생브낭 원리를 이용한 고전 보 이론의 고유진동수 및 좌굴하중 예측 개선 Improvement of Euler-Bernoulli Beam Theory for Free Vibration and Buckling Analyses via Saint-Venant's Principle원문보기
본 논문에서는 생브낭의 원리가 근본적으로 구조물의 거동 예측에 잠재적으로 적용되어 있다는 점에 착안하여, 응력해석에 국한되어 있던 방법론을 자유진동 및 좌굴 문제 등에 적용하여 고전 보 이론의 정확도를 고차이론 수준으로 개선한다. 먼저 생브낭의 원리를 소개하고, 고전 보 이론에 의한 자유진동 그리고 좌굴해석 정식화를 진행하였다. 고전 보 이론의 변위장에 워핑함수와 섭동항을 추가하고, 합응력 등가(즉, 생브낭의 원리)를 적용하여 섭동항을 찾는다. 여기서 워핑함수들은 응력 평형방정식을 통하여 계산하였으며, 이 워핑함수들은 추가된 섭동항에 의하여 보의 응력 평형을 만족하게 된다. 제안된 방법론을 외팔보와 단순지지 보 문제에 적용하여 주파수 및 좌굴하중을 개선하였으며, 전단수정계수의 도입 없이 예측을 개선할 수 있음을 보였다.
본 논문에서는 생브낭의 원리가 근본적으로 구조물의 거동 예측에 잠재적으로 적용되어 있다는 점에 착안하여, 응력해석에 국한되어 있던 방법론을 자유진동 및 좌굴 문제 등에 적용하여 고전 보 이론의 정확도를 고차이론 수준으로 개선한다. 먼저 생브낭의 원리를 소개하고, 고전 보 이론에 의한 자유진동 그리고 좌굴해석 정식화를 진행하였다. 고전 보 이론의 변위장에 워핑함수와 섭동항을 추가하고, 합응력 등가(즉, 생브낭의 원리)를 적용하여 섭동항을 찾는다. 여기서 워핑함수들은 응력 평형방정식을 통하여 계산하였으며, 이 워핑함수들은 추가된 섭동항에 의하여 보의 응력 평형을 만족하게 된다. 제안된 방법론을 외팔보와 단순지지 보 문제에 적용하여 주파수 및 좌굴하중을 개선하였으며, 전단수정계수의 도입 없이 예측을 개선할 수 있음을 보였다.
In this paper, the methodology applied to the improvement of stress analyses is extended to free vibration and buckling analyses. The essence of the methodology is the Saint-Venant's principle that is applicable to beam and plate models. The principle allows one to dimensionally reduce three-dimensi...
In this paper, the methodology applied to the improvement of stress analyses is extended to free vibration and buckling analyses. The essence of the methodology is the Saint-Venant's principle that is applicable to beam and plate models. The principle allows one to dimensionally reduce three-dimensional elasticity problems. Thus the methodology can be employed to vibration and buckling as well as stress analysis. First, the principle is briefly revisited, and then the formations of classical beam theories are presented. To improve the predictions, the perturbed terms (unknowns) are introduced together with the warping functions that are calculated by stress equilibrium equations. The unknowns are then calculated by applying the equivalence of stress resultants (i.e., Saint-Venant's principle). As numerical examples, cantilever and simply supported beams are analytically solved. The results obtained are compared with those of the classical beam theories. It is shown that the methodology can be used to improve the predictions without introducing shear correction factors.
In this paper, the methodology applied to the improvement of stress analyses is extended to free vibration and buckling analyses. The essence of the methodology is the Saint-Venant's principle that is applicable to beam and plate models. The principle allows one to dimensionally reduce three-dimensional elasticity problems. Thus the methodology can be employed to vibration and buckling as well as stress analysis. First, the principle is briefly revisited, and then the formations of classical beam theories are presented. To improve the predictions, the perturbed terms (unknowns) are introduced together with the warping functions that are calculated by stress equilibrium equations. The unknowns are then calculated by applying the equivalence of stress resultants (i.e., Saint-Venant's principle). As numerical examples, cantilever and simply supported beams are analytically solved. The results obtained are compared with those of the classical beam theories. It is shown that the methodology can be used to improve the predictions without introducing shear correction factors.
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문제 정의
2절에 기술된 자유진동문제와 같다. 반복되는 과정을 피하기 위하여 결과만을 간략히 정리하고자 한다.
본 연구에서는 생브낭의 원리를 이용한 응력 개선 방법을 자유진동 및 좌굴해석에 적용함으로써 해석결과의 정확도를 높일 수 있는 방법을 소개하였다. 고전 보 이론에서는 무시되었던 전단변형효과가 변위 섭동항을 고려함으로써 보정되었으며, 정확한 전단 수정계수를 가지는 티모센코 보 이론의 결과와 아주 잘 일치하는 결과를 얻을 수 있었다.
(7,9) 이 방법은 고전 보 이론의 해를 생브낭의원리를 이용하여 후처리함으로써 간단한 계산만으로 정확도를 높일 수 있다는 것이다. 본 연구에서는 응력해석 개선을 위해 개발된 방법론을 진동 및 좌굴 해석에도 적용할 수 있게 확장하고자 한다. 이를 위하여 먼저 방법론의 근간이 되는 생브낭의 원리를 소개한다.
이 절에서는 고전이론의 정확성 비교를 위하여 대표적인 일차전단변형이론인 티모센코 보 이론 (R-T)의 해를 구하고자 한다. 이 이론의 변위장은 다음과 같이 주어진다.
이를 위하여 먼저 방법론의 근간이 되는 생브낭의 원리를 소개한다. 이어서 고전 보 이론에 기초한 진동 및 좌굴 방정식을 이용하여 전단변형을 고려하는 워핑함수와 보의 평형을 위한 섭동항을 도입하는 과정을 보여주고자 한다. 마지막으로 수치예제를 통해 본 연구에서 제안된 방법론이 일차 전단변형이론의 해와 같은 결과를 보임으로써 전단수정계수의 도입이 필요 없는 효과적인 방법론 임을 보인다.
그러나 근본적으로 전단수정계수(8)의 해결이라 문제점을 내포하고 있다. 이에 전단수정계수를 사용하지 않으면서도 전단변형효과를 고려하고 상용프로그램에도 적용할 수 있는 방법론의 필요성이 제기 되었다.
3.4 단순지지보의 좌굴해석
좌굴문제에 대한 경계조건의 영향을 조사하기 위하여 이 절에서는 단순지지 경계조건을 고려하였다. 보의 형상, 경계조건 그리고 변위함수는 3.
가설 설정
수치비교를 위하여 등방성 재질을 가정하였으며, 앞서 계산된 개선된 주파수 및 티모센코 보 이론의 해를 고전 보 이론의 해로 무차원화하여 보의 길이/두께 비의 함수로 Fig. 1 에 도시하였다.
좌굴문제 해석을 위하여 고전 보 이론의 평형방정식과 경계조건을 만족하는 근사함수를 다음과 같이 가정하였다.
한편 횡방향 변위장 u3 는 고전 보 이론과는 다르기 때문에 이를 고려하여 미지의 항인 면외 변위섭동항 w3 를 포함하도록 가정한다.
제안 방법
본 논문에서는 개선 전후의 합응력은 동일하다는 생브낭의 원리를 이용하여 고전 보 이론(E-B) 의 변위를 후처리함으로써 변위섭동항을 계산하고자유진동 해석에서의 고유진동수, 좌굴하중 예측에 대한 결과를 정확한 전단수정계수를 가지는 일차전단변형이론의 해와 비교하고 그 정확도를 확인하였다.
외팔보 문제의 경우 고전 보 이론의 엄밀해가 잘 알려져 있으므로 첫 번째 고유 모드함수를 적용하여 해석하였다.
본 연구에서는 응력해석 개선을 위해 개발된 방법론을 진동 및 좌굴 해석에도 적용할 수 있게 확장하고자 한다. 이를 위하여 먼저 방법론의 근간이 되는 생브낭의 원리를 소개한다. 이어서 고전 보 이론에 기초한 진동 및 좌굴 방정식을 이용하여 전단변형을 고려하는 워핑함수와 보의 평형을 위한 섭동항을 도입하는 과정을 보여주고자 한다.
좌굴 해석을 위해 먼저 외팔보 경계조건을 고려하였으며, Fig. 3에 보이는 것처럼 길이가 l인 보의자유단에 압축력 P를 문제를 고려하였다.
데이터처리
이 장에서는 다양한 경계조건을 가지는 보 문제에 대해 본 논문에서 유도된 새로운 식들을 이용하여 진동수 및 좌굴하중을 계산한다. 얻어진 결과들의 정확성 검증을 위하여 일차전단변형 이론의 해와 비교한다. 먼저 3.
성능/효과
본 연구에서는 생브낭의 원리를 이용한 응력 개선 방법을 자유진동 및 좌굴해석에 적용함으로써 해석결과의 정확도를 높일 수 있는 방법을 소개하였다. 고전 보 이론에서는 무시되었던 전단변형효과가 변위 섭동항을 고려함으로써 보정되었으며, 정확한 전단 수정계수를 가지는 티모센코 보 이론의 결과와 아주 잘 일치하는 결과를 얻을 수 있었다. 이러한 결과는 전단수정계수를 미리 계산하기 어려운 복합재료 구조물이나 복잡한 단면 형상을 가지는 구조물의 자유진동 및 좌굴 해석에 있어 티모센코 보 이론보다 효과적일 것으로 예상된다.
)는 사각단면에 대해 정확하다고 알려진 5/6을 적용하였다. 그림에서 보듯이 본 논문에서 제안된 방법이 정확한 전단수정계수를 가지는 티모센코 보의 이론해와 잘 일치함을 알 수 있다. 약간의 오차는 티모센코 보의 해석해를 구함에 있어 근사해를 적용한 것에 기인하여, 이는 다음 3.
이어서 고전 보 이론에 기초한 진동 및 좌굴 방정식을 이용하여 전단변형을 고려하는 워핑함수와 보의 평형을 위한 섭동항을 도입하는 과정을 보여주고자 한다. 마지막으로 수치예제를 통해 본 연구에서 제안된 방법론이 일차 전단변형이론의 해와 같은 결과를 보임으로써 전단수정계수의 도입이 필요 없는 효과적인 방법론 임을 보인다.
고전 보 이론에서는 무시되었던 전단변형효과가 변위 섭동항을 고려함으로써 보정되었으며, 정확한 전단 수정계수를 가지는 티모센코 보 이론의 결과와 아주 잘 일치하는 결과를 얻을 수 있었다. 이러한 결과는 전단수정계수를 미리 계산하기 어려운 복합재료 구조물이나 복잡한 단면 형상을 가지는 구조물의 자유진동 및 좌굴 해석에 있어 티모센코 보 이론보다 효과적일 것으로 예상된다. 한편 본 방법론은 전단수정계수를 구하는 새로운 도구로도 사용될 수 있다.
2로부터 보의 주파수를 전단수정계수의 도입 없이 고전 보 이론의 해를 후처리함으로써 (즉 섭동항의 계산만을 통해 개선) 주파수를 개선할 수 있음을 알 수 있다. 정확한 전단수정계수를 계산할 수 없을 경우 본 논문에서 제안한 방법이 대안이 될 수 있음을 보여준다.
후속연구
본 논문에서 소개한 방법론은 고전 보 이론뿐만 아니라 다른 이론들에도 적용될 수 있다. 이는 후처리를 통해서 사용된 이론의 정확도를 개선할 수 있음을 의미한다.
이는 후처리를 통해서 사용된 이론의 정확도를 개선할 수 있음을 의미한다. 실제적인 적용을 위해서는 상용 CAE 소프트웨어에 응용하는 것이 필요하며 추후연구에서 다루어질 예정이다.
이러한 결과는 전단수정계수를 미리 계산하기 어려운 복합재료 구조물이나 복잡한 단면 형상을 가지는 구조물의 자유진동 및 좌굴 해석에 있어 티모센코 보 이론보다 효과적일 것으로 예상된다. 한편 본 방법론은 전단수정계수를 구하는 새로운 도구로도 사용될 수 있다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
고전 보 이론 적용이 부적합한 영역은 무엇인가?
보 구조물은 기본 강성 이외에도 고유진동수 및 좌굴 임계하중 등이 성능에 지대한 영향을 미친다. 보 구조물의 해석은 전통적으로 고전 보 이론(Euler-Bernoulli beam; E-B)에 의해 수행되어 왔으나, 이방성 재료 또는 고주파수 영역해석에는 부적합하다는 것은잘 알려져 있다. 주된 이유는 전단변형의 고려 여부이다.
보 구조물의 성능에 영향을 미치는 물성은 무엇인가?
보 구조물은 기계, 건축, 항공 등의 현대공학에서 많이 사용되고 있는 부재이다. 보 구조물은 기본 강성 이외에도 고유진동수 및 좌굴 임계하중 등이 성능에 지대한 영향을 미친다. 보 구조물의 해석은 전통적으로 고전 보 이론(Euler-Bernoulli beam; E-B)에 의해 수행되어 왔으나, 이방성 재료 또는 고주파수 영역해석에는 부적합하다는 것은잘 알려져 있다.
고전 보 이론이 이방성 재료 또는 고주파수 영역해석에서 적용되기 부적절한 주된 이유는?
보 구조물의 해석은 전통적으로 고전 보 이론(Euler-Bernoulli beam; E-B)에 의해 수행되어 왔으나, 이방성 재료 또는 고주파수 영역해석에는 부적합하다는 것은잘 알려져 있다. 주된 이유는 전단변형의 고려 여부이다. 따라서 전단변형을 고려한 가장 단순한 형태의 일차전단변형이론(Rankine-Timoshenko beam theory; R-T)이 널리 사용되어 왔다.
참고문헌 (11)
Timoshenko, S. P. and Goodier, J. N., 1951, Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New York.
Dym, C. L. and Shames, I. H., 1982, Solid Mechanics : A Variational Approach, McGraw-Hill, New York.
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Gruttmann, F. and Wagner, W., 2001, "Shear Correction Factors in Timoshenko'S Beam Theory for Arbitrary Shaped Cross-sections," Comput. Mech., Vol. 27, p.199-207.
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