[논문]벡터자기회귀모형과 오차수정모형의 자기상관성을 위한 와일드 붓스트랩 Ljung-Box 검정

이명우; 이태욱

doi:10.5351/kjas.2016.29.1.061

문제 정의

본 논문에서는 LB 검정통계량에 와일드 붓스트랩 기법을 적용하는 연구를 진행하고자 한다. 구체적으로 대표적인 다변량 시계열 모형인 벡터자기회귀모형(Vector Autoregressive Model; VAR)과 벡터오차수정모형(Vector Error Correction Model; VECM)의 모형 진단을 수행하기 위해 추정된 잔차를 사용하여 와일드 붓스트랩 LB 검정통계량의 방법을 제안하고, 오차에 조건부 이분산성이 있는 경우를 가정하여 기존의 검정법과 비교한 후 그 우수성을 입증하고자 한다.
본 논문에서는 벡터 자기회귀모형과 벡터 오차수정모형 오차의 자기상관성 검정을 위해 와일드 붓스트랩 LB 검정통계량을 연구하였다. 구체적으로 와일드 붓스트랩 LB 검정통계량을 제안하고 제 1종의 오류와 검정력에 대해 점근적 카이제곱 분포와 붓스트랩 분포를 이용하는 기존의 LB 검정통계량과 비교 분석하였다.
다음 절차는 벡터오차수정모형 적합후의 추정된 잔차에 LB 검정을 실시하여 모형의 타당성을 확인하는 것이다. 우선 모의심험에서 자료에 조건부 이분산의 성질이 강하게 존재하는 경우 기존의 LB 검정은 유효하지 않다라는 결과를 확인하였기 때문에 잔차에 조건부 이분산이 존재하는 지를 확인하고자 한다. 조건부 이분산성이 존재하는 지 확인하기 위해 제곱한 잔차 {#}를 이용하여 식 (2.
1)에 ψ₁ = 0의 값을 설정한다. 이 때 ϵ_t는 e_t가 되며 CCC-GARCH 모형에서 조건부 이분산성이 없는 모수값 (4.3)과 조건부 이분산성이 존재하는 모수값 (4.4)에 대한 제 1종의 오류를 살펴보고자 한다. 오차의 자기상관성 검정을 위하여 점근적 카이제곱분포를 이용하는 LB 검정통계량 (Q_LB), 알고리즘 1의 붓스트랩을 이용한 LB 검정통계량 (#), 그리고 알고리즘 2의 와일드 붓스트랩을 이용한 LB 검정통계량(# )을 고려하여 비교분석한다.
이 장에서는 몬테카를로 모의실험을 통하여 조건부 이분산성이 존재하는 오차의 자기상관성에 대한 와일드 붓스트랩 검정법의 유한표본 성질을 규명하고자 한다. 모의실험을 위해 2장에서 소개한 조건부 평균모형인 벡터자기회귀 모형 과 벡터오차수정 모형을 이용하여 자료를 생성한다.

가설 설정

H₁ : not H₀.
그 결과 귀무가설 “H0 : 공적분 갯수가 0개이다.
2)′ , β = (1, −1), Γ₁ = (#)를 설정하였다. 벡터 자기회귀 모형과 벡터오차수정 모형의 오차 ϵ_t는 자기회귀모형 (2.3)에 차수 1을 가정하였다.
오차 자기회귀모형의 모수값으로 Ψ1 = ψ1I2을 가정하고, 제 1종의 오류를 계산하기 위해 ψ1 = 0.0, 검정력을 계산하기 위해 ψ1 = 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9를 설정하였다.
9을 설정하여 모의실험을 진행하였다. 제 1종의 오류와 마찬가지로 오차 ϵ_t의 조건부 이분산성을 고려하기 위해 자기회귀모형 (4.1)의 e_t에 식 (4.3)과 (4.4)의 모수 값을 갖는 CCC-GARCH(1, 1) 모형을 가정하였다. 우선 벡터자기회귀 모형의 모수가 식 (4.

제안 방법

본 논문에서는 LB 검정통계량에 와일드 붓스트랩 기법을 적용하는 연구를 진행하고자 한다. 구체적으로 대표적인 다변량 시계열 모형인 벡터자기회귀모형(Vector Autoregressive Model; VAR)과 벡터오차수정모형(Vector Error Correction Model; VECM)의 모형 진단을 수행하기 위해 추정된 잔차를 사용하여 와일드 붓스트랩 LB 검정통계량의 방법을 제안하고, 오차에 조건부 이분산성이 있는 경우를 가정하여 기존의 검정법과 비교한 후 그 우수성을 입증하고자 한다. 와일드 붓스트랩 표본을 얻기 위해 Gon¸calves와 Kilian (2004)가 제안한 순환(Recursive-Design) 방법을 사용하였다.
와일드 붓스트랩 표본을 얻기 위해 Gon¸calves와 Kilian (2004)가 제안한 순환(Recursive-Design) 방법을 사용하였다. 끝으로 대표적인 금융시계열 자료인 KOSPI200 지수와 선물가격을 사용하여 실증분석을 진행하였다.
일별 KOSPI200 로그변환 현물과 선물의 모형 적합을 위해 차수의 선택이 필요한 데, 일반적으로 AIC, BIC통계량을 기준으로 가장 작은 값을 가지는 차수가 가장 최적의 모형이 되는데, 차수가 3인 경우에 AIC, BIC 두 값 모두 가장 작은 값을 가져 차수를 3으로 설정하여 벡터오차수 정모형 적합을 실시하였다. 다음 절차는 벡터오차수정모형 적합후의 추정된 잔차에 LB 검정을 실시하여 모형의 타당성을 확인하는 것이다. 우선 모의심험에서 자료에 조건부 이분산의 성질이 강하게 존재하는 경우 기존의 LB 검정은 유효하지 않다라는 결과를 확인하였기 때문에 잔차에 조건부 이분산이 존재하는 지를 확인하고자 한다.
다음으로 적합된 백터오차수정모형이 타당한 지 확인하기 위하여 점근적 카이제곱 분포(Q_LB), 붓스트랩(#) 및 와일드 붓스트랩 검정통계량(#)의 결과를 살펴보고자 한다. 우선 LB 검정의 자유도는 모형에서 추정된 모수만큼 줄어들게 되는 것을 2장에서 설명하였고, 이에 따라 벡터 오차수정 모형의 자유도는 k²_m − (α, Γ₁, .
3에서 자기상관함수가 서서히 감소하는 비정상 시계열의 특징을 나타내고 있음을 확인할 수 있다. 만약 두 시계열이 비정상이고 공적분 벡터가 존재한다면 벡터오차수정모형의 적합이 가능하기 때문에 비정상 시계열임을 확인하는 단위근 검정을 실시하였다. 코스피200 현물과 선물의 단위근 검정의 결과에 의하면 귀무가설 “H₀ : 단위근이 존재한다”에 대한 유의확률이 각각 0.
kr)에서 제공하는 코스피200 현물지수(KOSPI200 index)와 선물(KOSPI200 Future)의 자료 중에서 2004년 01월 02일부터 2011년 12월 29일까지 총 1991개의 시점의 자료를 사용하여 분석하였다. 매 1분 단위로 측정한 자료 중에서 장 마감시점인 15시에 측정된 자료를 이어서 일별단위 자료를 만들어 사용하였다. Kwon과 Lee (2014)는 코스피200 현물지수와 선물지수에 관한 분석을 시도하여 현물과 선물지수의 사이에 존재하는 공적분 관계 및 조건부 이분산성 등을 다변량 시계열 모형을 이용하여 분석하였다.
이 장에서는 몬테카를로 모의실험을 통하여 조건부 이분산성이 존재하는 오차의 자기상관성에 대한 와일드 붓스트랩 검정법의 유한표본 성질을 규명하고자 한다. 모의실험을 위해 2장에서 소개한 조건부 평균모형인 벡터자기회귀 모형 과 벡터오차수정 모형을 이용하여 자료를 생성한다. 첫 번째 자료생성 과정으로 차수가 1, 차원이 2인 다음의 벡터 자기회귀 모형을 고려한다.
Kwon과 Lee (2014)는 코스피200 현물지수와 선물지수에 관한 분석을 시도하여 현물과 선물지수의 사이에 존재하는 공적분 관계 및 조건부 이분산성 등을 다변량 시계열 모형을 이용하여 분석하였다. 여기에서는 코스피200 현물지수와 선물에 로그를 취한 후 벡터오차수정 모형을 적합한 후 적합된 모형이 적절한 지에 대한 실증분석을 진행하였다.
따라서 코스피200 현물과 선물가격은 공적분 벡터의 갯수가 한 개인 벡터오차수정 모형 적합이 가능함을 확인하였다. 일별 KOSPI200 로그변환 현물과 선물의 모형 적합을 위해 차수의 선택이 필요한 데, 일반적으로 AIC, BIC통계량을 기준으로 가장 작은 값을 가지는 차수가 가장 최적의 모형이 되는데, 차수가 3인 경우에 AIC, BIC 두 값 모두 가장 작은 값을 가져 차수를 3으로 설정하여 벡터오차수 정모형 적합을 실시하였다. 다음 절차는 벡터오차수정모형 적합후의 추정된 잔차에 LB 검정을 실시하여 모형의 타당성을 확인하는 것이다.

대상 데이터

T = 100과 T = 200의 크기로 시계열 자료를 생성하였으며 붓스트랩의 크기는 B = 200, 각각의 모의실험의 반복수는 n = 1,000, 유의수준은 α = 0.05로 설정하였다.
본 실증분석에서는 한국거래소(www.krx.co.kr)에서 제공하는 코스피200 현물지수(KOSPI200 index)와 선물(KOSPI200 Future)의 자료 중에서 2004년 01월 02일부터 2011년 12월 29일까지 총 1991개의 시점의 자료를 사용하여 분석하였다. 매 1분 단위로 측정한 자료 중에서 장 마감시점인 15시에 측정된 자료를 이어서 일별단위 자료를 만들어 사용하였다.

데이터처리

6. 총 B개의 붓스트랩 LB 검정통계량을 이용하여 다음과 같이 유의확률을 계산한다.
6. 총 B개의 와일드 붓스트랩 LB 검정통계량을 이용하여 다음과 같이 유의확률을 계산한다.
본 논문에서는 벡터 자기회귀모형과 벡터 오차수정모형 오차의 자기상관성 검정을 위해 와일드 붓스트랩 LB 검정통계량을 연구하였다. 구체적으로 와일드 붓스트랩 LB 검정통계량을 제안하고 제 1종의 오류와 검정력에 대해 점근적 카이제곱 분포와 붓스트랩 분포를 이용하는 기존의 LB 검정통계량과 비교 분석하였다. 그 결과 오차에 조건부 이분산성이 존재하는 경우에 기존의 LB 검정법에서는 제 1종의 오류가 왜곡되는 현상이 나타나지만, 와일드 붓스트랩은 제 1종의 오류가 적절히 유지되는 것을 확인할수 있었다.
다음으로 오차 ϵt의 자기상관성에 대한 검정력을 확인하기 위해 자기회귀모형 (4.1)에 모수값 ψ1 =0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9을 설정하여 모의실험을 진행하였다.
8547로 귀무가설을 기각할 수 없으므로 단위근이 존재하는 비정상 시계열이라는 결론을 내린다. 다음으로 코스피200 현물과 선물 가격 간에 공적분 벡터가 존재한다면 장기균형관계를 설명할 수 있는 벡터오차수정모형의 적합이 가능하므로 공적분 벡터의 유무를 알 수 있는 Johansen이 제시한 트레이스 통계량으로 공적분 검정을 실시하였다. 그 결과 귀무가설 “H₀ : 공적분 갯수가 0개이다.
05로 설정하였다. 모든 모의실험은 통계 분석 프로그램인 R에서 ccgarch, MTS, tsDyn, portes 패키지를 사용하여 수행하였다.
4)에 대한 제 1종의 오류를 살펴보고자 한다. 오차의 자기상관성 검정을 위하여 점근적 카이제곱분포를 이용하는 LB 검정통계량 (Q_LB), 알고리즘 1의 붓스트랩을 이용한 LB 검정통계량 (#), 그리고 알고리즘 2의 와일드 붓스트랩을 이용한 LB 검정통계량(# )을 고려하여 비교분석한다. 한편 모든 모의실험에서 B = 100과 200인 경우에 붓스트랩과 와일드 붓스트랩의 제 1종의 오류 값의 차이가 거의 없었기 때문에 반복수가 B = 200개인 경우만 표에 정리하였음을 밝힌다.
우선 모의심험에서 자료에 조건부 이분산의 성질이 강하게 존재하는 경우 기존의 LB 검정은 유효하지 않다라는 결과를 확인하였기 때문에 잔차에 조건부 이분산이 존재하는 지를 확인하고자 한다. 조건부 이분산성이 존재하는 지 확인하기 위해 제곱한 잔차 {#}를 이용하여 식 (2.5)의 LB 검정을 실시하였다. 여기서 자료수가 총 1991개이고 log(1991) = 7.

이론/모형

9를 설정하였다. 다음으로 오차 ϵ_t의 조건부 이분산성을 위해 위 식 (4.1)의 e_t에 CCC-GARCH(1, 1) (Constant Conditional Correlation GARCH) 모형을 고려하였다.
본 논문에서는 다변량 시계열 모형의 적합도 검정을 위해 벡터 자기회귀 모형과 벡터 오차수정 모형을 고려한다. k차원 다변량 시계열 자료 {X_t}에 대하여 차수가 p인 벡터 자기회귀 모형은 다음과 같이 표현된다.
다음으로 {z_t}는 서로 독립이며 평균벡터가 0 = (0, 0)′이고 공분산 행렬 #을 갖는 정규분포이다. 본 모의실험에서는 CCC-GARCH모형의 모수값으로 다음의 값들을 고려한다.
와일드 붓스트랩 표본을 얻기 위해 Gon¸calves와 Kilian (2004)가 제안한 순환(Recursive-Design) 방법을 사용하였다.

성능/효과

구체적으로 와일드 붓스트랩 LB 검정통계량을 제안하고 제 1종의 오류와 검정력에 대해 점근적 카이제곱 분포와 붓스트랩 분포를 이용하는 기존의 LB 검정통계량과 비교 분석하였다. 그 결과 오차에 조건부 이분산성이 존재하는 경우에 기존의 LB 검정법에서는 제 1종의 오류가 왜곡되는 현상이 나타나지만, 와일드 붓스트랩은 제 1종의 오류가 적절히 유지되는 것을 확인할수 있었다. 다음으로 검정력에 관하여 조건부 이분산이 존재하는 경우에 와일드 붓스트랩 LB 검정법이 검정력이 다른 두 검정방법에 비해 낮은 모습을 보이고 있지만 이는 다른 두 검정법의 제 1종의 오류가 왜곡됨에 따른 현상이며, 자료의 자기상관성이 커짐에 따라 그 차이는 거의 없게 되어 와일브 붓스트랩 LB 검정법의 우수함을 보여주고 있다.
그 결과 유의확률이 0.0000으로 “H0 : 잔차에는 조건부 이분산성이 없다”라는 귀무가설을 기각하게 되어 강한 조건부 이분산성이 존재함을 확인하였다.
끝으로 조건부 이분산성이 강하게 존재하는 코스피200 현물과 선물 자료에 벡터오차수정모형을 적합한 후 오차의 자기상관성을 검정하였는데, 와일드 붓스트랩 LB 검정법에서만 오차에 자기상관성이 없다는 결론이 도출되었다. 기존의 두 검정법이 조건부 이분산성이 있는 경우에 제 1종의 오류가 왜곡된다는 모의실험 결과를 고려해 볼 때, 와일드 붓스트랩 LB 검정법의 결과가 더 타당하다고 볼 수 있다. 이 모든 결과를 미루어 볼 때 본 연구에서 제안하는 와일드 붓스트랩 LB 통계량이 다변량 금융시계열의 자기상관성 검정과 관련된 실증분석에서 매우 효과적이라는 결론을 얻을 수 있다.
다음으로 검정력에 관하여 조건부 이분산이 존재하는 경우에 와일드 붓스트랩 LB 검정법이 검정력이 다른 두 검정방법에 비해 낮은 모습을 보이고 있지만 이는 다른 두 검정법의 제 1종의 오류가 왜곡됨에 따른 현상이며, 자료의 자기상관성이 커짐에 따라 그 차이는 거의 없게 되어 와일브 붓스트랩 LB 검정법의 우수함을 보여주고 있다. 끝으로 조건부 이분산성이 강하게 존재하는 코스피200 현물과 선물 자료에 벡터오차수정모형을 적합한 후 오차의 자기상관성을 검정하였는데, 와일드 붓스트랩 LB 검정법에서만 오차에 자기상관성이 없다는 결론이 도출되었다. 기존의 두 검정법이 조건부 이분산성이 있는 경우에 제 1종의 오류가 왜곡된다는 모의실험 결과를 고려해 볼 때, 와일드 붓스트랩 LB 검정법의 결과가 더 타당하다고 볼 수 있다.
그 결과 오차에 조건부 이분산성이 존재하는 경우에 기존의 LB 검정법에서는 제 1종의 오류가 왜곡되는 현상이 나타나지만, 와일드 붓스트랩은 제 1종의 오류가 적절히 유지되는 것을 확인할수 있었다. 다음으로 검정력에 관하여 조건부 이분산이 존재하는 경우에 와일드 붓스트랩 LB 검정법이 검정력이 다른 두 검정방법에 비해 낮은 모습을 보이고 있지만 이는 다른 두 검정법의 제 1종의 오류가 왜곡됨에 따른 현상이며, 자료의 자기상관성이 커짐에 따라 그 차이는 거의 없게 되어 와일브 붓스트랩 LB 검정법의 우수함을 보여주고 있다. 끝으로 조건부 이분산성이 강하게 존재하는 코스피200 현물과 선물 자료에 벡터오차수정모형을 적합한 후 오차의 자기상관성을 검정하였는데, 와일드 붓스트랩 LB 검정법에서만 오차에 자기상관성이 없다는 결론이 도출되었다.
4)의 조건부 이분산성이 강한 경우에는 Q_LB와 #의 제 1종의 오류가 크게 나와 검정력 또한 와일드 붓스트랩보다 큰 현상을 보이고 있지만 ψ가 커짐에 따라 세 검정력이 동일시되는 모습을 볼 수 있다. 따라서 와일드 붓스트랩 LB 검정통계량 #이 분산에 조건부 이분산성의 존재유무에 상관없이 다른 두 방법에 비해 제 1종의 오류를 잘 만족하고 있을 뿐만 아니라 검정력 또한 매우 바람직한 결과를 보여주고 있음을 확인 할 수 있다.
52보다 큰 값을 가져 대립가설을 채택하게 된다. 따라서 코스피200 현물과 선물가격은 공적분 벡터의 갯수가 한 개인 벡터오차수정 모형 적합이 가능함을 확인하였다. 일별 KOSPI200 로그변환 현물과 선물의 모형 적합을 위해 차수의 선택이 필요한 데, 일반적으로 AIC, BIC통계량을 기준으로 가장 작은 값을 가지는 차수가 가장 최적의 모형이 되는데, 차수가 3인 경우에 AIC, BIC 두 값 모두 가장 작은 값을 가져 차수를 3으로 설정하여 벡터오차수 정모형 적합을 실시하였다.
다변량 시계열 자료에 적합한 모형이 적절한 지 살펴보기 위해 잔차를 이용하여 통계적 검정을 실시하는 것이 일반적이다. 만약 모형이 잘 선택되고 추정이 적절하게 이루어 졌다면 잔차는 모형 오차의 성질을 만족하게 될 것이며, 이 경우 모형 잔차에 백색잡음의 성질이 나타나게 되어 적합한 모형이 적절하다는 결론을 내린다. 이와 같이 잔차의 자기상관성을 검정하는 대표적인 통계적 방법으로 LB 검정통계량을 들 수 있다.
기존의 두 검정법이 조건부 이분산성이 있는 경우에 제 1종의 오류가 왜곡된다는 모의실험 결과를 고려해 볼 때, 와일드 붓스트랩 LB 검정법의 결과가 더 타당하다고 볼 수 있다. 이 모든 결과를 미루어 볼 때 본 연구에서 제안하는 와일드 붓스트랩 LB 통계량이 다변량 금융시계열의 자기상관성 검정과 관련된 실증분석에서 매우 효과적이라는 결론을 얻을 수 있다.
Q_LB와 #와는 달리 와일드 붓스트랩 LB # 검정법은 적합된 차수 3의 벡터오차수정모형이 적절한 모형임을 나타내고 있다. 자료에 조건부 이분산성이 강한 경우 와일드 붓스트랩 LB 검정법이 다른 두 검정법에 비해 적절하다는 모의심험 결과에 의하면 벡터오차수정모형 적합이 적절하다는 결론이 타당해 보인다.
코스피200 현물과 선물의 단위근 검정의 결과에 의하면 귀무가설 “H0 : 단위근이 존재한다”에 대한 유의확률이 각각 0.8703, 0.8547로 귀무가설을 기각할 수 없으므로 단위근이 존재하는 비정상 시계열이라는 결론을 내린다.

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	시계열 분석에서 중요한 단계는 무엇인가?	시계열 분석에서 모형 진단은 적합한 모형이 자료를 적절히 설명하고 있는지 확인하는 중요한 단계이다. 모형 진단은 주로 적합된 모형의 잔차를 기반으로 이루어지는데, 잔차의 자기상관성 존재 유무를 판별 하는 대표적인 검정 방법으로 Ljung과 Box (1978)가 제안한 Ljung-Box(LB) 검정통계량이 있다.
	모형 진단은 무엇인가?	시계열 분석에서 모형 진단은 적합한 모형이 자료를 적절히 설명하고 있는지 확인하는 중요한 단계이다. 모형 진단은 주로 적합된 모형의 잔차를 기반으로 이루어지는데, 잔차의 자기상관성 존재 유무를 판별 하는 대표적인 검정 방법으로 Ljung과 Box (1978)가 제안한 Ljung-Box(LB) 검정통계량이 있다. 잔차를 이용한 LB 검정통계량이 점근적 카이제곱 분포 하에서 오차가 백색잡음이라는 귀무가설을 기각하지 못하면 적합한 시계열 모형이 적절하다고 결정한다.
	LB 검정 통계량을 금융시계열 자료에 적용하는 것이 적절하지 않은 이유는?	잔차를 이용한 LB 검정통계량이 점근적 카이제곱 분포 하에서 오차가 백색잡음이라는 귀무가설을 기각하지 못하면 적합한 시계열 모형이 적절하다고 결정한다. 금융 시계열 자료는 일반적으로 조건부 이분산 성의 성질을 나타내는 데, 금융시계열 자료의 평균 부분에 대한 통계적 추론을 하는 경우 조건부 이분산성의 영향을 받아 추정의 효율이 떨어지거나 검정에서 제 1종의 오류를 만족시키지 못할 수도 있음이 잘 알려져 있다 (Gon¸calves와 Kilian, 2004). 따라서 시계열 모형 적합 후 얻은 잔차를 이용한 LB 검정 통계량을 조건부 이분산성이 존재하는 금융 시계열 자료에 적용하는 것은 적절하지 않을 수 있는데, 이를 극복하기 위해 Liu (1988)와 Mammen (1993)은 조건부 이분산성의 유무와 관계없이 어떤 경우에서나 적용할 수 있는 와일드 붓스트랩(Wild bootstrap)을 개발하였다.

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