[논문]크리스토펠, 리치, 레비-치비타에 의한 19세기 중반부터 20세기 초반까지 미분기하학의 발전

원대연

doi:10.14477/jhm.2015.28.2.103

크리스토펠, 리치, 레비-치비타에 의한 19세기 중반부터 20세기 초반까지 미분기하학의 발전
On the Development of Differential Geometry from mid 19C to early 20C by Christoffel, Ricci and Levi-Civita 원문보기

Journal for history of mathematics = 한국수학사학회지, v.28 no.2, 2015년, pp.103 - 115

원대연 (Dept. of Math., Duksung Women's Univ.)

Abstract ▼ AI-Helper

Contemporary differential geometry owes much to the theory of connections on the bundles over manifolds. In this paper, following the work of Gauss on surfaces in 3 dimensional space and the work of Riemann on the curvature tensors on general n dimensional Riemannian manifolds, we will investigate how differential geometry had been developed from mid 19th century to early 20th century through lives and mathematical works of Christoffel, Ricci-Curbastro and Levi-Civita. Christoffel coined the Christoffel symbol and Ricci used the Christoffel symbol to define the notion of covariant derivative. Levi-Civita completed the theory of absolute differential calculus with Ricci and discovered geometric meaning of covariant derivative as parallel transport.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

이 책에서는 리만의 원대한 구상을 이해하는데 필요하지 않은 수학적 세부 사항은 제외하고 리만의 업적을 박사학위 논문, 박사학위후 논문(Habilitationsschrift), 취임 강연(Habilitationsvortrag) 순으로 소개하였다. 나스타시(P. Nastasi)와 타치올리(R. Tazzioli)는 [20]에서 정치적 인종적 박해를 받았던 20세기 전반기 이태리 최고의 수학자 레비-치비타의 개인적인 삶과 업적을 그가 남긴 서신을 통하여 연구하였다.
일반적인 차원의 공간에 대해서 논하기보다 완전히 계산적인 관점에서 대수적으로 연구하였을 뿐이다. 리치의 목표는 n개의 변수에 대한 2차미분형식에 대한 불변량을 얻을 수 있는 추상적인 이론을 얻는 것이었다. 두 2차미분형식이 어떤 좌표변환에 대하여 일치함을 보이기 위해서 크리스토펠이 시도하였던 방법을 따라 첨자가 3개인 크리스토펠 기호와 나중에 리만 텐서라고 밝혀진 첨자가 4개인 기호를 도입하였고 크리스토펠의 알고리듬이 결국 공변 미분임을 알게 되었다.
본 논문에서는 이미 잘 알려진 가우스와 리만의 기하학 분야의 업적을 그 후대의 학자들이 이어받아 어떻게 발전시켰는지를 고찰한다. 여기에 등장하는 주된 세 인물인 크리스토펠, 리치(Ricci), 레비-치비타(Levi-Civita)는 위에 언급된 수학자들보다 덜 알려진 사람들이지만 19세기 중반부터 20세기 초까지 미분기하학의 발전에 토대를 닦아 20세기 중반 이후 미분기하학을 비롯한 수학 여러 분야의 혁명적인 발전에 이바지하였을 뿐만 아니라 아인슈타인의 일반상대성이론에 기여하는 등 수학과 물리학이 소통할 수 있는 기회를 제공하였다.
현대적인 관점에서 공변미분을 생각해 보자. 다양체 M 이 m차원 유클리드공간 # 속에 등장적으로 매장되어 있을 때 M 위의 곡선 c를 따른 M 의 벡터장 X(t)를 # 의 벡터장으로보고 미분을 한 후 M 의 접평면으로 수직사 영시킨 벡터가 ∇_c′(t)X(t)이다.
¹⁰⁾ 1890년 파두아 대학(University of Padua)에 입학하여 1893년 여기서 박사학위를 받았는데¹¹⁾ 그의 지도교수는 리치이다. 후에 레비-치비타가 리치와 공동 연구를 통하여 절대미분학을 완성하는데 이 박사학위 논문이 기초가 되었다. 국제적으로 명성이 있었던 레비-치비타는 로마 대학(University of Rome)의 끊임없는 구애에도 불구하고 1898년부터 약 20년간 파두아 대학에서 학과장직을 유지하다가 1918년 로마 대학으로 이직하였다.

제안 방법

1932년과 1934년에는 잘 알려진 하다마(Hadamard)세미나에서 레비-치비타와 그의 학생들의 업적에 대해 집중적으로 연구하였다. 레비-치비타는 1933년 처음으로 미국을 방문하여 브라운 대학, 프린스턴 대학, 미국 수학회 등에서 일련의 강연을 하였고 1935년에는 소련을 방문하여 모스코바와 키에프에서 강연을 하였다.
리치의 목표는 n개의 변수에 대한 2차미분형식에 대한 불변량을 얻을 수 있는 추상적인 이론을 얻는 것이었다. 두 2차미분형식이 어떤 좌표변환에 대하여 일치함을 보이기 위해서 크리스토펠이 시도하였던 방법을 따라 첨자가 3개인 크리스토펠 기호와 나중에 리만 텐서라고 밝혀진 첨자가 4개인 기호를 도입하였고 크리스토펠의 알고리듬이 결국 공변 미분임을 알게 되었다.
리치는 1884년부터 1894년까지 이 연구를 통하여 오늘날 리치 미분학 (Ricci calculus)이라고 불리는 절대 미분학의 기초를 닦았다. 1900년 이후에는 주로 그의 학생이었던 레비-치비타와 공동으로 연구하였는데 가장 중요한 업적이라고 생각되는 1900년 논문 [17]에만 이름 전부인 리치-쿠바스트로 대신 리치를 사용하였다.
리치는 크리스토펠 기호를 이용하여 좌표에 대하여 불변인 벡터장의 미분법을 고안하였다. 이 미분을 오늘날 공변미분(covariant derivative)이라고 하는데 이 미분이 좌표에 대해 불변이라는 의미에서 이런 이론을 절대미분법(absolute differentiation)이라고 하였다.
본문에는 지명과 인명 등은 널리 통용되는 영어 표기법을 사용하였고 각주에는 학위를 받은 대학과 학위 논문의 제목 등을 해당 원어로 표기하였다. 인물의 이름은 처음 나왔을 때 한 번만 괄호 안에 영문 표기를 덧붙였다.
Butzer)는 [3]에서 크리스토펠 탄생 150주년을 맞아 그의 생애와 과학적 업적에 관한 논문을 발표하였다. 여기서 부처는 크리스토펠의 업적이 수학과 물리학과 역학의 발전에 미친 영향을 현대적인 맥락에서 평가하였다. 지오바넬리(M.
1900년 이후에는 주로 그의 학생이었던 레비-치비타와 공동으로 연구하였는데 가장 중요한 업적이라고 생각되는 1900년 논문 [17]에만 이름 전부인 리치-쿠바스트로 대신 리치를 사용하였다. 이 논문에서 절대미분학을 2차미분형식의 분류에 응용하였다. 리치의 업적의 진가를 당대에는 수학자들 특히 이태리의 수학자들은 알아보지 못하였다.
크리스토펠 기호를 이용하여 2차미분형식의 분류를 연구하던 크리스토펠의 논문 [7]과 리치의 논문 [22]의 영향을 받아 1896년 텐서 미분학과 공변미분에 관한 논문 [16]을 발표하였다. 이 논문에서 처음 공변 미분이라는 용어를 사용하였다. 1915년 아인슈타인의 일반상대성이론에 관한 논문 [8]에 리치와 레비-치비타가 발표한 [17]의 절대미분학이 사용되었다.
Laugwitz) 는 괴팅엔 수학자들에 의해 전해 내려오는 리만에 대한 평가를 참고하여 리만의 과학 전기(scientific biography) [15]을 저술하였다. 이 책에서는 리만의 원대한 구상을 이해하는데 필요하지 않은 수학적 세부 사항은 제외하고 리만의 업적을 박사학위 논문, 박사학위후 논문(Habilitationsschrift), 취임 강연(Habilitationsvortrag) 순으로 소개하였다. 나스타시(P.

대상 데이터

²⁾ 1850년 베를린 대학 (University of Berlin)에 입학하여 보카르트 (Borchardt), 아이젠슈타인(Eisenstein), 요아킴스탈(Joachimsthal), 슈타이너(Steiner), 디리클 (Dirichlet) 등의 가르침을 받았는데 이 중 디리클레의 영향이 가장 컸다. 1856년 베를린 대학에서 쿠머(Kummer)를 지도교수로 하여 박사학위를 받았다.³⁾
1930년 이 학회의 외국인 회원(fellow)으로 선출되었고 1931년 당시 수학 논평을 하는 가장 중요한 논문집인 젠트랄블라트(Zentralblatt für Mathematik)의 외국인 위원이 되었다.
그러나 희망과 달리 베를린 공대에서 당대의 대가인 바이어스트라스(Weierstrass), 쿠머, 크로네커(Kronecker)등이 포진하고 있던 명문 대학인 베를린 대학과 경쟁하기 어려워 우수한 학생의 유치에 실패하고 실망스러운 나날을 보냈다. 3년 후인 1872년 당시 독일에 속해있던 스트라스부르크의 스트라스부르크 대학(University of Strasbourg)의 학과장으로 초빙되어 전직한 후 1894년 은퇴할 때까지 여기서 지내게 된다. 이 시기는 프러시아 공화국이 알사스로렌(Alsace-Lorraine) 지방을 점령한 시기로 대학이 구조 조정을 겪던 때이었다.
그레고리오 리치-쿠바스트로는 1853년 1월 12일 이태리의 북부 도시 루고(Lugo)에서 출생하였다.⁸⁾ 리치는 1869년 16살의 나이에 로마 대학(University of Rome)에 입학할 정도의 신동이었다.
미국수학회(American Mathematical Society)와 제휴하여 미국 노스 다코타 주립대학(North Dakota State University)에서 제공하는 수학 계보 프로젝트(Mathematics Genealogy Project) [28]를 이용하여 등장하는 인물들의 계보를 확인하였고 인물에 관한 정보는 인터넷 백과사전인 위키피디아(Wikipedia) [30]와 맥튜터 수학사 기록 보관소(The MacTutor History of Mathematics Archive) [27]를 참조하였다.
엘윈 브루노 크리스토펠은 1829년 11월 10일 독일의 아헨 근처에서 출생하였다.²⁾ 1850년 베를린 대학 (University of Berlin)에 입학하여 보카르트 (Borchardt), 아이젠슈타인(Eisenstein), 요아킴스탈(Joachimsthal), 슈타이너(Steiner), 디리클 (Dirichlet) 등의 가르침을 받았는데 이 중 디리클레의 영향이 가장 컸다.
이태리 파시스트 정부는 1936년 노르웨이 오슬로에서 개최된 제11회 세계수학자대회(International Congress of Mathematicians)에 자국의 수학자들이 참여하는 것을 금지하여 레비-치비타도 세계수학자대회에 참가하지는 못했지만 필즈 메달(Fields medal) 수상자를 선발하는 위원회의 위원으로 임명되어 활동하였다. 이때 첫 필즈 메달이 하버드 대학의 알포스(Ahlfors)와 메사추세츠 공과대학의 더글라스(Douglas)에게 수여되었다. 1838년 인종법이 제정된 후 레비-치비타는 강제로 논문집 젠트랄블라트의 편집위원직에서 축출되었고¹³⁾ 해외학회의 참석이 불허되는 등 학문적으로 은퇴 생활을 하게 되었다.
툴리오 레비-치비타는 1873년 3월 29일 이태리 파두아(Padua)에서 출생하였다.¹⁰⁾ 1890년 파두아 대학(University of Padua)에 입학하여 1893년 여기서 박사학위를 받았는데¹¹⁾ 그의 지도교수는 리치이다.

이론/모형

결국 리치는 크리스토펠의 체계적이지 않았던 2차미분형식의 국소 동치 문제의 해결 시도를 체계적인 미분학으로 바꾸어 놓았다. 1893년 리치는 [24]에서 처음으로 절대미분학(absolute differential calculus)이라는 용어를 사용하였다. 여기서 ‘절대’의 의미는 불변량이 좌표계의 선택에 상관없다는 것이다.
이 논문에서 처음 공변 미분이라는 용어를 사용하였다. 1915년 아인슈타인의 일반상대성이론에 관한 논문 [8]에 리치와 레비-치비타가 발표한 [17]의 절대미분학이 사용되었다.
인물의 이름은 처음 나왔을 때 한 번만 괄호 안에 영문 표기를 덧붙였다. 이 논문에서는 식을 간단하게 표기하기 위하여 아래 첨자와 위 첨자가 동일할 때 이 첨자에 대해서 더하는 것으로 보는 아인슈타인의 약속을 사용하였다.

성능/효과

가우스 사상은 곡면이 매장된 3차원 공간을 이용하여 정의되고 가우스 사상의 미분에 의해 가우스 곡률이 정의되지만 가우스의 놀라운 정리(Gauss’s Theorema Egregium)를 통하여 가우스 곡률이 곡면이 3차원 공간에 어떻게 매장되어 있는지에 상관없이 2차원 피막의 정보만으로 구할 수 있는 불변량임을 보였다.
그러나 그의 절대미분학이 널리 알려지게 된 것은 클라인의 5년 전 요청에 따라 클라인의 논문집에 그의 학생이었던 레비-치비타와 공동으로 1900년 [17]를 발표한 후이다. 절대미분학은 이전까지 첨자가 4개인 리만 텐서를 정의하는 데 사용된 매우 복잡한 식을 이용하여 리만 텐서가 실제로 텐서임을 보이는 대신 크리스토펠 기호를 이용하여 얻은 첨자가 3개인 불변량이 텐서임을 보였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	크리스토펠이 남긴 뛰어난 업적은 무엇인가?	그 당시 대부분의 수학자가 했던 것처럼 크리스토펠의 많은 아이디어는 그가 남긴 35편의 논문을 통하기보다는 강의를 통해서 후대에 전해졌다. 크리스토펠은 등각사상, 크리스토펠-슈바르츠 공식, 디리클레 문제 등 순수수학 분야뿐 아니라 샥 파동, 1차원개스 흐름 등 응용수학 분야에도 뛰어난 업적을 남겼다. 따라서 [30]에서처럼 크리스토펠을 수학자겸 물리학자로 분류하는 것이 타당하다.
	미분기하학은 무엇을 다루는가?	18세기 초 미분적분학을 해석기하학에 응용하는 것으로 시작한 미분기하학은 평면의 곡선 연구에서 벗어나 공간의 곡선과 곡면을 다룬다. 몽쥬(Monge)는 나폴레옹 시절 군사적 측량을 하는 건축기사로서 곡면을 입체의 경계로 보았다.
	한국수학사학회지에서 기하학 분야의 특정한 주제나 인물들을 통해 당시 수학의 역사를 살펴보려는 시도로 무엇이 있는가?	한국수학사학회지에서도 기하학 분야의 특정한 주제나 인물들을 통해 당시 수학의 역사를 살펴보려는 시도가 있었다. 이런 시도로 20세기 기하학과 대수학의 한 획을 그은 업적을 낸 수학자인 엘리 카르탕(Élie Cartan)을 통해 20세기 리만 기하학이 어떻게 발전해 왔는지를 조망한 김영욱과 Yuzi Jin의 [14], 수학 거의 모든 분야와 수리물리학 등에 훌륭한 업적을 남긴 독일 수학자 리만 (Riemann) 의 생애와 업적을 살펴보고 리만 방정식에 대해 고찰한 한길준의 [13], 어떤 기하학적 양이 핀치되어 있으면 위상적 또는 미분위상적인 구면이 된다는 구면정리의 발전과 역사를 다룬 조민식의 [6], 비유클리드기하학의 창시자 중 한 사람인로바체프스키(Lobachevski)의 수학철학이 현대철학의 일종의 저수지였음을 보이고 그의 수학철학이 비유클리드기하의 탄생에 기여했음을 밝힌 박창균 [21] 등이 있다.

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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