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문제 정의
- 내부 기체의 온도 변화에 따른 보다 정확한 벨로우즈의 변형 해석을 위하여 Lee 등(6,7)은 기체의 온도-체적-압력 상태 방정식과 유한요소법을 결합한 수치적 방법을 제안하였으나 실험적으로 검증하지 못하였다. 이에 본 연구에서는 기존의 연구보다 향상된 내부 체적 계산 기법을 적용하고 실험을 통해 채택된 방법의 타당성을 검증해 보기로 한다.
- 그런데 반경방향 변형은 길이방향 변형에 비하여 상대적으로 적어 그 영향을 무시할 정도이고 길이방향 변형은 내부 기체인 질소가 액화되지 않는 한 본 연구의 방법으로 쉽게 구할 수 있다. 제안된 방법의 타당성을 입증하기 위하여 실험도 수행하였다. 벨로우즈 내부 온도가 223K~323K 범위에서 제작상의 공차와 기체 주입 온도, 압력 조건의 변동성과 측정 오차가 있음을 감안하면 실험 결과 역시 해석 결과와 잘 일치한다.
- 제안된 수치해석에 의해 내부 기체의 온도 변화에 따른 벨로우즈의 변형을 정확히 예측할 수 있음을 입증하기 위하여 실험을 수행하였다. 실험은 293 K 의 상온에서 벨로우즈에 고압의 질소 기체로 충전한 후 기체의 온도를 변화하면서 길이 방향 변형을 측정하였다.
가설 설정
- 벨로우즈 내부의 질소는 초기 조건으로 충전된 후 밀폐되어서 기체의 질량은 일정하다. 참고로 전 온도 Ti-1에서 구한 내부 체적을 초기 내부체적으로 가정한다.
제안 방법
- 2 장의 알고리즘에 의한 수치해의 정확성을 입증하기 위하여 실험을 계획하였다. 그러나 전착과 정으로 제작된 벨로우즈는 초소형, 초박형일 뿐아니라 소형 극저온 냉동기 내부에 장착되므로 벨로우즈 내부 온도를 측정하기가 불가능하다.
- Lee 등(6,7)은 두 절점을 선형으로 근사화한 후 원추형 체적의 구분구적법을 적용하였으나 보다 정확하고 효율적인 내부 체적 계산을 위해 모델링에서 선정된 유한요소의 형상함수에 맞는 적분 결과를 사용하는 것이 추천된다. 그러므로 본 연구에서 체적을 계산하기 위하여 벨로우즈를 모델링한 3 절점 축대칭 쉘 요소의 형상함수로부터 직접 기체의 체적을 구하는 적분식을 유도하였다.
- 이는 Lee 등(4)이 내압에서 정확한 예측을 실험적으로 증명하였다. 그러므로 상용 유한 요소 코드인 ANSYS 에서 이 요소를 선정하고 변형 해석을 수행하였다. 그런데, 내부 기체의 온도가 변하면 기체의 체적과 압력이 MBWR 상태 방정식을 만족하면서 이 내부 압력으로 인한 변형된 벨로우즈의 내부 체적이 일치해야 하는 것이 일반적인 유한 요소해석과 다른 점이다.
- 그러나 전착과 정으로 제작된 벨로우즈는 초소형, 초박형일 뿐아니라 소형 극저온 냉동기 내부에 장착되므로 벨로우즈 내부 온도를 측정하기가 불가능하다. 그러므로 항온 챔버에 벨로우즈만 단독으로 설치한 후 온도변화에 따른 길이방향 변형량을 측정하였다. 벨로우즈는 상하부에 STS316 스테인리스 봉을 이용하여 밀폐처리 하였다.
- 극저온 냉동기의 냉매인 질소의 유량제어용 초박형 벨로우즈의 거동을 수치적으로 해석하였다. 제안된 방법은 기체의 상태 방정식과 내부 기체의 압력에 따른 벨로우즈의 변형 해석을 반복적으로 수행하나 반복 횟수가 최대 4 회 정도로 많은 계산 시간을 요구하지는 않았다.
- 단계 4. 단계 3 에서 구한 기체의 압력 Pk를 내부에 적용하여 벨로우즈의 변형 해석을 한다. 벨로우즈의 재질은 온도에 따라 물성이 변하지 않으므로 열팽창 효과는 무시한다.
- 따라서 각 온도에 대한 LVDT 변위 정값을 측정하여 벨로우즈의 길이방향 변형량을 수정하였다.
- 제안된 방법은 기체의 상태 방정식과 내부 기체의 압력에 따른 벨로우즈의 변형 해석을 반복적으로 수행하나 반복 횟수가 최대 4 회 정도로 많은 계산 시간을 요구하지는 않았다. 또한 벨로우즈의 체적 역시 선정된 유한요소의 형상함수를 이용하여 계산하였다. 비록 본 연구에서는 MBWR 상태 방정식과 유한요소해석을 위해 ANSYS 에서 감차 적분을 적용한 축대칭 3 절점 쉘요소를 사용하였으나 보다 정확하고 효율적인 상태방정식과 벨로우즈의 변형해석 방법이 존재한다면 이들을 바로 적용할 수 있다.
- 그리고 단계 3 과 단계 5 에서 상태방정식 (1)로부터 계산되는 압력은 상용 코드 REFPROP 을 사용하였다. 또한, 가장 핵심인 변형된 벨로우즈 내부의 체적은 2-4 절의 방법에 따라 계산되었으며 이 모든 과정은 ANSYS 의 APDL 을 이용하여 프로그래밍하였다.
- 벨로우즈는 상하부에 STS316 스테인리스 봉을 이용하여 밀폐처리 하였다. 물론 가스 공급을 위하여 먼저 하부에 0.6 ㎜ 스테인리스 관으로 입구를 만들고 이곳을 이용하여 293K 의 질소 기체를 2MPa 로 벨로우즈 내부에 충전하였으며 충전 후 입구는 밀봉 처리 하였다. Fig.
- 밀봉된 질소 기체의 질량을 벨로우즈 내부의 체적으로 나누어 계산된 밀도p 와 온도 Ti 를 상태방정식 (1)에 대입하여 내부 질소의 압력 Pk를 계산한다.
- 단계 4 에서 내압을 받는 벨로우즈의 변형은 본 연구에서 상용 유한요소 코드인 ANSYS 로 해석하였다. 박막 쉘을 해석하기 위해 선정된 감차 적분을 적용한 축대칭 3 절점 쉘요소는 Lee 등(7)과 동일하게 SHELL209 로 Fig. 3 에서 보는 바와 같이 모델링 하였다. 그리고 단계 3 과 단계 5 에서 상태방정식 (1)로부터 계산되는 압력은 상용 코드 REFPROP 을 사용하였다.
- 벨로우즈 내부 기체의 온도 범위는 223K~323K 로 ∆T = 100K로 설정하였으며, 5K 간격 총 21구간에서 벨로우즈의 길이방향 변형 을 측정하였다. 줄-톰슨 극저온 냉각기의 유량 조절용 벨로우즈의 사용조건과 동일하게 극저온이 포함된 온도 범위까지 실험을 수행하여야 하나 100K 에 이르는 극온 상태의 시험은 저온 유지의 어려움과 장비의 측정오차가 커질 우려가 있으므로 이 온도범위로 한정하였다.
- 이 범위에서 실험 측정 값들과 수치해석 결과와 잘 일치함을 확인하였다. 비록 실험의 온도 구간이 극저온을 포함하지는 않으나 MBWR 상태 방정식이나 제안된 방법이 온도 범위에 대한 제약이 없기 때문에 벨로우즈 내부 기체 전체가 액화되지 않는 한 본 연구의 방법은 극저온 초소형 벨로우즈의 거동을 예측하는데 적용할 수 있다.
- 6 에 도시하였다. 실험에서 벨로우즈의 길이방향 변위만 측정하였기 때문에 이 변형량만 비교하였다. 223K~323K 의 온도 범위 내에서 두 변형량은 거의 일치하나 실험값이 해석값보다 전체적으로 약간 크다.
- 제안된 수치해석에 의해 내부 기체의 온도 변화에 따른 벨로우즈의 변형을 정확히 예측할 수 있음을 입증하기 위하여 실험을 수행하였다. 실험은 293 K 의 상온에서 벨로우즈에 고압의 질소 기체로 충전한 후 기체의 온도를 변화하면서 길이 방향 변형을 측정하였다. 실제 극저온 냉각기의 사용조건에 맞게 온도 조건을 설정하여야 하나 실험의 어려움으로 온도범위는 223K~323K 로 제한하였다.
- 1 의 오른쪽 관을 통해 상온에서 유입된 질소기체는 왼쪽에 있는 오르피스를 통과하며 온도가 73K 로 급격히 떨어진다. 유량 조절용 벨로우즈 내부 질소의 온도는 73K 에서 323K 의 사이로 추론할 수 있으나 현실 적으로 내부 질소가 액화되지 않아야 유량 조절이 용이하므로 본 연구에서는 온도범위를 100K~323K로 설정하였다.
- 극저온 냉동기의 냉매인 질소의 유량제어용 초박형 벨로우즈의 거동을 수치적으로 해석하였다. 제안된 방법은 기체의 상태 방정식과 내부 기체의 압력에 따른 벨로우즈의 변형 해석을 반복적으로 수행하나 반복 횟수가 최대 4 회 정도로 많은 계산 시간을 요구하지는 않았다. 또한 벨로우즈의 체적 역시 선정된 유한요소의 형상함수를 이용하여 계산하였다.
- 제안된 방법은 내부 기체 온도가 결정되면 초기 가정된 내압하에 벨로우즈의 변형을 구하고 이 변형된 벨로우즈의 내부 체적이 MBWR 상태 방정식을 만족할 때까지 내압을 수정하는 것이다. 이를 위해서 벨로우즈 내부 기체의 체적 계산이 필요하다.
- 벨로우즈 내부 기체의 온도 범위는 223K~323K 로 ∆T = 100K로 설정하였으며, 5K 간격 총 21구간에서 벨로우즈의 길이방향 변형 을 측정하였다. 줄-톰슨 극저온 냉각기의 유량 조절용 벨로우즈의 사용조건과 동일하게 극저온이 포함된 온도 범위까지 실험을 수행하여야 하나 100K 에 이르는 극온 상태의 시험은 저온 유지의 어려움과 장비의 측정오차가 커질 우려가 있으므로 이 온도범위로 한정하였다. 더구나 본 실험의 주된 목적은 제안된 해석 방법의 타당성 입증이므로 223K~323K 범위의 실험결과와 비교만으로 충분하다.
- 내부 질소 기체의 온도를 원하는 값으로 설정하기 위하여 항온 챔버 내에서 벨로우즈를 설치하였다. 챔버 내부의 단위 시험온도를 1시간 이상 일정하게 유지하여 벨로우즈 내부 기체의 온도 역시 목표 온도에 도달하였다고 보고 벨로우즈의 길이 방향 변형량을 LVDT 로 측정하였다. 잘 알고 있듯이 접촉식 변위측정 센서인 LVDT는 온도에 따라 측정값이 차이가 발생하기 때문에 온도 보정이 필요하다.
대상 데이터
- 벨로우즈 구조 해석에 선정된 SHELL209 는 3절점 축대칭 쉘 요소로 Fig. 4에 도시하였다. 쉘의 두께는 0.
- 본 연구 대상인 벨로우즈는 초박막으로 만들어진 곡선의 주름을 갖는 축 대칭 형상이다. 수치해석에 필요한 축대칭 쉘요소는 Ahmad 등(9)에 의하여 처음 개발되었으나, 많은 쉘요소 중 초박막 벨로우즈 해석에는 감차적분(12~15)을 이용한 3 절점 축대칭 쉘요소(16)가 적합하다.
- 연구 대상인 초소형 줄-톰슨 극저온 냉각기는 Fig. 1 에서 보는 바와 같이 냉각을 위하여 오르피스를 통하여 극저온 질소 기체를 분출한다. 극저온 기체의 분출에 의한 열전달로 인하여 벨로우즈 내부 기체의 온도가 변하여 기체의 압력과 체적 변화로 일어나며 이는 결국 벨로우즈의 압축과 팽창을 통한 냉매의 유량을 조절하게 된다.
- 극저온에 사용되는 벨로우즈는 일반적으로 니켈 합금으로 제작되는데 일반적으로 초박형일 경우 요구되는 치수 및 기계적 성질을 확보하기 위하여 전착에 의해 제작된다. 참고로 본 연구에서 벨로우즈는 Fig. 2 에서 보는 바와 같이 내부가 질소로 충전된 원통형으로 길이 2.62mm, 외경 2.26mm 이고 두께 0.025mm 인 벨로우즈로 초소형이면서 초박형이다.
데이터처리
- 단계 4 에서 내압을 받는 벨로우즈의 변형은 본 연구에서 상용 유한요소 코드인 ANSYS 로 해석하였다. 박막 쉘을 해석하기 위해 선정된 감차 적분을 적용한 축대칭 3 절점 쉘요소는 Lee 등(7)과 동일하게 SHELL209 로 Fig.
이론/모형
- 3 에서 보는 바와 같이 모델링 하였다. 그리고 단계 3 과 단계 5 에서 상태방정식 (1)로부터 계산되는 압력은 상용 코드 REFPROP 을 사용하였다. 또한, 가장 핵심인 변형된 벨로우즈 내부의 체적은 2-4 절의 방법에 따라 계산되었으며 이 모든 과정은 ANSYS 의 APDL 을 이용하여 프로그래밍하였다.
- 질소의 경우 일반적으로 MBWR(Modified Benedict Webb Rubin) 상태방정식(8,9)이 정확하며 이는 32 개의 계수를 갖는 비선형 고차방정식으로 기체의 온도, 압력과 체적의 상관관계를 기술하고 있다. 이 상태방정식은 너무 복잡하여 REFPROP(10) (Reference Fluid Thermodynamic and Transport Properties) 로 NIST 에서 상용코드화 하였다. 참고로 MBWR 식은 기체뿐 아니라 액체 상태까지 포함하여 온도-체적-압력 상태를 정확히 표현한다.
성능/효과
- 001mm 이하로 길이방향 변위에 비하여 상대적으로 무시할 정도이므로 Table 3 에서 생략하였다. 각 벨로우즈 내부 기체 온도에 대하여 2-3 절의 알고리즘에 의한 유한요소해석은 최대 4회 이내에 반복과정으로 해를 구할 수 있는 것으로 나타났다 . 여기서 해의 수렴 여부를 판단하는 단계 6 에서 기술한 조건인 압력의 변화는 0.
- 두 결과의 오차 정도를 분석하기 위하여 Table 4에 수치적으로 나타내었다. 실험을 행하였던 온도 범위에서 본 연구의 방법에 의해 수치적으로 계산한 벨로우즈 길이방향 변위량이 실험결과와 3%미만의 오차로 잘 일치함을 알 수 있다. 그런데 벨로우즈에 충전하는 질소의 기준온도인 293K 에서도 실험과 해석 사이에 오차가 1.
- 이는 실험에서 매우 작은 변위를 측정하고 그 측정변위의 변동성이 상대적으로 커서 벨로우즈의 거동이 불안정 하기 때문에 측정 오차가 커진 것으로 판단된다. 오차의 특성을 분석한 결과 제안된 수치해법은 실험 결과와 전체적으로 잘 일치한다고 말할 수 있다.
- 실제 극저온 냉각기의 사용조건에 맞게 온도 조건을 설정하여야 하나 실험의 어려움으로 온도범위는 223K~323K 로 제한하였다. 이 범위에서 실험 측정 값들과 수치해석 결과와 잘 일치함을 확인하였다. 비록 실험의 온도 구간이 극저온을 포함하지는 않으나 MBWR 상태 방정식이나 제안된 방법이 온도 범위에 대한 제약이 없기 때문에 벨로우즈 내부 기체 전체가 액화되지 않는 한 본 연구의 방법은 극저온 초소형 벨로우즈의 거동을 예측하는데 적용할 수 있다.
- 한편 2-4 절의 수치적분에 의해 구 벨로우즈 내부의 체적은 차원 CAD 프로그램인 CATIA 에서 구한 체적 값과 거의 오차 없이 일치함을 확인하였다.
후속연구
- 초소형이고 초박형 벨로우즈의 경우 응력 측정이 불가능하므로 수치적 해석 방법에 의존하게 된다. 그러므로 본 연구의 해석 방법은 향후 다양한 초소형 초박형 벨로우즈 개발에 기여할 수 있다.
- 또한 벨로우즈의 체적 역시 선정된 유한요소의 형상함수를 이용하여 계산하였다. 비록 본 연구에서는 MBWR 상태 방정식과 유한요소해석을 위해 ANSYS 에서 감차 적분을 적용한 축대칭 3 절점 쉘요소를 사용하였으나 보다 정확하고 효율적인 상태방정식과 벨로우즈의 변형해석 방법이 존재한다면 이들을 바로 적용할 수 있다.
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