드 궤적을 중심으로 비선형 도립진자시스템을 선형화하여 얻은 시스템을 사용한다. 특정 동작점을 중심으로 선형화한 것이 아니라 궤적을 중심으로 선형화하므로 얻어지는 선형시스템은 시불변 시스템이 아니라 시변시스템이 얻어진다.
5초의 시간이 소요되었다. 카트의 가속도를 정확히 생성해 낼 수는 없으므로 실제 실험에서는 카트의 가속도 궤적을 2번 적분하여 카트의 위치궤적으로 변환하였고 이를 추종하기 위하여 PD 형태의 위치제어기를 사용하였다. 그림 8은 그림 3의 2자유도 스윙업 제어기를 실제로 구현하기 위해 실험에서 사용한 개략도이다.
계산된 궤적과 실제 궤적의 차이를 보정하기 위해 피드백 제어기를 사용하지만 계산된 피드포워드 궤적이 실제 실험궤적과 최대한 일치하도록 만드는 것이 더 큰 성능향상을 가져올 것이다. 표 1에 주어진 모델계수를 초기값으로 하여 [4]에 사용된 방법을 이용하여 모델계수를 실험적으로 추정하였다. 표 2는 추정을 통해 새롭게 얻은 모델계수들이고 그림 6은 두 가지 모델계수를 사용해서 얻은 궤적을 이용하여 실험을 했을 때 얻은 실험결과를 비교하여 나타낸 것이다.
제안된 방법의 유용성을 검증하기 위하여 2자유도 구조의 스윙업 제어기를 이용한 스윙업 제어 실험을 수행하였다. 피드포워드 제어를 수행하기 위해서 본 논문에서 제안된 방법을 이용하여 생성한 궤적을 사용하였다. [10]의 풀이법을 사용하여 피드포워드 궤적을 생성하는데 9.

대상 데이터

피드포워드 궤적과 그림 7의 시변 이득(time-varying gain)은 조견표(look-up table)을 이용하여 구현하였다. RAM의 크기가 한정되어 있기 때문에 조견표를 구성할 때 피드포워드 궤적은 2ms 간격의 데이터를 사용하였고 시변 이득은 5ms 간격의 데이터를 사용하였다. 조견표를 저장하기 위해 약 18KB 정도의 RAM을 사용하였다.
그림 8은 그림 3의 2자유도 스윙업 제어기를 실제로 구현하기 위해 실험에서 사용한 개략도이다. 실시간 제어를 위한 마이크로콘트롤러로써 Texas Instrument의 TMS320F2812을 이용하였고 사용한 샘플타임은 1ms이다. 피드포워드 궤적과 그림 7의 시변 이득(time-varying gain)은 조견표(look-up table)을 이용하여 구현하였다.
그림9. 실험결과의 비교: 개루프 궤적(dash-dot), 폐루프 궤적(점선), 희망궤적(실선).
RAM의 크기가 한정되어 있기 때문에 조견표를 구성할 때 피드포워드 궤적은 2ms 간격의 데이터를 사용하였고 시변 이득은 5ms 간격의 데이터를 사용하였다. 조견표를 저장하기 위해 약 18KB 정도의 RAM을 사용하였다. 참고로 TMS320F2812는 34KB의 RAM을 가지고 있기 때문에 조건표의 시간 데이터 간격을 너무 작게 할 경우 RAM 용량을 넘어서게 된다.

이론/모형

Remark 1: [4]에서는 이점 경계치 문제를 풀기위해 Matlab의 bvp4c 명령을 사용한다. 이 논문에서 제안되는 궤적 생성 방법은 최근 개발된 GPOPS-II라는 수치해법을 사용하여 구현할 수 있다[10].
제안되는 방법과의 비교를 위하여 [4]의 방법을 이용하여 피드포워드 궤적을 생성하였고 그중 카트의 변위와 속도에 대한 궤적을 그림 5에 나타내었다. 스윙업 소요시간을 T=1.
피드백제어기는 피드포워드제어의 오차를 보정해 주는 역할을 수행하며 이 논문에서는 [4]에서와 같이 LQ 제어기를 사용하였다. 제어기 설계에 사용되는 선형시스템은 본 논문에서 제안된 방법을 통해 생성해낸 피드포워드 궤적을 중심으로 비선형 도립진자시스템을 선형화하여 얻은 시스템을 사용한다.
실시간 제어를 위한 마이크로콘트롤러로써 Texas Instrument의 TMS320F2812을 이용하였고 사용한 샘플타임은 1ms이다. 피드포워드 궤적과 그림 7의 시변 이득(time-varying gain)은 조견표(look-up table)을 이용하여 구현하였다. RAM의 크기가 한정되어 있기 때문에 조견표를 구성할 때 피드포워드 궤적은 2ms 간격의 데이터를 사용하였고 시변 이득은 5ms 간격의 데이터를 사용하였다.

성능/효과

기존의 방법에서는 카트 가속도의 피드포워드 궤적이 특정한 형태의 함수인 것을 가정한 것과 달리 제안되는 방식은 특별한 형태를 가정하지 않음으로써 더 유연성을 가지고 문제 설정단계에서 도립진자의 입 · 출력 제약조건을 조직적으로 고려할 수 있는 장점을 가지기 때문에 도립진자 시스템의 구동부 선택에 더 큰 자유도를 줄 수 있다. 기존방법에서 사용했던 모델계수 추정과 피드백 제어기 설계법을 적용하여 제안된 피드포워드 제어방식과 결합하여 2자유도 스윙업 실험을 수행하였으며 실험을 통해 제안된 방식이 도립진자시스템의 입 · 출력 제약조건을 효과적으로 만족하며 스윙업 제어를 수행해 냄을 검증하였다.
제안되는 방법은 기존에 제안된 2자유도 구조의 제어구조를 취하되 피드포워드 궤적 생성을 제약조건을 고려한 최적제어 문제로부터 계산해내는 방식을 특징으로 한다. 기존의 방법에서는 카트 가속도의 피드포워드 궤적이 특정한 형태의 함수인 것을 가정한 것과 달리 제안되는 방식은 특별한 형태를 가정하지 않음으로써 더 유연성을 가지고 문제 설정단계에서 도립진자의 입 · 출력 제약조건을 조직적으로 고려할 수 있는 장점을 가지기 때문에 도립진자 시스템의 구동부 선택에 더 큰 자유도를 줄 수 있다. 기존방법에서 사용했던 모델계수 추정과 피드백 제어기 설계법을 적용하여 제안된 피드포워드 제어방식과 결합하여 2자유도 스윙업 실험을 수행하였으며 실험을 통해 제안된 방식이 도립진자시스템의 입 · 출력 제약조건을 효과적으로 만족하며 스윙업 제어를 수행해 냄을 검증하였다.
카트변위와 가속도를 동시에 고려한 경우에는 카트변위만을 고려한 경우보다 가속도의 최대값이 더 작게 나타나는 것을 볼 수 있다. 세 가지 모두 주어진 제약조건을 만족시키면서 생성 되었으므로 생성된 궤적을 효과적으로 추종하게만 한다면 스윙업을 수행하는 동안 제약조건을 모두 만족하리라는 것을 예상할 수 있다.
제안되는 피드포워드 궤적 생성방법은 u가 어떤 특정한 형태의 함수라고 가정하지 않고 단지 제약조건을 만족하는 최적제어 문제를 풀이하여 얻어진다는 특징을 가진다. 반면 [4]에서 사용된 방법은 u가 상수항과 cosine 함수의 조합 형태를 가지는 것으로 가정하고 (5), (6), (7)에 주어진 이점 경계치 조건을 만족하도록 상수항과 cosine 함수의 계수를 찾는 방법을 이용하였다.

후속연구

이 같은 현상은 [4]에서도 지적되었듯이 카트의 가속도를 원하는 형태로 발생시키기 위해 사용하는 PID 형태의 제어기 시간지연을 포함한 응답과 비선형 마찰과 같은 모델링 되지 않은 효과들에 기인하는 것으로 볼 수 있다. 계산된 궤적과 실제 궤적의 차이를 보정하기 위해 피드백 제어기를 사용하지만 계산된 피드포워드 궤적이 실제 실험궤적과 최대한 일치하도록 만드는 것이 더 큰 성능향상을 가져올 것이다. 표 1에 주어진 모델계수를 초기값으로 하여 [4]에 사용된 방법을 이용하여 모델계수를 실험적으로 추정하였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	도립진자 시스템의 특징은 무엇인가?	제어공학을 연구하는 학자들의 경우에는 새로운 제어기법을 개발한 후 그 효용성을 검증하기 위한 대상 시스템으로 도립진자를 사용하기도 한다. 도립진자 시스템은 불안정 시스템이고 비선형 특성을 가지고 있기 때문에 제어기 설계의 측면에서 보았을 때 비교적 난이도가 높은 시스템에 속한다고 볼 수 있다[3,6,8,11]. 또한 구동기의 갯수에 비해 제어의 대상 변수 가더 많은 시스템이기도 하다. 이런 이유로 인해 지금까지 도립진자의 제어에 대한 다양한 연구들이 발표되어 왔는데, 도립진자의 제어는 도립 상태에서의 제어보다는 진자를 아래쪽에서부터 위쪽으로 흔들어 올리는 스윙업 제어에 초점을 맞추고 있다고 볼 수 있다.
	초창기 스윙업 제어에 제안된 도립진자 시스템의 레일 길이는 제약이 있음을 고려한 제어기법의 한계는 무엇인가?	초창기 스윙업 제어에서는 카트가 무한한 길이의 레일(rail)위에서 운동하는 것을 가정하였으나 대부분의 도립진자 시스템의 레일 길이는 제약이 있으므로 이를 고려하기 위한 제어기법이 제안되었다[2,9,13]. 하지만 이러한 방법들에서도 제어기설계 단계에서부터 스윙업이 이루어지는 동안 카트가 어느 정도 변위 내에서 머무를 것인지는 알 수 없고 단지 계수튜닝을 통해서 시행착오적으로 카트의 변위에 영향을 주는 방식으로 레일의 길이제약을 고려할 수 있을 뿐이다. 종전의 스윙업 제어가 흔드는 동작을 여러 번으로 나누어 점진적으로 진자를 흔들어 올리기 때문에 스윙업까지 소요되는 시간이 비교적 긴 방식인데 비해 최근 연구된 스윙업 제어는 진자를 흔들어 올리기 위해 필요한 카트의 궤적 자체를 사전에 계산해놓고 계산된 궤적을 카트가 잘 추종하게끔 피드포워드 제어와 피드백제어를 같이 사용하여 단시간에 진자를 세워 올리는 방식을 사용한다[4].
	스윙업 제어의 기본 개념은 무엇인가?	스윙업 제어의 가장 기본이 되는 방법은 에너지 기반 제어를 이용한 방법이다[1,12]. 에너지 기반의 제어를 이용한 스윙업 제어의 기본 생각은 진자가 가지는 에너지를 상태변수를 이용하여 정의하고 도립상태의 진자가 가지는 에너지 값을 가지게끔 진자를 흔들어 에너지를 주입함으로써 진자를 도립시키는 제어방식을 말한다. 이를 위해 진자를 움직여주는 카트(cart)의 가속도를 제어입력으로 본 수학적 모델식을 사용한다.

참고문헌 (13)

K. Astrom and K. Fruta, "Swinging up a pendulum by energy control," Automatica, vol. 36, no. 2, pp. 287-295, 2000.

상세보기
D. Chatterjee, A. Patra, and H. K. Joglekar, "Swing-up and stabilization of a cart-pendulum system under restricted cart track length," Systems & Control Letters, vol. 47, pp. 355-364, 2002.

상세보기
K. Furuta, M. Yamakitan, and S. Kobayashi, "Swing-up control of inverted pendulum using pseudo-state feedback," Journal of System and Control Engineering, vol. 206, pp. 263-269, 1992.
K. Graichen, M. Treuer, and M. Zeitz, "Swing up of the double pendulum on a cart by feedforward and feedback control with experimental validation," Automatica, vol. 43, pp. 63-71, 2007.

상세보기
D. E. Kirk. Optimal Control Theory : An Introduction, Prentice Hall, 1970.
R. Lozano, I. Fantoni, and D. J. Block, "Stabilization of the inverted pendulum around its homoclinic orbit," System & Control Letters, vol. 40, pp. 197-204, 2000.

상세보기
J. M. Maciehowski, Predictive Control with Constraints, Prentice Hall, 2002.
N. Muskinja and B. Tovornik, "Swinging up and stabilization of real inverted pendulum," IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 53, no. 2, pp. 631-639, 2006.
Y. Otani, T. Kurokami, A. Inoue, and Y. Hirashima, "A swingup control of an inverted pendulum with cart position control," In Proc. of the IFAC Conference on New Technologies for Computer Control, pp. 13-22, Hongkong, China, 2001.
M. A. Patterson and A. V. Rao, GPOPS - II Version 1.0:A General-purpose Matlab Toolbox for Solving Optimal Control Problems using Variable-order Gaussian Quadrature Collocation Methods, 2014.
M. Wilklund, A. Kristenson, and K. Astrom, "A new strategy for swing up an inverted pendulum," In Proc. of IFAC 12th World Congress, vol. 9, pp. 151-154, Sydney, Australia, 1993.
X. Xin, "Analysis of the energy-based swing-up control for the double pendulum on a cart," International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol. 21, pp. 387-403, 2010.
J. H. Yang, S. Y. Shim, J. H. Seo, and Y. S. Lee, "Swing up control for an inverted pendulum with restricted cart rail length," International Journal of Control, Automation, and Systems, vol. 70, no. 4, pp. 674-680. 2009.

원문보기 상세보기

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

내보내기 구분	파일저장 인쇄 메일전송
구성항목	기본정보 상세정보 관리번호, 논문명, 저널/프로시딩명, 저자 , 발행년, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, 발행기관 관리번호, 논문명, 대등논문명, 저자 , 저널/프로시딩명, 발행기관, 발행년, 발행언어, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, ISBN, ISSN, 주제분야, 키워드, 초록(한글), 초록(영문), 저자(소속기관)
저장형식	Text(ASCII format) Excel format RefWorks Direct Export RIS format (for Reference Manager, ProCite, EndNote), Scholar's Aids, Mendeley
메일정보	받는사람 (필수) @ 보내는사람 (선택) @ 제목 내용 KISTI 검색결과 이메일 서비스
안내	총 건의 자료가 검색되었습니다. 다운받으실 자료의 인덱스를 입력하세요. (1-10,000) 검색결과의 순서대로 최대 10,000건 까지 다운로드가 가능합니다. 데이타가 많을 경우 속도가 느려질 수 있습니다.(최대 2~3분 소요) 다운로드 파일은 UTF-8 형태로 저장됩니다. 파일의 내용이 제대로 보이지 않을실 때는 웹브라우저 상단의 보기 -> 인코딩 -> 자동선택 여부를 확인하십시오. ~ Text(ASCII format) Excel format

연합인증