[논문]주파수 응답 데이터를 이용한 비비례 점성감쇠행렬 추정

민천홍; 김형우

doi:10.5916/jkosme.2016.40.4.369

초록
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감쇠구조물의 해석을 위해서는 정확한 감쇠모델을 구성하는 것이 중요하지만, 감쇠특성을 모델링 하는 것은 매우 어려운 일이다. 부정확한 감쇠 모델링에서 기인하는 오차는 진동 소음 문제 및 구조물 안전 평가 등에 많은 어려움을 주고 있다. 본 연구에서는 주파수 응답함수를 이용한 비비례 점성감쇠행렬 추정기법을 제시하였다. 복소 주파수 응답함수는 구조물의 실험데이터로부터 계측되며, 정상상태 주파수 응답함수는 계측된 복소 주파수 응답함수로부터 추정된다. 제안된 기법을 통해 비비례 점성감쇠 행렬을 추정하였으며, 두 가지 수치 예제(집중질량 모델과 외팔보)를 통해 제시된 기법을 검토하였다. 결과적으로 두 가지 예제 모두에서 비비례 점성감쇠 행렬을 정확히 추정할 수 있었다.

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Accurate identification of damping matrix in structures is very important for predicting vibration responses and estimating parameters or other characteristics affected by energy dissipation. In this paper, damping matrix identification method that use normal frequency response functions, which were...

Accurate identification of damping matrix in structures is very important for predicting vibration responses and estimating parameters or other characteristics affected by energy dissipation. In this paper, damping matrix identification method that use normal frequency response functions, which were estimated from complex frequency response functions, is proposed. The complex frequency response functions were obtained from the experimental data of the structure. The nonproportional damping matrix was identified through the proposed method. Two numerical examples (lumped-mass model and cantilever beam model) were considered to verify the performance of the proposed method. As a result, the damping matrix of the nonproportional system was accurately identified.

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이 시스템을 구성하는 M₁C,K는 Table 1과 같다. 이 중 M과 K는 알고 있는 상태로 가정하였으며, C는 모르는 상태로 제안된 기법을 통해 추정하는 수치검증 시나리오를 고려하였다. 3자유도 수치모델로부터 9개의 복소 주파수 응답함수를 획득 하였으며, 이중 0 ~ 50Hz 범위에서 획득된 복소주파수 응답함수 데이터만을 감쇠행렬 추정에 이용하였다.

제안 방법

본 연구에서는 비비례 점성감쇠행렬 추정을 위해 복소주파수 응답함수를 이용하는 직접추정 기법을 제안하였으며, 제안된 기법을 3자유도 집중질량 모델과 외팔보 수치 모델을 통해 성능을 검토하였다. 수치 모델을 이용한 성능검토를 통하여 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.
본 연구에서는, Arora [8]에서 제안한 구조 감쇠행렬 추정기법을 수정하여 비비례 점성감쇠행렬을 추정하는 기법을 제안하고, 두 가지(3자유도 집중질량 모델과 외팔보 모델) 수치모델을 이용하여 제안된 기법의 정확도를 검토하였다.
진동실험을 통해 실제 계측된 데이터에는 잡음이 필연적으로 포함되기 때문에 잡음에 대한 강건성(Robustness) 검토가 필요하다. 잡음에 대한 강건성 검토를 위해 Case 1의복소 주파수 응답함수 데이터에 2%의 잡음을 인위적으로 추가하여(Case 3) 감쇠행렬 추정에 적용하였다. Figure 7은 Case 3에서 추정된 모델의 복소 주파수 응답함수와 수치모델의 복소 주파수 응답함수를 비교한 것으로 매우 잘 맞는 것으로 보인다.

대상 데이터

이 중 M과 K는 알고 있는 상태로 가정하였으며, C는 모르는 상태로 제안된 기법을 통해 추정하는 수치검증 시나리오를 고려하였다. 3자유도 수치모델로부터 9개의 복소 주파수 응답함수를 획득 하였으며, 이중 0 ~ 50Hz 범위에서 획득된 복소주파수 응답함수 데이터만을 감쇠행렬 추정에 이용하였다.
M_R, K_R, C 로부터 100개의 복소 주파수 응답함수를 획득하였다. 이중 0 ~ 5000Hz 범위에서 획득된 복소 주파수 응답함수 데이터(Case 1)와 0 ~ 1000Hz범위에서 획득된 복소 주파수 응답함수 데이터(Case 2)를 각각 감쇠행렬 추정에 이용하였다.
, C 로부터 100개의 복소 주파수 응답함수를 획득하였다. 이중 0 ~ 5000Hz 범위에서 획득된 복소 주파수 응답함수 데이터(Case 1)와 0 ~ 1000Hz범위에서 획득된 복소 주파수 응답함수 데이터(Case 2)를 각각 감쇠행렬 추정에 이용하였다. Case 1과 Case 2에서 추정된 모델과 수치모델의 복소 주파수 응답함수를 Figure 5와 Figure 6에서 비교하였다.
제안된 기법을 검증하기 위하여 m_1,m₂,m₃는 10kg,14kg, 12kg이며, k₁,k₂,k₃는 2000N/m, 3000N/m, 2500N/m이고, c₁,c₂,c₃는 2.1Ns/m, 3.2Ns/m, 2.5Ns/m인 3자유도 비비례 점성감쇠 시스템을 Figure 1과 같이 구성하였다. 이 시스템을 구성하는 M₁C,K는 Table 1과 같다.

이론/모형

또한 실제 실험모델의 자유도는 센서의 측정자유도와 사용된 개수의 곱으로 제한되기 때문에 자유도 축소가 고려되어야 한다. 이러한 자유도의 제한을 고려하기 위해 자유도 축소기법[10]을 사용하여 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21번 절점에서 각각 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39번의 병진자유도만을 가지는 10자유도 모델로 수치모델을 축소시켰으며, 축소된 모델과 축소 전 모델의 1 ~ 10차 고유주파수들의 차이가 0.05 %보다 작게 되도록 하였다. 축소된 질량행렬과 강성행렬을 각각 M_R과 K_R로 정의하였으며, 식 (14)를 이용하여 비비례 점성감쇠 행렬을 구성하였다.

성능/효과

FRF_i,k에서 i는 가진점 위치, k는 응답점 위치를 나타낸다. 검정색 실선은 수치모델의 복소 주파수 응답함수이며, 빨간색 점선은 추정된 시스템의 복소 주파수 응답함수로 두 선이 매우 잘 일치하는 것을 확인 할 수 있다. 추정된 감쇠행렬과 오차율을 Table 2에 정리하였다.

후속연구

(1) 제안된 기법의 잡음에 대한 강건성 연구가 수행될 필요가 있다. 실제 계측된 데이터에는 필연적으로 잡음이 포함되기 때문에 잡음에 대한 강건성 확보가 필요한데, Case 3과 같이 잡음이 포함된 데이터를 이용할 경우 오차가 크게 나타나는 것이 확인 되었다.
(2) 보다 정확하고 효율적인 감쇠행렬 추정을 위해서는 추정에 사용되는 복소 주파수 응답함수의 범위 최적화 연구가 진행될 필요가 있다. 위의 사항들을 고려하여 실제 구조물에 적용 가능한 감쇠행렬 추정기법을 향후 개발하고자 한다.
(2) 보다 정확하고 효율적인 감쇠행렬 추정을 위해서는 추정에 사용되는 복소 주파수 응답함수의 범위 최적화 연구가 진행될 필요가 있다. 위의 사항들을 고려하여 실제 구조물에 적용 가능한 감쇠행렬 추정기법을 향후 개발하고자 한다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	국내/외에서 감쇠행렬을 추정하는 기법의 연구가 많이 진행되고 있는 이유는?	현재 해양구조물, 선박, 잠수함 등의 고성능, 대형 구조물의 진동을 줄이기 위하여 감쇠 성능을 향상 시킨 감쇠복합재가 널리 사용되고 있다. 감쇠구조물의 해석을 위해서는 정확한 감쇠모델을 구성하는 것이 중요하지만, 감쇠특성을 모델링 하는 것은 매우 어려운 일이다. 부정확한 감쇠모델링에서 기인하는 오차는 진동 소음 문제 및 구조물 안전 평가 등에 많은 어려움을 주고 있다. 이러한 이유로 국내/외에서 감쇠행렬을 추정하는 기법의 연구가 많이 진행되고 있다.
	간접방법이란?	감쇠행렬 추정방법은 데이터 이용방법에 따라 크게 간접방법(Indirect method)과 직접방법(Direct method)으로 나누어진다. 간접방법은 진동 데이터에서 고유진동수, 감쇠비, 모드형상과 같은 모드 특성치(Modal parameter)를 추정하여 수치모델(대부분의 경우 유한요소 모델)의 행렬을 수정하는 방식으로 감쇠행렬을 추정하는 방법이다. Lee et al.
	감쇠행렬 추정방법은 어떻게 나뉘는가?	감쇠행렬 추정방법은 데이터 이용방법에 따라 크게 간접방법(Indirect method)과 직접방법(Direct method)으로 나누어진다. 간접방법은 진동 데이터에서 고유진동수, 감쇠비, 모드형상과 같은 모드 특성치(Modal parameter)를 추정하여 수치모델(대부분의 경우 유한요소 모델)의 행렬을 수정하는 방식으로 감쇠행렬을 추정하는 방법이다.

참고문헌 (10)

G. M. Lee, Y. H. Ju, and M. S. Park, "Comparison of damping matrix estimation methods for model updating," Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, vol. 20, no. 10, pp. 923-930, 2010 (in Korean).

원문보기 상세보기
S. C. Park, Y. B. Park, K. I. Park, H. K. Je, and G. J. Yi, "Identification of damping matrix for a steel bar by the genetic algorithm," Journal of the Korean Society of Marine Engineering, vol. 35, no. 2, pp. 271-277, 2011 (in Korean).

원문보기 상세보기
C. H. Min, H. I. Park, and S. Y. Park, "Direct identification of non-proportional modal damping matrix for lumped mass system using modal parameters," Journal of Mechanical Science and Technology, vol. 26, no. 4, pp. 993-1002, 2012.

원문보기 상세보기
J. H. Lee and J. Kim, "Development and validation of a new experimental method to identify damping matrices of a dynamic system," Journal of Sound and Vibration, vol. 246, no. 3, pp. 505-524, 2001.

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K. S. Kim, Y. J. Kang, and J. Yoo, "Structural parameters identification using improved normal frequency response function method," Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 22, pp. 1858-1868, 2008.

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S. Pradhan and S. V. Modak, "A method for damping matrix identification using frequency response data," Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 33, pp. 69-82, 2012.

상세보기
C. H. Min, H. W. Kim, C. H. Lee, S. Hong, J. S. Choi, and T. K. Yeu, "Identification of a nonproportional damping matrix using the finite element model updating," Journal of Ocean Engineering and Technology, vol. 26, no. 4, pp. 86-91, 2012 (in Korean).
V. Arora, "Structural damping identification method using normal FRFs," International Journal of Solids and Structures, vol. 51, pp. 133-143, 2014.

상세보기
S. Y. Chen, M. S. Ju, and Y. G. Tsuei, "Estimation of mass, stiffness and damping matrices from frequency response functions," Journal of Vibration and Acoustics, vol. 118, no. 1, pp. 78-82, 1996.

상세보기
M. I. Friswell, S. D. Garvey, and J. E. T. Penny, "Model reduction using dynamic and iterated IRS techniques," Journal of Sound and Vibration, vol. 186, no. 2, pp. 311-323, 1995.

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