이 연구에서는, 이지현(2014; 2015)이 이중단절의 극복을 위해 제안한 무한소수를 통한 실수 도입방식의 특징에 대해 살펴보고, 그 접근방식의 수학적 기초인 Li(2011)의 제안에 대해 분석하고 전통적인 축소구간열을 활용한 실수도입 방식과 비교하였다. 분석의 결과, 이지현과 Li의 제안에서는 직선의 각 점에 대응하는 무한소수 표현을 만드는 과정에서 '순환논리'에 빠질 위험이 있으며, 이에 대한 수학적 그리고 교육적 보완을 위해, 실수의 구성 과정동안 '어떤 실수로의 극한'을 사용하지 않는 조치가 이루어져야함을 알 수 있었다. 이에, 이 연구에서는 기하학적 축소구간공리를 사용하여 무한소수를 수열로 정의하는 전통적 방식이 그에 대한 적합한 보완책이 될 수 있음을 제기하였다.
이 연구에서는, 이지현(2014; 2015)이 이중단절의 극복을 위해 제안한 무한소수를 통한 실수 도입방식의 특징에 대해 살펴보고, 그 접근방식의 수학적 기초인 Li(2011)의 제안에 대해 분석하고 전통적인 축소구간열을 활용한 실수도입 방식과 비교하였다. 분석의 결과, 이지현과 Li의 제안에서는 직선의 각 점에 대응하는 무한소수 표현을 만드는 과정에서 '순환논리'에 빠질 위험이 있으며, 이에 대한 수학적 그리고 교육적 보완을 위해, 실수의 구성 과정동안 '어떤 실수로의 극한'을 사용하지 않는 조치가 이루어져야함을 알 수 있었다. 이에, 이 연구에서는 기하학적 축소구간공리를 사용하여 무한소수를 수열로 정의하는 전통적 방식이 그에 대한 적합한 보완책이 될 수 있음을 제기하였다.
This study examines the approach of introduction of the real numbers through the infinite decimal, which is suggested by Lee Ji-Hyun(2014; 2015) in the aspect of the overcoming the double discontinuity, and analyses Li(2011), which is the mathematical background of the foregoing Lee's. Also, this st...
This study examines the approach of introduction of the real numbers through the infinite decimal, which is suggested by Lee Ji-Hyun(2014; 2015) in the aspect of the overcoming the double discontinuity, and analyses Li(2011), which is the mathematical background of the foregoing Lee's. Also, this study compares these construction methods given by Lee and Li with the traditional method using the nested intervals. As a result of analysis, this study shows that Lee Ji-Hyun(2014; 2015) and Li(2011) face the risk of the circulation logic in making the infinite decimal corresponding each point on the geometrical line, and need the steps not using the 'limit to a real number' in order to compensate the mathematical and educational defect. Accordingly, this study raises the opinion that the traditional method of defining the infinite decimal as a sequence by using the geometrical nested intervals axiom would be a appropriate supplementation.
This study examines the approach of introduction of the real numbers through the infinite decimal, which is suggested by Lee Ji-Hyun(2014; 2015) in the aspect of the overcoming the double discontinuity, and analyses Li(2011), which is the mathematical background of the foregoing Lee's. Also, this study compares these construction methods given by Lee and Li with the traditional method using the nested intervals. As a result of analysis, this study shows that Lee Ji-Hyun(2014; 2015) and Li(2011) face the risk of the circulation logic in making the infinite decimal corresponding each point on the geometrical line, and need the steps not using the 'limit to a real number' in order to compensate the mathematical and educational defect. Accordingly, this study raises the opinion that the traditional method of defining the infinite decimal as a sequence by using the geometrical nested intervals axiom would be a appropriate supplementation.
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가설 설정
위로 유계인 임의의 무한소수 부분집합 A의 최소상계는 다음과 같이 무한소수 전개를 이용하여 찾을 수 있다. 이때 일반성을 잃지 않고, A가 적어도 하나의 양수를 포함한다고 가정하자. 집합 A가 유계이므로, A에 속한 무한소수들의 정수부분 최댓값을 a0라 하자.
왜냐하면 이 수열이 극한을 갖는 것을 증명하기 위해서는 극한과 수렴의 정의에 따라서 이 수의 존재가 이전에 증명되거나 정의된 것으로 가정해야 하기 때문이다. 코시는 이것과 관련해 추론의 순환성을 알아차리지 못했던 것으로 보이지만 암암리에 그 자신 안에서 수렴하는 모든 수열은 극한을 갖는다고 가정하였다(Ibid, p.326).
제안 방법
그리고 이러한 학교수학에서의 근본적 어려움을 해소하기 위해서는 선순환 관점에서 예비교사 교육을 통해 그 ‘교수학적 공백’을 보충하는 것이 우선 이루어져야 함을 밝히며, 무한소수 기호에 대한 역사적 분석과 Li(2011)의 연구를 바탕으로 하여 대학수학교육 차원에서의 무한소수를 통한 실수도입방식을 제안하였다.
성능/효과
한편, 유리축소구간열을 이용해 실수를 구성하는 방식은 크게 두 가지 특징을 가졌다고 할 수 있다. 첫째는 직선 위의 점과 유리축소구간열 사이의 대응을 선명히 보여준다는 면에서 직관성과 엄밀성을 모두 충족시킬 수 있다는 것이다. 즉, 직선 위의 임의의 점 x 에 대해 그에 대응하는 유리축소구간열을 쉽게 찾을 수 있다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
학교 수학에서 무리수는 무엇으로 도입되는가?
일반적으로, 학교수학에서 무리수는 ‘분수가 아닌 수’, ‘비순환 무한소수’로 도입한다. 이러한 접근에서 실수는 이미 존재한다고 암묵적으로 가정되며 실수 중에서 유리수가 아닌 수로서 무리수를 정의한다고 할 수 있다.
무한소수를 통한 실수 도입방식의 특징은?
여기서, 그 무한소수를 통한 실수 도입방식은 직선 위의 임의의 점 x에 대응하는 십진무한소수 표현 x0·x1·x2·x3 ⋯ 을 측정맥락에서 일련의 폐개구간을 이용하여 만들고 그러한 십진무한소수의 집합이 완비순서체를 형성한다는 것을 증명하는 방식이다. 이러한 방식은 Cantor의 코시수열 접근법, Dedekind Cut 방법 등의 구성적 방법이나 처음부터 완비순서체로서의 실수를 도입하는 공리적 방법과 다르게, 무한소수의 도입과정에서 기하학적 직관을 활용한다고 할 수 있다.
기하학적 직관을 활용하는 실수 구성방식이란?
이런 관점에서, 기하학적 직관을 활용하는 실수 구성방식이란 ‘직선은 빠짐없이 점으로 채워져 있다.’는 직관을 활용해 ‘어떤 선분의 길이 또는 직선의 각 점에 대응하는 수를 만들어내는 방식’이라 할 수 있다. 그리고 이에 기초해, 이 연구는 ‘기하학적 직관을 활용하면서, 무한소수 표현을 통해 직선의 각 점에 대응하는 수를 구성해내는 적합한 방식은 무엇일까?’의 문제를 다룬다고 할 수 있다.
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