[논문]타원혼합 이차모멘트 모델을 사용한 난류 자연대류 해석

최석기; 한지웅; 김성오; 이태호

doi:10.6112/kscfe.2016.21.4.102

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In this paper a computation of turbulent natural convection in enclosures with the elliptic-blending based differential and algebraic flux models is presented. The primary emphasis of the study is placed on an investigation of accuracy of the treatment of turbulent heat fluxes with the elliptic-blen...

In this paper a computation of turbulent natural convection in enclosures with the elliptic-blending based differential and algebraic flux models is presented. The primary emphasis of the study is placed on an investigation of accuracy of the treatment of turbulent heat fluxes with the elliptic-blending second-moment closure for the turbulent natural convection flows. The turbulent heat fluxes in this study are treated by the elliptic-blending based algebraic and differential flux models. The previous turbulence model constants are adjusted to produce accurate solutions. The proposed models are applied to the prediction of turbulent natural convections in a 1:5 rectangular cavity and in a square cavity with conducting top and bottom walls, which are commonly used for validation of the turbulence models. The relative performance between the algebraic and differential flux model is examined through comparing with experimental data. It is shown that both the elliptic-blending based models predict well the mean velocity and temperature, thereby the wall shear stress and Nusselt number. It is also shown that the elliptic-blending based algebraic flux model produces solutions which are as accurate as those by the differential flux model.

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문제 정의

이러한 타원이완 모델을 간소화 시킨 모델을 Manceau and Hanjalic[6]이 제안하였고, 타원혼합(elliptic-blending) 모델이라 명명하였다. 이 모델의 기본적인 형태는 이차모멘트 모델이며, 본 연구에서는 이 모델을 자연대류 유동 해석에 적용하고자 한다.
본 연구에서는 EBM(Elliptic Blending Model)에 기초한 DFM과 AFM을 사용하여 자연대류 유동을 해석하고자 한다. 본 연구에서는 Shin et al.
본 연구에서는 위에서 언급한 EBM에 기초한 AFM과 DFM 을 자연대류 해석에 적용하여 해의 정확성을 검증하고자 한다. 검증에 사용된 실험자료는 King[14]의 1:5 직사각형 공동 내부의 자연대류 유동(Ra = 4.

제안 방법

이 모델에서는 지배방정식들에 감쇄함수가 존재하지 않는다. 그리고 이 모델에서는 eddy viscosity를 표현하는 식에 속도척도(velocity scale)가 존재하며, 이것을 결정하기 위하여 일반적인 k-∊ 난류모델보다 두 개의 편미분방정식을 더 해석한다. 이 타원이완 모델의 이차모멘트 모델[4]은 매우 복잡하며 일반적으로 사용되는 SIMPLE 알고리즘[5]으로 해석하기에는 많은 어려움이 있다.
현재 대부분의 상용코드에서는 SGDH(Simple Gradient Diffusion Hypothesis)로 난류열유속을 처리하며, 이 방법은 강제대류 해석에는 널리 사용되고 있으나, 자연대류 해석에는 적절하지 않다고 알러져 있다. Ince and Launder[7]는 GGDH(Generalized Gradient Diffusion Hypothesis)으로 난류 열유속을 처리하여 자연대류 해석에 적용하였다. 그러나 Choi and Kim[8]의 연구는 이 방법은 열성층화가 강한 유동의 해석에는 적절하지 않음을 보였다.
이 현상은 난류에너지 소산율(ε)이 과다하게 예측되기 때문이다. 본 연구에서는 아래와 같이 난류모델 상수들을 수정하였다.
본 연구에서 해석하는 두 번째 자연대류문제는 Fig. 7과 같이 정사각형 공동(cavity)에서의 자연대류 문제이다. 정사각형 공동의 높이는 H = 0.
공동의 상하부 전도벽들(conducting walls)에서의 온도 경계값은 이 논문에 수록되어 있는 온도분포 실험자료를 사용하여 산출하였다. 이 유동은 경계층이 매우 얇고, 난류강도가 약하며, 중앙영역은 강하게 성층화 되어 있어 거의 유동이 정지상태에 있다.
타원혼합 모델(EBM)에 기초한 미분유속모델(DFM)과 대수 유속모델(AFM)을 기하학적 형태와 Rayleigh 수가 다른 직사각형 및 정사각형 공동에서의 자연대류 문제에 적용하여 해의 정확성을 평가하였다. 일반적으로 본 연구의 DFM과 AFM 이 수직방향 속도성분과 온도분포를, 즉 공학적으로 중요한 벽면전단응력(wall shear stress)과 Nusselt 수를, 비교적 정확하게 해석함을 보였고, 두 방법 간의 차이는 거의 없었다.

대상 데이터

검증에 사용된 실험자료는 King[14]의 1:5 직사각형 공동 내부의 자연대류 유동(Ra = 4.3 × 1010)과 Ampofo and Karayiannis[15]의 정사각형 공동 내부의 자연대류 유동(Ra = 1.58 × 109)이다.
본 연구에서 첫 번째로 해석하는 문제는 Fig. 1과 같이 높이와 폭의 비가 1:5인 직사각형 공동(cavity)에서의 자연대류 문제이다. 직사각형 공동의 높이 H = 2.

이론/모형

초창기의 난류자연대류 해석은 잘 알려진 표준 k-∊ 모델을 사용하여 수행되었다. 표준 k-∊ 모델을 사용하여 자연대류 유동을 해석하는데 어려움은 강제대류의 해석에 적용되는 벽면함수(wall function)가 자연대류 유동에 적용하기 어렵고, 이 모델이 벽면 근처에서 난류 에디점성도(eddy viscosity)를 과다하게 예측하기 때문이다.
표준 k-∊ 모델을 사용하여 자연대류 유동을 해석하는데 어려움은 강제대류의 해석에 적용되는 벽면함수(wall function)가 자연대류 유동에 적용하기 어렵고, 이 모델이 벽면 근처에서 난류 에디점성도(eddy viscosity)를 과다하게 예측하기 때문이다. 이러한 표준 k-∊ 모델의 단점으로 연구자들이 저레이놀즈수(low-Reynolds number) 난류모델을 사용하여 자연대류 유동을 해석하였다. 문헌에 보고된 저 레이놀즈수 난류모델의 종류는 많은 편이다.
본 연구에서는 Shin et al.[12]이 개발한 DFM을 사용하였다. 또한 AFM은 Kenjeres와 Hanjalic의 AFM 대신 Dehoux et al.
또한 AFM은 Kenjeres와 Hanjalic의 AFM 대신 Dehoux et al.[13]이 개발한 EBM에 기초한 AFM을 사용하였다. Dehoux et al.
그러므로 이 유동은 난류 모델을 검증하기에 매우 적합한 유동이다. Peng and Davidson[16]이 대와동모사법(LES)을 사용하여 이 유동을 해석하였는데 그들의 해석결과를 같이 제시하고자 한다.
본 연구의 초기에는 Dehoux et al.[13]의 대수유속모델을 사용하여 King[14]의 실험을 해석하였다. 이 경우 벽면 근처에서의 경계층이 너무 얇게 해석되고 층류유동 같은 해를 산출하였다.

성능/효과

[16]에 보고되어 있는 실험데이터와 비교하여 보여주고 있다. AFM과 DFM으로 계산된 값들이 실험데이터와 잘 일치하며, 두 방법 간의 해의 정확도 차이는 거의 없음을 보여준다.
이 현상은 위에서 설명한 바와 같이 상단 벽이 충분히 단열되어 있지 않기 때문이다. 이로 인하여 계산결과가 실험데이터와 차이가 있어나, 계산결과가 이론적으로 타당하게 대칭성을 보여주며, AFM과 DFM으로 계산된 값들이 거의 차이가 없음을 보여준다.
5)에서 계산된 난류에너지와 Reynolds 전단응력 값을 실험데이터와 함께 보여주고 있다. 실험데이터와 비교하여 볼 때 DFM에 의한 난류에너지 값은 AFM 및 실험데이터 보다 약간 과다하게 예측함이 관찰된다. Reynolds 전단응력의 예측에서는 DFM이 AFM 보다 약간 더 정확하게 예측하고 있다.
13은 예측된 고온 벽(x/L = 0) 및 하부 벽(y/H = 0)에서의 계산된 국부 Nusselt 수의 분포를 실험결과와 함께 보여주고 있다. LES에 의한 해가 가장 정확한 분포를 산출함을 보여주고 있고, DFM이 Nusselt 수를 AFM이나 LES 보다 약간 과다하게 예측함을 관찰 할 수 있다. 이것은 DFM이 난류에너지를 과다하게 예측하기 때문이다.
타원혼합 모델(EBM)에 기초한 미분유속모델(DFM)과 대수 유속모델(AFM)을 기하학적 형태와 Rayleigh 수가 다른 직사각형 및 정사각형 공동에서의 자연대류 문제에 적용하여 해의 정확성을 평가하였다. 일반적으로 본 연구의 DFM과 AFM 이 수직방향 속도성분과 온도분포를, 즉 공학적으로 중요한 벽면전단응력(wall shear stress)과 Nusselt 수를, 비교적 정확하게 해석함을 보였고, 두 방법 간의 차이는 거의 없었다. Ampofo와 Karayiannis의 실험인 경우에는 DFM이 난류에너지를 조금 과다하게 예측하여 벽면에서의 Nusselt 수를 약간 과다하게 예측하였다.
DFM의 경우에는 난류열유속을 대수적으로 구하지 않고 편미분방정식을 풀어서 구하므로 AFM에 비교하여 계산시간이 더 소요된다. 그러므로 본 연구의 AFM을 사용하면 많은 공학적 문제를 좀 더 경제적으로 해석할 수 있음을 보였다. Peng과 Davidson이 수행한 대와동모사법인 경우 수직속도 성분과 온도분포를 본 연구의 DFM이나 AFM에 비교하여 좀 더 정확하게 예측하나, Reynolds 응력이나 난류 에너지를 과소하게 예측하였다.

후속연구

지금까지 액체금속 원자로 피동 잔열제거 설계 시 사용되는 자연대류 현상에 대한 열전달계수의 실험자료는 매우 제한적이고, 기하학적조건이나 유동형태가 다르면 열전달계수의 설정이 다를 수 있다. 그러므로 실험적 자료가 정확한 유동에 적용하여 난류모델을 검증한 후, 그 난류모델을 사용하여 액체금속 원자로의 피동 잔열제거의 해석에 적용하면 보다 정확한 열유동 설계를 수행할 수 있을 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	자연대류 유동을 정확히 해석하는 것은 어떠한 부분에서 중요한가?	자연대류 유동을 정확히 해석하는 것은 전자장비(electronic packages)의 냉각, 태양광 수집기(solar collector), 건물 공조 (building ventilation) 및 원자로에서의 열성층화(thermal stratification) 현상 등의 많은 공학적 문제들에 매우 중요하다. 성층화된 자연대류 문제에 대한 정확한 이해는 원자로 정지시 액체금속 원자로 피동 잔열제거 계통 설계에 필요한 열전달계수 설정에 매우 중요하다.
	저레이놀즈수 난류모델을 사용하게 되면 어떠한 어려움이 있는가?	이러한 감쇄함수들은 벽면 수직 벡터, 벽면까지의 수직거리 및 벽면 마찰속도(frictional velocity) 등의 벽면과 연관된 변수들을 포함하고 있다. 그러므로 이 모델을 사용하여 매우 복잡한 기하학적 구조물 내에서의 유동을 해석하기에는 많은 어려움이 있다. 그리고 Patel et al.
	SGDH의 특징은?	자연대류 유동해석에 있어서 난류열유속(turbulent heat flux)의 처리가 해의 정확도와 수렴성에 영향을 많이 미친다고 알 러져 있다. 현재 대부분의 상용코드에서는 SGDH(Simple Gradient Diffusion Hypothesis)로 난류열유속을 처리하며, 이 방법은 강제대류 해석에는 널리 사용되고 있으나, 자연대류 해석에는 적절하지 않다고 알러져 있다. Ince and Launder[7]는 GGDH(Generalized Gradient Diffusion Hypothesis)으로 난류 열유속을 처리하여 자연대류 해석에 적용하였다.

참고문헌 (18)

1974, Launder, B.E. and Sharma, B.I., "Application of the Energy Dissipation Model of Turbulence to the Calculation of Flow Near a Spinning Disk," Lett. Heat Mass Transfer, Vol.1, pp.131-138.
1984, Patel, V.C., Rodi, W. and Scheurer, G., "Turbulence Modeling for Near-Wall and Low Reynolds Number Flows: A Review," AIAA J., Vol.23, pp.1308-1319.
1991, Durbin, P.A., "Near-Wall Turbulence Closure Modeling without "Damping Functions"," Theor. Comput. Fluid Dyn., Vol.3, pp.1-13.

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1993, Durbin, P.A., "A Reynolds Stress Model for Near-Wall Turbulence," J. Fluid Mech., Vol.249, pp.465-498.

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1988, Patankar, S.V., Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere, NewYork, USA.
2002, Manceau, R. and Hanjalic, K., "Elliptic Blending Model; A New Near-Wall Reynolds-Stress Turbulence Closure," Phys.Fluids, Vol.4, No.2, pp.744-754.
1989, Ince, N.Z. and Launder, B.E., "On the Computation of Buoyancy-Driven Turbulent Flows in Rectangular Enclosures," Int. J. Heat Fluid Flow, Vol.10, No.2, pp.110-117.

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2008, Choi, S.K. and Kim, S.O., "Treatment of Turbulent Heat Fluxes with the Elliptic-Blending Second-Moment Closure for a Natural Convection Flow," Int. J. Heat Mass Transfer, Vol.51, pp.2377-2388.

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1995, Kenjeres, S. and Hanjalic, K., "Prediction of Turbulent Thermal Convection in Concentric and Eccentric Annuli," Int. J. Heat Fluid Flow, Vol.16, pp.428-439.
1992, Peeters, T.W.J. and Henkes, R.A.W.M., "The Reynolds-stress Model of Turbulence Applied to the Natural-Convection Boundary Layer Along a Heated Vertical Plate," Int. J. Heat Mass Transfer, Vol.35, pp.403-420.

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2001, Dol, H.S. and Hanjalic, K.K, "Computational Study of Turbulent Natural Convection in a Side-Heated Near-Cubic Enclosure at a High Rayleigh Number," Int. J. Heat Mass Transfer, Vol.44, pp.2323-2344.

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2008, Shin, J.K., An, J.S., Choi, Y.D. and Kim, Y.C., "Elliptic Relaxation Second Moment Closure for the Turbulent Heat Fluxes," J. Turbulence, Vol.9, No.3, pp.1-29.

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2012, Dehoux, F., Lecocq, Y., Benhamadouche, S., Manceau, R. and Brizzi, L.-E., "Algebraic Modeling of the Turbulent Heat Fluxes Using the Elliptic Blending Approach-Application to Forced and Mixed Convection Regimes," Flow Turbul. Combust., Vol.88, No.1, pp.77-100.

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1989, King, K.V., "Turbulent Natural Convection in Rectangular Air Cavities," Ph.D Thesis, Queen Mary College, University of London, UK.
2003, Ampofo, F. and Karayiannis, T.G., "Experimental Benchmark Data for Turbulent Natural Convection in an Air Filled Square Cavity," Int. J. Heat Mass Transfer, Vol.46, pp.3551-3572.

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2001, Peng, S.H. and Davidson, L., "Large Eddy Simulation of Turbulent Buoyant Flow in a Confined Cavity," Int. J. Heat Fluid Flow, Vol.22, pp.323-331.

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2015, Manceau, R., "Recent Progress in the Development of the Elliptic Blending Reynolds-Stress Model," Int. J. Heat Fluid Flow, Vol.51, pp.195-220.

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1986, Cheesewright, R., King, K.J. and Ziai, S., "Experimental Data for the Validation of Computer Codes for the Prediction of Two-Dimensional Buoyant Cavity Flows," Proc. ASME Meeting, HTD, 60, pp.75-86.

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