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제안 방법
- 고유진동수는 Eq.(13)을 만족시키는 주파수이며 이를 위해 2D 평면에서 원통형 실린더를 구성하여 계산하였다.
- Table 2에 정리된 각 모드별 고유진동수 분석을 통해 얇은 원통형 쉘 이론에서 구한 Steel AISI 4340쉘의 고유진동수와 탄성이론 결과 사이의 오차를 1 % 미만으로 얻기 위한 조건을 시뮬레이션을 통해 경험으로 아래와 같이 도출하였다.
- 각 모드에 따른 탄성 원통형 쉘의 고유 진동수를 구하는 방법은 여러 가지가 있으나 본 논문에서는 각 모드 n에 대한 고유주파수 fn은 kz→0 이 되는 조건에서 #을 만족시키는 주파수를 주파수에 따른 그래프를 통하여 구하였다.
- Table 2는 4가지 두께에 대해 무한 원통형 실린더의 고유주파수를 탄성 이론(A로 표시), 얇은 원통형 쉘 이론(B로 표시), COMSOL 수치해석(C로 표시)을 통해 얻은 결과를 정리한 결과이다. 고유주파수는 1 kHz 이하의 결과만 정리하였으며 각 모드수 n 별로 Hz의 단위로 소수점 첫째 자리까지 계산하였다.
- 3은 COMSOL을 이용한 수치해석 방법을 통해 구한 고유 모드의 형상의 예를 보여준다. 그림에서 사용된 원통형 실린더는 외경 1 m에 10 mm의 두께를 가지며 이와 같은 수치해석 방법으로 구해지는 고유주파수를 각각 탄성 이론적 방법 및 얇은 원통형 쉘 이론적 방법의 결과와 비교하였다.
- 따라서 탄성 이론 및 얇은 원통형 쉘 이론에서는 축방향의 파수가 사라지는(kz→0) 영역에서 고유주파수를 구하였고, 유한요소법에서는 2차원 공간에서 실린더의 단면을 구축하고 실린더 두께에 메쉬를 형성하여 고유주파수를 구하였다.
- 얇은 원통형 쉘 이론에 의해 구해진 결과는 실린더의 두께가 외경에 비해 작지 않거나 혹은 모드수 n이 증가할수록 탄성이론 결과와의 차이가 커짐을 확인 할 수 있었다. 또한 각 모드별 고유진동수 분석을 통해 얇은 원통형 쉘 이론에서 구한 Steel AISI 4340쉘의 고유진동수와 탄성이론 결과 사이의 오차를 1 % 미만으로 얻기 위한 경험적인 조건을 시뮬레이션을 통해 도출하였다. 향후 유체가 접해 있을 경우 이들 세 방법에 의한 고유 주파수의 변화를 관찰해 볼 예정이며 이를 통해 응용분야에 따른 효율적인 계산 방법을 도출해 낼 수 있을 것으로 기대된다.
- 따라서 탄성 이론 및 얇은 원통형 쉘 이론에서는 축방향의 파수가 사라지는(kz→0) 영역에서 고유주파수를 구하였고, 유한요소법에서는 2차원 공간에서 실린더의 단면을 구축하고 실린더 두께에 메쉬를 형성하여 고유주파수를 구하였다. 또한 주어진 반경의 실린더에 대해 그 두께를 각기 달리하여 각 방법을 통해 얻은 1 kHz 이하에 존재하는 원통형 실린더의 고유주파수 값이 어떻게 차이가 나는 지를 분석하였다.
- 무한 원통형 실린더에 대해 탄성이론, 얇은 원통형 쉘 이론, COMSOL을 이용한 수치해석 방법을 적용하여 1 kHz 이하에 존재하는 모든 고유주파수를 구하였다. 모든 두께 및 모드수에 대해 탄성 이론과 수치해석 결과가 0.
- 본 논문에서는 무한 원통형 실린더에 대해 탄성이론, 얇은 원통형 쉘 이론, 그리고 상용 소프트웨어인 COMSOL을 이용한 FEM을 통한 수치해석 방법을 적용하여 각각 자유 진동에서의 고유진동수를 구하였다. 고유진동수에서 형성되는 실린더의 고유 모드는 단면에 국한되어 진동하는 모드이다.
- 본 논문에서는 유한요소법(FEM)을 통해 원통형 실린더의 고유주파수 fn을 구하였다. 이를 위해 상용 프로그램인 COMSOL Multiphysics 4.
- 수치해석에 사용된 원통형 실린더의 물성치 및 크기는 Table 1과 같으며 1 kHz 이하에 존재하는 고유진동수를 수치해석을 통해 계산하였다. Fig.
대상 데이터
- 이에 대한 물성치는 Table 1과 같다. 각각의 계산 결과가 실린더의 두께와 어떤 관계가 있는 지를 파악하기 위해 4가지 두께(10 T, 20 T, 50 T, 100 T)를 선택하였고 외경은 1 m로 동일하다.
- 무한 원통형 실린더의 고유주파수를 계산하기 위해 본 논문에서는 Steel AISI 4340 재질의 실린더를 사용하였다. 이에 대한 물성치는 Table 1과 같다.
이론/모형
- 는 각 모델에 의해 확장되는 3×3 강성 행렬이다. 본 논문에서는 수치 해석적으로 우수하다고 알려진 Goldenveizer-Novozhilov 모델을 사용하여 기술하였다.[6,8]
- 이에 따라 원통형 실린더 뿐만 아니라 임의의 형상에 대한 실린더의 진동해석에 대한 수치해석 결과 정확도 및 신뢰성이 향상되었다. 본 연구에서는 탄성 이론과 얇은 원통형 쉘 이론을 적용한 결과를 검증하기 위해 상용 FEM 도구인 COMSOL 4.3b이 사용되었다. 물론 COMSOL을 이용한 결과가 탄성이론이나 얇은 원통형 쉘 이론 방식보다는 계산 시간이 많이 소요되지만 본 연구에서는 1분 이내의 비교적 빠른 연산 속도를 보여주었다.
- 이를 위해 상용 프로그램인 COMSOL Multiphysics 4.3b의 Structural Mechanics > Eigenfrequency analysis를 사용하였다.
- 축대칭 모드를 포함한 일반적인 경우에 관한 원통형 실린더의 3차원 운동은 Gazis[5]가 탄성 이론을 이용하여 6×6 행렬 형태의 방정식으로 기술하였다.
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