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이항분포모형에 일반화된 카탈란 수를 적용한 배리어 옵션의 가격 산정
Barrier Option Pricing with Binomial Trees Applying Generalized Catalan Numbers 원문보기

한국산학기술학회논문지 = Journal of the Korea Academia-Industrial cooperation Society, v.17 no.12, 2016년, pp.226 - 231  

최승일 (공주대학교 산업시스템공학과)

초록
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본 논문에서는 배리어 옵션의 가격 산정을 위해 이항분포모형을 사용한다. 경로의존형 옵션인 배리어 옵션의 가격산정을 위해서는 이항트리의 말단에서 역방향으로 진행하면서 개별 노드들의 옵션 가치를 계산하여 옵션 가격을 산정하게 된다. 이항트리의 말단에서는 배리어 도달 여부를 판단하기 어려운데, 카탈란 수를 일반화하여 배리어에 도달하지 않은 경우의 수를 구하고자 한다. 일정한 범위에서 움직이는 경로의 수를 파악하기 위해 카탈란 수에 상한과 하한을 부여하는 방식으로 일반화한다. 이항분포모형에서 배리어 도달 여부는 가격 상승과 가격 하락 횟수의 차이가 일정한 범위에 있는지를 판단하여 결정한다. 상한과 하한을 부여한 일반화된 카탈란 수를 활용하여 가격 상승과 가격 하락 횟수의 차이가 일정한 범위에 있는 경우의 수를 구할 수 있으면, 이항트리 말단에서 배리어에 도달하지 않았을 확률을 계산할 수 있다. 이항트리 말단에서의 옵션 가치와 배리어에 도달하지 않았을 확률을 이용하여 만기의 옵션 기대값을 계산하고 이를 현재 시점으로 할인하여 배리어 옵션 가격을 구하게 된다. 이항분포모형을 이용한 기존의 방법은 중간 단계의 옵션 가치를 모두 계산해야 하지만, 일반화된 카탈란 수를 적용한 방법은 이항트리 말단에서의 옵션 가치만으로도 옵션 가격 산정이 가능하고 만기시점의 옵션행사 확률에 대한 분포를 얻을 수 있다. 상한과 하한을 부여하여 일반화된 카탈란 수는 배리어 옵션 가격 산정뿐만 아니라 다양한 분야에 활용할 수 있을 것으로 기대된다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

Binomial trees are used to price barrier options. Since barrier options are path dependent, option values of each node are calculated from binomial trees using backward induction. We use generalized Catalan numbers to determine the number of cases not reaching a barrier. We will generalize Catalan n...

주제어

#Barrier Option   #Binomial Tree   #Catalan Number   #Knock-Out Option   #Knock-In Opion   #Option Price  

AI 본문요약
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  • 먼저 옵션의 만기를 짧은 기간 Δt로 나누고, 매 기간 기초자산 가격이  S0에서 S0u로 상승하거나 S0d로 하락한다고 가정한다.
  • 먼저 이항분포모형에서 S0=100, K=95이고 배리어 B=90인 하향녹아웃 콜옵션의 가격을 산정하기 위해, r=0.06, σ=0.2, Δt=0.5라고 가정한다.
  • 이항분포모형에서 S0=100, K=95이고 배리어 B=110인 상향녹아웃 콜옵션의 가격을 산정하기 위해, r=0.06, σ=0.2, Δt=0.5라고 가정한다.
  • 이항분포모형은 CRR(Cox-Ross-Rubinstein)모형이라고도 하는데, 기초자산의 가격변동이 이항분포를 따른다고 가정한다. 먼저 옵션의 만기를 짧은 기간 Δt로 나누고, 매 기간 기초자산 가격이  S0에서 S0u로 상승하거나 S0d로 하락한다고 가정한다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
배리어 옵션의 가격을 구하는 방법에는 어떤 방법이 있는가? 경로의존형 옵션인 배리어 옵션의 가격을 산정하기 위해서는 가격 변동 경로에 대한 이해가 필요하다. 배리어 옵션의 가격을 구하는 방법에는 블랙숄즈모형을 가정하고 일반옵션으로 복제 포트폴리오를 구성하는 방법, 이항분포모형을 이용하는 방법, 편미분 방정식을 이용하는 방법 등이 있다[1-3].
실물 경영환경에 적용하는 실물옵션에는 어떤 옵션이 있는가? 실물 경영환경에 적용하는 실물옵션에는 성장옵션, 포기옵션, 연기옵션 등이 있는데, 포기옵션은 배리어 옵션과 유사한 특징을 갖는다[8]. 실물옵션의 다양한 응용 사례를 살펴보면[9-11], 본 연구를 실물옵션에도 적용할 수 있을 것으로 기대된다.
배리어 옵션의 녹아웃 옵션과 녹인 옵션은 어떻게 다른가? 배리어 옵션은 녹아웃 옵션(knock-out option)과 녹인 옵션(knock-in option)으로 구분된다. 녹아웃 옵션은 기초자산의 가격이 일정 수준에 도달하면 효력이 소멸되는 옵션이고, 녹인 옵션은 기초자산의 가격이 일정 수준에 도달하면 효력이 발생하는 옵션이다. 
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참고문헌 (12)

  1. E. D. Derman, D. Ergener, I. Kani, "Static Options Replication", The Journal of Derivatives, 2(4), pp. 78-95, 1995. DOI: https://doi.org/10.3905/jod.1995.407927 

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  2. P. P. Boyle, S. H. Lau, "Bumping Up Against the Barrier with the Binomial Method", The Journal of Derivatives, 1(4), pp. 6-14, 1994. DOI: https://doi.org/10.3905/jod.1994.407891 

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  3. R. Zvan, K. R. Vetzal, P. A. Forsyth, "PDE Methods for Pricing Barrier Options", Journal of Economic Dynamics and Control, 24, pp. 1563-1590, 2000. DOI: https://doi.org/10.1016/S0165-1889(00)00002-6 

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  4. R. P. Stanley, Enumerative Combinatorics. Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511609589 

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  5. T. Koshy, Catalan numbers with applications, Oxford University Press, 2008. DOI: https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780195334548.001.0001 

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  6. D. D. Frey, J. A. Sellers, "Generalizing Bailey's Generalization of the Catalan Numbers", Fibonacci Quarterly, 39, pp. 142-148, 2001. 

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  7. H. K. Ju, S. C. Park, "On the Generalized Catalan Numbers", Korean Annals of Math., 21(2), pp. 169-176, 2004. 

  8. J. Y. Kim, Y. K. Kim, "The Valuation of Real Estate Development by the Real Option Model", Journal of Appraisal, 7(2), pp. 1-18, 2008. 

  9. D. Kim, K. Jung, J. Kim, "An Evaluation of Venture Business by ROV", Journal of the Korea Academia-Industrial Cooperation Society, 4(3), pp. 289-295, 2003. 

  10. S. Gu, W. Ping, S. Y. Jang, "A Study on Valuation of Foreign Real Estate Investment Using Real Option", Journal of the Korea Academia-Industrial Cooperation Society, 14(11), pp. 5465-5475, 2013. DOI: https://doi.org/10.5762/KAIS.2013.14.11.5465 

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  11. T. Park, E. Shin, Y. Lee, "Valuation of Highway O&M Contract Using Real Option", Journal of the Korea Academia-Industrial Cooperation Society, 14(11), pp. 5964-5970, 2013. DOI: https://doi.org/10.5762/KAIS.2013.14.11.5964 

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  12. J. C. Hull, Fundamentals of Futures and Options Markets, pp. 368-391, Pearson Education Korea, 2005. 

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