[논문]구체물의 추상화와 추상적 개념의 구체화에 나타나는 초등학생의 수학적 사고 분석

임영빈; 홍진곤

구체물의 추상화와 추상적 개념의 구체화에 나타나는 초등학생의 수학적 사고 분석
Primary Students' Mathematical Thinking Analysis of Between Abstraction of Concrete Materials and Concretization of Abstract Concepts 원문보기

학교수학 = School Mathematics, v.18 no.1, 2016년, pp.159 - 173

초록
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실제 교육 현장에서는 구체적 맥락에서 추상화하는 과정과 반대로 추상화된 개념을 먼저 가르치고 구체적인 문제 상황을 도입하는 경우도 있다. 즉, 추상적 지식을 구체화 해야 하는 경우가 있는 것이다. Freudenthal은 이런 상황을 반교수학적인 전도라고 표현하며 부정적인 견해를 나타낸 바 있지만 모든 수업상황이 구체적 상황이나 구체물에서 출발하는 추상화로 진행될 수 있는지는 의문의 여지가 있다. 본 연구에서는 구체물을 추상화하여 추상적 개념을 형성하는 과정과 추상적 개념을 구체적인 상황으로 구체화하는 과정에서 나타나는 수학적 사고의 차이점을 비교 분석하여 그 교육적 시사점을 살펴보고자 한다. 이를위해 AiC의 분석틀을 활용하여 구체물의 추상화 과정에서의 수학적 사고를 분석하였고, AiC의 분석틀을 토대로 연구자가 구안한 방식으로 추상적 개념의 구체화 과정에서의 수학적 사고를 분석하였다. 두 과정을 비교 분석한 결과 구체물의 추상화 과정만큼이나 추상적 개념의 구체화 과정에서도 유의미한 수학적 사고를 유도할 수 있음을 확인할 수 있었다.

Abstract ▼ AI-Helper

In real educational field, there are cases that concrete problematic situations are introduced after abstract concepts are taught on the contrary to process that abstract from concrete contexts. In other words, there are cases that abstract knowledge has to be concreted. Freudenthal expresses this situation to antidogmatical inversion and indicates negative opinion. However, it is open to doubt that every class situation can proceed to abstract that begins from concrete situations or concrete materials. This study has done a comparative analysis in difference of mathematical thinking between a process that builds abstract context after being abstracted from concrete materials and that concretes abstract concepts to concrete situations and attempts to examine educational implication. For this, this study analyzed the mathematical thinking in the abstract process of concrete materials by manipulating AiC analysis tools. Based on the AiC analysis tools, this study analyzed mathematical thinking in the concrete process of abstract concept by using the way this researcher came up with. This study results that these two processes have opposite learning flow each other and significant mathematical thinking can be induced from concrete process of abstract knowledge as well as abstraction of concrete materials.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

두 과정 모두 자연스러운 학습이 일어나기 위해서 기존에 배웠거나 이미 알고 있는 내용에 대한 유추적 사고가 필연적으로 동반된다. 구체물의 추상화 과정은 학습자의 지식을 간결, 명확히 나타내기 위한 수학적 사고를 하려는 경향을 보이며 추상적 지식 의 구체화 과정에서는 이미 기호화 되어있는 기존의 지식을 특수한 상황에 적용하기 위한 수학적 사고를 하고자 노력한다.
그런데 추상화와 구체화 과정이 같은 과정을 거치는 것이 아니기 때문에 직접적인 비교가 어려울 수 있다. 그래서 각과 정에서 관찰되는 수학적 사고를 분석하여 비교하고자 한다.
우선 [표 IV-2]와 같이 이분모 분수의 덧셈과 같은 구조를 가지는 실제 상황을 찾는 활동을 함으로써 피상적으로 사용하던 추상화된 개념의 구조와 현실맥락 속의 구조와의 공통점을 알게 한다. 그리고 기존의 연산이 어째서 통분의 과정을 거쳐 동분모 분수로 변환될 수 있었는지 깨닫게 한다. 이와 같은 활동을 토대로 일상생활에 서 볼 수 있는 이분모 분수의 덧셈과 관련된 문제 상황을 스스로 구성하게 한다.
본 연구는 구체물의 추상화와 추상적 개념의 구체화 과정에서의 수학적 사고를 비교 분석하였다. 분석 결과 추상적 개념의 구체화 과정에서도 구체물의 추상화 과정만큼 유의미한 수학적 사고를 유도 할 수 있음을 확인할 수 있었다.
대부분의 연구자들은 수학적 사고와 태도가 중요하다는 견해를 가지고 있지만 수학적 사고와 태도를 설명하는 입장은 다양하다. 본 연구에서 살펴보고자 하는 학생들의 추상화와 구체화는 눈으로 직접 볼 수 없기 때문에 그 과정에서 보이는 수학적 사고, 아울러 그러한 수학적 사고를 유발하는 수학적 태도를 분석함으로써 간접적으로 비교해보고자 한다. 이를 위해 본 절에서는 관찰하고자 하는 수학적 사고와 태도를 분명하게 규정하기 위한 선행연구를 분석할 것이다.
본 연구에서는 구체물의 추상화 과정과 추상적 개념의 구체화 과정에서 관찰 할 수 있는 수학적 사고를 비교분석하였다. 두 과정 모두 자연스러운 학습이 일어나기 위해서 기존에 배웠거나 이미 알고 있는 내용에 대한 유추적 사고가 필연적으로 동반된다.
그러나 비정상적인 선행학습으로 인해 추상화된 수학적 개념을 가지고 있음에도 불구하고 일상생활의 문제해결에 자신이 가진 개념을 사용하지 못하는 학생이 많이 있다. 본 연구에서는 선행학습으로 추상적인 개념을 가지고 있음에도 그 개념이 사용되는 맥락과 연결짓지 못하는 학생의 구체화 과정을 통해 교육적 시사점을 살펴보고자 한다.
본 연구에서는 이분모 분수의 덧셈 학습에 관하여 구체물을 사용한 추상화와 추상적 개념의 구체화 과정에 나타나는 수학적 사고의 분석을 통해 두 과정을 비교해보고 교육적 시사점을 제시하고자 한다. 본 연구의 목적을 위하여 설정한 연구 문제는 다음과 같다.
그래서 구체물이나 구체적 상황과 추상화 사이의 징검다리 역할을 해줄 반구체물이 필요 하다. 본 절에서는 분수 학습에 이용될 수 있는 구체물인 퀴즈네어 막대(Cuisenaire Rod)를 활용 하여 이분모 분수의 덧셈을 지도하고, 그 과정에서 학생들의 추상화 과정을 분석해보고자 한다.
100)는 강문봉, 片桐重男 등 의 연구를 토대로 수학적 사고의 신장을 측정하기 위한 방법을 찾기 위한 유형별 준거를 제시하는 등 학생의 행동을 준거로 수학적 사고를 관찰하였다. 본고에서도 이와 같이 학생들의 행동을 준거로 수학적 사고를 관찰하고자 한다. 수학적 사고라는 인간의 정신 활동은 그 자체로 관찰이 가능한 것이 아니다.
본 연구에서 살펴보고자 하는 학생들의 추상화와 구체화는 눈으로 직접 볼 수 없기 때문에 그 과정에서 보이는 수학적 사고, 아울러 그러한 수학적 사고를 유발하는 수학적 태도를 분석함으로써 간접적으로 비교해보고자 한다. 이를 위해 본 절에서는 관찰하고자 하는 수학적 사고와 태도를 분명하게 규정하기 위한 선행연구를 분석할 것이다.
이에 본고에서는 초등학생이 구체물을 사용하여 이분모 분수의 덧셈 학습을 할 때 나타나는 추상화 과정을 분석하고, 이미 습득한 추상적 개념을 통한 이분모 분수 덧셈의 구체화 과정에서의 수학적 사고를 분석한 뒤 두 과정의 차이점을 비교하고자 한다. 그런데 추상화와 구체화 과정이 같은 과정을 거치는 것이 아니기 때문에 직접적인 비교가 어려울 수 있다.

제안 방법

구체화 과정은 AiC와 같은 공인된 분석틀이 없기 때문에 연구자가 AiC 틀을 응용하여 과 같은 분석틀을 구안하였다.
1. 연구대상의 선정

선행학습으로 추상적 지식을 가지고 있지만 그 지식을 맥락적으로 생각하지 못하는 학생을 선정하기 위해 두 차례에 걸친 평가를 실시하였다. 첫 번째 평가는 단순한 이분모 분수의 계산식을 해결하는 것이었고, 두 번째 평가는 첫 번째 평가의 종료 후 일주일 정도 뒤에 이분모 분수의 덧셈과 관련된 일상생활의 문장제였다.
이 학생A는 4학년 때 배운 동분모 분수의 덧셈을 할 줄 알며, 5학년 1학기 초반에 배우는 약수와 배수 및 최소공배수와 최대공약수의 개념을 잘 이해한 학생으로 아직 이분모 분수의 통분을 배우지 않아서 이분모 분수의 덧셈을 하지 못하는 학생이다. 실험을 함에 앞서 퀴즈네어 막대를 활용한 동분모 분수의 덧셈, 진분수로의 통약 및 최소공배수 구하기를 지도하였다.
우선 [표 IV-2]와 같이 이분모 분수의 덧셈과 같은 구조를 가지는 실제 상황을 찾는 활동을 함으로써 피상적으로 사용하던 추상화된 개념의 구조와 현실맥락 속의 구조와의 공통점을 알게 한다. 그리고 기존의 연산이 어째서 통분의 과정을 거쳐 동분모 분수로 변환될 수 있었는지 깨닫게 한다.
020∼033의 과정은 전반적으로 일반화의 사고와 추상화의 사고를 통해 추상화하기 위한 과정이다. 일반화의 사고를 위해 주어진 조건보다 일반적인 경우에도 성립하는지 생각을 했고, 여러 가지 경우의 문제가 가지는 성질을 통합적 사고로 종합 정리하였다. 아울러 색막대를 사용할 수 없는 문제를 해결하기 위해 알고리즘의 사고를 통해 계산을 형식화하기 위해 노력하였으며 이는 어떤 조건에서도 문제를 해결하기 위해 본질만을 남기는 추상화의 사고로 볼 수 있을 것이다.

대상 데이터

퀴즈네어 막대를 활용하여 이분모 분수의 덧셈을 지도하기 위해, 아직 선행학습을 하지 않고, 평균적 이상의 수학과 성취 능력을 가지고 있는 5학년 학생A를 연구 대상으로 선정하였다. 이 학생A는 4학년 때 배운 동분모 분수의 덧셈을 할 줄 알며, 5학년 1학기 초반에 배우는 약수와 배수 및 최소공배수와 최대공약수의 개념을 잘 이해한 학생으로 아직 이분모 분수의 통분을 배우지 않아서 이분모 분수의 덧셈을 하지 못하는 학생이다.
첫 번째 평가는 단순한 이분모 분수의 계산식을 해결하는 것이었고, 두 번째 평가는 첫 번째 평가의 종료 후 일주일 정도 뒤에 이분모 분수의 덧셈과 관련된 일상생활의 문장제였다. 평가 결과 식으로만 이루어진 이분모 분수의 덧셈은 대체로 잘 해결하지만 일상생활과 연관된 문장제를 해결함에 있어 어려움을 보이는 5학년 학생B를 선정하였다. 이 학생은 선행학습을 통해 이분모 분수의 통분 및 덧셈을 모두 배워서 단순한 연산은 어느 정도 해결했지만 문장제의 경우 문제를 해결하는데 필요한 과정이 이분모 분수의 통분임을 유추하지 못하는 학생이었다.

성능/효과

본 연구는 구체물의 추상화와 추상적 개념의 구체화 과정에서의 수학적 사고를 비교 분석하였다. 분석 결과 추상적 개념의 구체화 과정에서도 구체물의 추상화 과정만큼 유의미한 수학적 사고를 유도 할 수 있음을 확인할 수 있었다. 본 연구는 특정 학생들을 대상으로 제한적으로 이루어졌기 때문에 다양한 일반 학생들 및 영재아 학습부진아등을 대상으로 다양한 연구가 필요하다.

후속연구

수학적 사고라는 인간의 정신 활동은 그 자체로 관찰이 가능한 것이 아니다. 그러나 이와 같은 준거를 토대로 학습자의 활동과 반응을 분석한다면 그 행동을 유발한 수학적 사고를 규정지을 수 있을 것이다.
우선 자신이 가지고 있는 개념을 맥락과 연결지을 필요성을 인식함으로써 구체화는 시작될 수 있다. 그리고 보유한 개념의 현실맥락을 연결짓고 통합하여, 현실과의 연관성을 끊임없이 되새기는 과정을 거쳐야 할 것이다.
분석 결과 추상적 개념의 구체화 과정에서도 구체물의 추상화 과정만큼 유의미한 수학적 사고를 유도 할 수 있음을 확인할 수 있었다. 본 연구는 특정 학생들을 대상으로 제한적으로 이루어졌기 때문에 다양한 일반 학생들 및 영재아 학습부진아등을 대상으로 다양한 연구가 필요하다. 본 연구를 계기로 추상적 지식의 구체화와 관련한 보다 심화된 후속 연구가 이어지기를 기대한다.
본 연구는 특정 학생들을 대상으로 제한적으로 이루어졌기 때문에 다양한 일반 학생들 및 영재아 학습부진아등을 대상으로 다양한 연구가 필요하다. 본 연구를 계기로 추상적 지식의 구체화와 관련한 보다 심화된 후속 연구가 이어지기를 기대한다.
이러한 문제들을 종합해 보면, 덧셈과 뺄셈의 각 첫 차시 정도는 구체적인 예에서 추상화하는 방식을 취하고 나머지 차시의 경우 형식불역의 원리에 따른 자연스러운 추상적 지식의 사용을 통한 구체화의 방법을 따르는 것도 부족한 교과 시간을 효율적으로 이용하는 한 가지 방법일 수 있을 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	수학 교육의 목적은 무엇인가?	수학 교육의 목적은 수학적으로 사고하는 능력과 태도를 개발하는 것이라고 말할 수 있다 (우정호, 1998, p.15).
	추상적인 지식을 구성해가는 초등학교 수학의 지도 과정에서 발생할 수 있는 한계점은 무엇인가?	이 과정에서 학생들의 학습 의욕을 고취시키기 위해 친숙한 문제 상황을 제시하거나 수학사 및 교구를 활용하기도 한다. 그러나 문제 상황이나 교구의 조작 과정에서 본질적인 요소를 찾아내어 추상화하지 못한다면 학생들의 활 동은 단순한 놀이에 그치고 말 것이다. 친숙한 상황이나 교구를 활용한 놀이상황에 그치지 않고, 수학화의 과정을 거쳐야 비로소 수학적인 지식이 구성되는 것이라면, 구체적인 상황이나 구체물의 추상화 과정, 즉 추상적 지식의 구성은 수학 수업에서 매우 중요한 과정이라고 할 수 있다.
	추상적 지식의 의의는 무엇인가?	545). 추상적 지식은 최소한의 언어로 최대의 의미를 표현하려는 수학의 간결성과 관련된 요인은 물론이고, 추상화된 과정을통해 일반화시킴으로서 학습한 내용을 더욱 넓은 범위로 확대․적용하는데 반드시 필요한 요소이다(황혜정 외, 2015, p.38).

참고문헌 (16)

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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