[논문]MLS차분법을 이용한 재료비선형 문제 해석

윤영철

doi:10.7734/coseik.2016.29.3.237

MLS차분법을 이용한 재료비선형 문제 해석
Development of MLS Difference Method for Material Nonlinear Problem 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.29 no.3, 2016년, pp.237 - 244

초록
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본 연구는 재료비선형 문제를 다루기 위한 비선형 MLS 차분법의 정식화 과정을 제시한다. MLS 차분법은 절점모델을 기반으로 고속 미분근사식을 활용하여 지배 미분방정식을 직접 이산화 하는데, 변수를 변위로 일원화한 Navier 방정식을 사용하여 탄성재료 문제를 다룬 기존의 MLS 차분법은 재료의 구성방정식을 별도로 고려할 수 없다. 본 연구에서는 비선형 재료의 구성방정식을 반영할 수 있는 강정식화를 위해 1차 미분근사를 반복 사용하는 겹미분근사를 고안했다. 응력의 발산으로 표현되는 평형방정식을 그대로 이산화하고 Newton 방법을 적용하여 반복계산을 통해 수렴해를 찾는 비선형 알고리즘을 제시했다. 응력 계산과 내부변수의 갱신은 return mapping 알고리즘을 활용하였고, 알고리즘 접선계수(algorithmic tangent modulus)의 적용을 통해 빠르고 안정적인 반복계산이 가능하도록 하였다. 재생성 시험을 통해 겹미분근사의 정당성을 검증했고, 비선형재료에 대한 인장문제의 해석을 통해 개발된 비선형 MLS 차분 알고리즘의 정확성과 안정성을 확인하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

This paper presents a nonlinear Moving Least Squares(MLS) difference method for material nonlinearity problem. The MLS difference method, which employs strong formulation involving the fast derivative approximation, discretizes governing partial differential equation based on a node model. However, the conventional MLS difference method cannot explicitly handle constitutive equation since it solves solid mechanics problems by using the Navier's equation that unifies unknowns into one variable, displacement. In this study, a double derivative approximation is devised to treat the constitutive equation of inelastic material in the framework of strong formulation; in fact, it manipulates the first order derivative approximation two times. The equilibrium equation described by the divergence of stress tensor is directly discretized and is linearized by the Newton method; as a result, an iterative procedure is developed to find convergent solution. Stresses and internal variables are calculated and updated by the return mapping algorithm. Effectiveness and stability of the iterative procedure is improved by using algorithmic tangent modulus. The consistency of the double derivative approximation was shown by the reproducing property test. Also, accuracy and stability of the procedure were verified by analyzing inelastic beam under incremental tensile loading.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

그러나 Navier 방정식을 이산화하면 구성방정식이 외재적으로 나타나지 않기 때문에 기존에 개발된 재료비선형 모델을 적용할 수 없다. 따라서 본 연구에서는 응력텐서의 발산(divergence)으로 표현되는 지배 미분방정식을 그대로 이산화하면서 기존의 구성방정식을 활용 할 수 있는 해석법을 제시한다.
따라서 응력의 발산값을 계산하는 과정과 변위의미분항이 포함된 응력을 계산하는 과정에서 1차 미분계산이 두 번 필요하다. 본 연구는 절점만 사용하는 MLS 차분법의 유연성을 활용하여 약정식화의 도입없이 1차 미분근사를 반복하는 겹미분근사를 고안하여 강정식화 기반의 계방정식을 유도하고, Newton 방법에 근거하여 반복계산이 가능한 비선형 알고리즘을 제시했다. 또한, 응력값의 계산과 역학적 변수들의 갱신은 return mapping 알고리즘을 이용하였고, 알고리즘 접선계수를 적용하여 반복계산의 안정성과 효율성을 높였다.
본 연구에서는 수치적분이나 필수경계조건 처리를 위한 구속조건식의 도입없이 무요소법의 장점을 최적화할 수 있는 강정식화에 기반한 MLS 차분법을 이용하여 재료비선형 문제를 해석할 수 있는 알고리즘을 제시하였다. MLS 차분법은 요소나 그리드에 의존적이지 않고 기존 무요소법보다 빠르게 미분근사를 하기 때문에 강정식화에 유리하다.
본 연구에서는 재료비선형 문제를 다루기 위한 MLS 차분 알고리즘을 제시한다.
본 연구의 주요 관심사는 이와 같은 미분근사 방법이 제대로 작동할 것인지의 여부와 함께 강정식화에 기반한 비선형 알고리즘이 제대로 작동하는지의 여부이다. 또한, Newton 방법 적용을 위한 잔차식의 구성, 기존 재료모델의 적용, 응력 갱신(update) 알고리즘도 함께 고려되어야 할 것이다.
본 절에서는 1차 미분을 두 번 사용하여 2차 미분을 근사하는 1차 겹미분근사의 정확성을 검증한다. 이론해를 알고 있는 간단한 1차원 탄성봉 문제를 고려한다.

제안 방법

해석에 사용한 물성치는 1차원 봉문제와 동일하고, 153(=17×9)개의 절점과 2차 다항식을 사용했다. 1차원 문제와의 비교를 위해 포아송비를 0으로 적용했으며, 평면응력 조건을 고려하였다.
해석에 사용한 물성치는 E =1×10⁶psi, σ_y =1×10⁴psi, H =5×10³psi(경화계수), K =5×10⁴psi(소성계수)이다. 61개의 절점과 2차 다항식을 사용했다.
MLS 차분법은 요소나 그리드에 의존적이지 않고 기존 무요소법보다 빠르게 미분근사를 하기 때문에 강정식화에 유리하다. 기존의 MLS 차분법은 지배방정식을 변위만의 식인 Navier 방정식으로 변환하여 사용했으나, 본 연구에서는 비선형 재료의 구성방정식을 활용하기 위해 응력텐서의 발산으로 표현되는 평형방정식을 그대로 이산화하였다. 따라서 응력의 발산값을 계산하는 과정과 변위의미분항이 포함된 응력을 계산하는 과정에서 1차 미분계산이 두 번 필요하다.
이론해를 알고 있는 간단한 1차원 탄성봉 문제를 고려한다. 기지의 변위를 이용하여 기존의 2차 미분근사와 1차 겹미분근사를 사용하여 응력의 발산 값을 재생하고 오차를 측정하여 미분근사의 정확성을 검증한다. 이와 같은 과정을 재생성 시험으로 부르기도 한다(Lee and Yoon, 2004; Yoon and Song, 2014b).
본 논문에서 제시하는 MLS 차분법은 절점모델을 기반으로 이동최소제곱법을 통해 구성한 1차 미분근사식을 반복 사용하여 응력텐서의 발산 형태로 주어진 지배 미분방정식을 그대로 이산화한다. 그 다음 비선형 재료에 대한 구성방정식을 적용하고 반복계산을 통해 수렴해를 찾는다.
본 절에서는 비선형 MLS 차분 알고리즘을 이용하여 1차원 비탄성 봉의 인장문제를 해석하였다. 해석에 사용한 물성치는 E =1×10⁶psi, σ_y =1×10⁴psi, H =5×10³psi(경화계수), K =5×10⁴psi(소성계수)이다.
본 절에서는 앞 절에서 다루었던 1차원 비탄성 봉의 인장문제를 Fig. 5과 Fig. 6에서 보듯이 2차원 모델로 모형화하여 해석하였다. 해석에 사용한 물성치는 1차원 봉문제와 동일하고, 153(=17×9)개의 절점과 2차 다항식을 사용했다.

대상 데이터

해석에 사용한 물성치는 1차원 봉문제와 동일하고, 153(=17×9)개의 절점과 2차 다항식을 사용했다.
해석에 사용한 물성치는 E =1×106psi, σy =1×104psi, H =5×103psi(경화계수), K =5×104psi(소성계수)이다.

이론/모형

본 연구는 절점만 사용하는 MLS 차분법의 유연성을 활용하여 약정식화의 도입없이 1차 미분근사를 반복하는 겹미분근사를 고안하여 강정식화 기반의 계방정식을 유도하고, Newton 방법에 근거하여 반복계산이 가능한 비선형 알고리즘을 제시했다. 또한, 응력값의 계산과 역학적 변수들의 갱신은 return mapping 알고리즘을 이용하였고, 알고리즘 접선계수를 적용하여 반복계산의 안정성과 효율성을 높였다.
,, 2007; 2012; 2014). 본 절에서는 다중지수 표기법(multi-index notation)을 사용하여 미분 근사식을 간단히 소개한다. x= (x₁,⋯,x_n )는 n차원 좌표를 갖는 벡터이고, x의 α-차 지수와 편미분은 각각 x^α= x₁^α1 x₂^α2⋯ x_n^αn와 #로 표현된다.

성능/효과

개발된 비선형 알고리즘의 정확성과 안정성을 확인하기 위해 1차원 비탄성 봉의 인장문제를 해석하여 선형강화 재료에 대한 정확한 응답을 얻을 수 있음을 보였다. 2차원 보의 인장 문제에서도 재료의 비선형성을 정확히 반영하는 변위, 변형률, 응력을 얻었고, 1차원 문제의 해석결과와도 잘 일치하는 것을 확인했다. 수렴해를 찾기 위한 반복계산은 1차원 문제에서 5회 미만, 2차원 문제에서는 10회 미만으로 나타나 겹미분근사를 활용한 비선형 알고리즘이 알고리즘 접선계수와 함께 잘 작동하는 것을 보였다.
7에는 2차원 모델로 해석한 보의 변위와 반력의 관계를 1차원 모델 해석결과와 함께 도시했다. 2차원 해석 결과로 얻은 탄성구간과 변형률경화 구간의 응답이 1차원 경우의 응답과 정확하게 일치하는 것을 확인할 수 있다. Fig.
겹미분근사의 수학적 검증을 위해 재생성 시험을 수행하고 1차 겹미분근사가 기존의 2차 미분근사와 비교하여 동등 하거나 더 나은 정확성을 갖는 것을 확인했다. 개발된 비선형 알고리즘의 정확성과 안정성을 확인하기 위해 1차원 비탄성 봉의 인장문제를 해석하여 선형강화 재료에 대한 정확한 응답을 얻을 수 있음을 보였다. 2차원 보의 인장 문제에서도 재료의 비선형성을 정확히 반영하는 변위, 변형률, 응력을 얻었고, 1차원 문제의 해석결과와도 잘 일치하는 것을 확인했다.
결과적으로 1차 겹미분근사를 이용하여 탄소성 접선계수를 외재적으로 끌어내고 재료비선형성을 갖는 2차 미분방정식을 강정식화 하였다. 반복계산의 정확성과 안정성이 확보되면 고차미분 계산에 대한 부담이 없기 때문에 재료비선형 문제의 효율적 해석이 가능하며 다차원 문제에도 그대로 확장 가능하다.
결과적으로 2차 미분근사를 사용하는 기존의 강정식화에 비해 겹미분근사를 사용한 새로운 강정식화는 지배방정식의 이산화 과정을 복잡하게 만들지도 않고, 계산량을 증가 시키지도 않는다. 1차원 문제의 정식화 과정에서 Γ_t와 Γ_u에 대한 경계조건은 기존과 동일한 방법으로 이산화되므로 다음 절에서 설명하는 반복계산 절차 외에 재료비선형성 고려로 인한 추가적인 계산은 발생하지 않는다.
겹미분근사의 수학적 검증을 위해 재생성 시험을 수행하고 1차 겹미분근사가 기존의 2차 미분근사와 비교하여 동등 하거나 더 나은 정확성을 갖는 것을 확인했다. 개발된 비선형 알고리즘의 정확성과 안정성을 확인하기 위해 1차원 비탄성 봉의 인장문제를 해석하여 선형강화 재료에 대한 정확한 응답을 얻을 수 있음을 보였다.
이것은 1차 겹미분근사가 2차 미분근사와 동등하거나 조금 더 나은 성능을 보인다는 것을 의미한다. 따라서 1차 겹미분근사를 재료비선형 문제의 해석을 위한 강정식화에 적용하는 정당성을 확인할 수 있다.
그 다음 비선형 재료에 대한 구성방정식을 적용하고 반복계산을 통해 수렴해를 찾는다. 따라서 요소망 없이 전 해석과정을 진행하는 무요소법 본래의 모델링 장점이 극대화되고 수치적분이 없어 계산 효율성이 우수하다.
모든 단계에서 오차의 절대값은 1.0×10-10이하의 크기로 나타났으며, 재료가 소성영역에 들어가는 200단계 이후에도 상당히 안정적인 오차 거동을 보이는 것으로 보아 비선형 MLS 차분법이 효과적으로 작동하는 것을 알 수 있다.
2차원 보의 인장 문제에서도 재료의 비선형성을 정확히 반영하는 변위, 변형률, 응력을 얻었고, 1차원 문제의 해석결과와도 잘 일치하는 것을 확인했다. 수렴해를 찾기 위한 반복계산은 1차원 문제에서 5회 미만, 2차원 문제에서는 10회 미만으로 나타나 겹미분근사를 활용한 비선형 알고리즘이 알고리즘 접선계수와 함께 잘 작동하는 것을 보였다. 결과적으로 개발된 비선형 MLS 차분법이 재료비선형 문제를 정확하게 해석할 수 있음을 확인하였으며, 향후 재료비선형과 기하비선형을 모두 고려한 대변형 문제의 해석까지 확장될 것으로 기대된다.
2차원 보 문제의 경우 소성영역에서 반복계산의 횟수는 5~6회 정도로 나타났다. 알고리즘 접선계수를 사용하여 계산 효율성을 확보하였고, 탄성에서 소성으로 넘어갈 때에도 갑작스런 반복계산 횟수의 증가없이 안정적인 수렴성을 보였다. 모든 해석단계에서 반복계산이 10회를 넘지 않았는데 이것은 1차 겹미분근사가 재료비선형 문제의 강정식화가 필요로 하는 미분계산의 정확도를 제공하는 것을 의미한다.
해석결과, 재료의 항복이후 소성영역에서 반복계산의 횟수는 모두 5회 미만으로 나타나 비선형 MLS 차분 알고리즘의 수렴성이 우수함을 확인하였다. 반복계산을 통해 수렴해를 찾는 해석 알고리즘의 안정성을 추가적으로 조사하기 위해 매 해석단계에서 계산된 변위값에 대한 L² 상대오차를 해석 단계별로 Fig.

후속연구

수렴해를 찾기 위한 반복계산은 1차원 문제에서 5회 미만, 2차원 문제에서는 10회 미만으로 나타나 겹미분근사를 활용한 비선형 알고리즘이 알고리즘 접선계수와 함께 잘 작동하는 것을 보였다. 결과적으로 개발된 비선형 MLS 차분법이 재료비선형 문제를 정확하게 해석할 수 있음을 확인하였으며, 향후 재료비선형과 기하비선형을 모두 고려한 대변형 문제의 해석까지 확장될 것으로 기대된다.
본 연구의 주요 관심사는 이와 같은 미분근사 방법이 제대로 작동할 것인지의 여부와 함께 강정식화에 기반한 비선형 알고리즘이 제대로 작동하는지의 여부이다. 또한, Newton 방법 적용을 위한 잔차식의 구성, 기존 재료모델의 적용, 응력 갱신(update) 알고리즘도 함께 고려되어야 할 것이다. 재료비 선형성과 기하비선형성을 함께 고려하는 대변형 문제의 경우 유한요소법은 과도한 변형으로 인해 요소망이 심하게 찌그러지면 참조(reference) 좌표계로의 매핑(mapping)이 어려워지고 수치적분을 위한 적분점 배치가 곤란해지는 반면, 절점 계산만 수행하는 MLS 차분법은 이런 어려움이 없다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	MLS 차분법은 어떤 분야에 적용되어 왔는가?	MLS(moving least squares) 차분법은 강정식화(strong formulation) 기반의 무요소법(meshfree method)으로서 요소망이나 그리드의 구성없이 Taylor 전개에 근거한 이동 최소제곱법을 사용한다. MLS 차분법은 최근까지 탄성균열 문제(Yoon et al., 2007), 복합재료 문제(Yoon and Lee, 2009), 동적해석 문제(Yoon et al., 2012), 동적균열전파 문제(Yoon et al., 2014) 등 다양한 분야에 적용되어 왔다. MLS 차분법의 근사함수는 요소를 사용하지 않기 때문에 요소의 경계를 따라 적합조건의 제약이 있는 유한요소법보다 편리하고, 재생성(reproducing property) 또는 일관성(consistency)이 근사함수의 구성과정에서 자동으로 만족되기 때문에 수학적 정당성도 자연스럽게 확보된다(Yoon and Song, 2014a; 2014b).
	MLS(moving least squares) 차분법은 무엇을 사용하는가?	MLS(moving least squares) 차분법은 강정식화(strong formulation) 기반의 무요소법(meshfree method)으로서 요소망이나 그리드의 구성없이 Taylor 전개에 근거한 이동 최소제곱법을 사용한다. MLS 차분법은 최근까지 탄성균열 문제(Yoon et al.
	MLS 차분법이 계산 효율성이 높은 이유는 무엇인가?	MLS 차분법의 근사함수는 요소를 사용하지 않기 때문에 요소의 경계를 따라 적합조건의 제약이 있는 유한요소법보다 편리하고, 재생성(reproducing property) 또는 일관성(consistency)이 근사함수의 구성과정에서 자동으로 만족되기 때문에 수학적 정당성도 자연스럽게 확보된다(Yoon and Song, 2014a; 2014b). 강정식화를 통해 약형식(weak form) 또는 변분식에 대한 적분이 필요없기 때문에 계산 효율성도 높다. 한편, 약정식화(weak formulation)를 기반으로 무요소 근사함수를 이용하여 재료비선형 문제를 다룬 연구들은 다수 있다(Gu et al.

참고문헌 (12)

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Yoon, Y.C., Song, J.-H. (2014a) Extended Particle Difference Method for Weak and Strong Discontinuity Problems: Part I. Derivation of the Extended Particle Derivative Approximation for the Representation of Weak and Strong Discontinuities, Comput. Mech., 53(6), pp.1087-1103.

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Yoon, Y.C., Song, J.-H. (2014b) Extended Particle Difference Method for Weak and Strong Discontinuity Problems: Part II. Formulations and Applications for Various Interfacial Singularity Problems, Comput. Mech., 53(6). pp.1105-1128.

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

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용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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