[논문]비모수 베이지안 겉보기 무관 회귀모형

조성일; 석인혜; 최태련

doi:10.5351/kjas.2016.29.4.627

비모수 베이지안 겉보기 무관 회귀모형
A nonparametric Bayesian seemingly unrelated regression model 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.29 no.4, 2016년, pp.627 - 641

조성일 (고려대학교 통계학과) , 석인혜 (고려대학교 통계학과) , 최태련 (고려대학교 통계학과)

초록
AI-Helper

본 논문에서는 겉보기 무관 회귀모형을 고려하고 디리크레 프로세스 혼합모형을 오차항의 분포로 하는 비모수 베이지안 방법을 제안한다. 제안된 모형을 바탕으로 사후분포를 유도하고 디리크레 프로세스 혼합모형의 붕괴깁스표집 방법을 통해 마코프 체인 몬테 칼로 알고리듬을 구성하고 사후추론을 실시한다. 모형의 성능을 비교하기 위해 모의실험을 실시하고, 더 나아가 한국지역의 강수량 예측에 대한 실제 자료에 적용해 본다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper, we consider a seemingly unrelated regression (SUR) model and propose a nonparametric Bayesian approach to SUR with a Dirichlet process mixture of normals for modeling an unknown error distribution. Posterior distributions are derived based on the proposed model, and the posterior inference is performed via Markov chain Monte Carlo methods based on the collapsed Gibbs sampler of a Dirichlet process mixture model. We present a simulation study to assess the performance of the model. We also apply the model to precipitation data over South Korea.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

비록, MOS 방법으로 한 많은 연구가 이루어지고 있으나 (Baran와 Lerch, 2015; Jo 등 2012; Kang 등 2011; Lim 등 2012; 등), 각 지역별로 편향수정을 하기 때문에 기상자료가 가지고 있는 지역별 상관관계를 고려하지 않으며, 강수량의 경우 오차의 정규성 가정이 적절하지 않음이 알려져 왔다 (Raftery 등, 2005). 따라서 본 절에서는 비모수적 SUR모형을 이용하여 기존의 MOS방법이 가진 단점을 보완하고, 동시에 오차의 정규성 가정에 영향을 받지 않는 강수량 예측 실증분석을 하고자 하였다.
그러나 이러한 t-분포를 바탕으로 한 SUR 모형 역시 오차항의 분포가 치우침(skewness)이 있거나, 다봉성(multi-modality)을 갖거나, 특정한 분포로 가정하는 것이 어려운 관측값들을 설명하기 위한 SUR 모형이 필요한 경우에는 적용하기 어렵다는 것을 알 수 있다. 따라서, 이러한 오차항 분포에 대하여 보다 영향을 받지 않고, 다양한 분포에서 적용 가능한 새로운 베이지안 SUR 모형의 개발이 필요하며, 이를 위하여 본 논문에서는, 비모수 베이지안(nonparametric Bayesian)에서 대표적으로 사용되는 모형인 디리슈레 프로세스 혼합모형(Dirichlet process mixture model)을 오차항의 분포로 가정한 비모수 베이지안 SUR 모형을 제안하고자 한다.
본 논문에서는 비모수 베이지안에서 주로 사용되는 디리슈레 프로세스 혼합모형을 바탕으로 한 DPMSUR 모형을 제안하였다. DPM-SUR 모형은, 오차항의 분포에 자유로우며, 특정한 모수적 가정에 영향을 받지 않는 강건한 모형으로서, 기존에 연구된 베이지안 SUR 모형에 비해 여러가지 측면에서 우수한 성능을 보임을 확인할 수 있었다.
본 절에서는 본 논문에서 제안한 DPM-SUR 모형을 우리나라의 강수량 자료에 대한 실증적 분석을 통해 DPM-SUR 모형의 우수성을 보이고 기존의 모형들과 성능을 비교 분석 하고자 한다. 강수량의 계절 예측에 있어서 가장 널리 사용되는 방법은, 기후의 실제 관측값과 편미분 방정식으로 구현된 동적모형(dynamic model)으로 부터 얻어지는 예측값과의 통계적 함수관계를 이용하는 Model Output Statistics(MOS) 방법 (Glahn과 Lowry, 1972)으로, 동적모형으로 부터 얻어지는 예측값과 실제 관측값의 선형 회귀모형을 통해 편향수정(bias correction)을 실시하는 방식이다.
본 절에서는 비모수 베이지안 SUR 모형의 기본이 되는 모수적 SUR 모형을 소개한다. 이를 위해 y _j는 j번째 회귀 모형의 반응변수를 포함한 n × 1 벡터라 하고, X_j를 j번째 회귀모형의 설명변수(explanatory variables)에 대응하는 n × p_j 차원의 계획행렬(design matrix)이라 하자.

가설 설정

마지막으로 기저분포의 모수 (µ0 , τ, S0)와 회귀계수 β에 대하여 다음의 사전분포를 가정한다.
먼저 정밀 모수 α는 형태모수(shape parameter) aα와 척도모수(scale parameter) 1/bα를 갖는 감마 분포(gamma distribution)를 할당하고, 기저 분포 G0는 공액 분포인 정규-역 위샤트(normal-inverse Wishart) 분포를 가정한다.
차원의 계수 벡터(vector of coefficients)를 나타낸다. 모형 (2.1)에서 j번째 회귀 모형은 l번째 회귀 모형과 서로 다른 설명변수를 갖지만, 회귀 모형 사이에는 오차항 벡터를 통해 서로 종속관계가 있다고 가정한다. # 이라고 가정하며, I _n는 n차원의 단위행렬을 나타낸다.
자료분석에서는 각 지역별 앙상블들의 평균을 설명변수(x)로 이용하였다. 실제 관측값과 앙상블 평균 간의 선형관계를 설명하기 위해서는 12개 지역 간의 종속적인 관계를 반영하는 것이, 보다 합리적인 분석이라고 할 수 있으며, 이에 다음과 같이, 12개 지역을 설명하는 SUR 모형을 가정하도록 한다.
특히 본 논문에서 제안하는 DPM-SUR 모형이 오차항 분포 가정에 영향을 받지 않는 강건한 모형임을 보이기 위하여, 구체적으로, 정규성이 만족되는 경우, 두꺼운 꼬리를 가지는 경우, 그리고 분포가 다봉성을 띄는 경우의 세 가지로 나누어 모의실험을 진행하였다. 아울러, 모의실험자료 생성을 위한 SUR 모형은 다음과 같이 회귀 방정식 m = 2개로 이루어져 있다고 가정하였고, 모든 실험에서 각각 50번의 반복을 실시하였다.

제안 방법

이 절에서는 본 논문에서 제안한 DPM-SUR 모형에 대한 실증적 분석을 위하여, 모의실험을 통해 기존의 SUR 모형에 대한 적합 방법과의 성능비교를 실시하고, 아울러 실제 자료 분석을 고려하도록 한다. 4.1절에서는 다양한 형태의 오차분포하에서 생성된 SUR 모형의 적합에 대한 성능비교를 수행하였고, 4.2절에서는 우리나라의 강수량 자료에 대하여 실증적으로 분석하였다. 성능 비교 대상의 된 기존의 SUR 모형으로, 2절에서 설명된 다변량 정규분포 오차항을 가정하는 MCMC-SUR, 다변량 스튜던트-t 분포를 가정하는 MCMC-SURT, 그리고 최대우도 추정량(maximum likelihood estimator; MLE)을 이용한 빈도론적(frequentist) 방법(MLE-SUR로 지칭)을 고려하도록 한다.
4.1절의 모의실험과 마찬가지로, 사후표본을 추출하기 위해 15,000번의 소각과정을 거친 후 10,000개의 표본을 생성하였다. 성능비교 측도로는 평균제곱오차(RMSE) 외에 기상학에서 널리 사용되는 linear error in probability space score(LEPS; Deque, 2003; Jo 등, 2012; Potts 등, 1996)을 추가로 사용하였다.
본 절에서는 앞 절에서 설명한 다변량 정규분포 또는 다변량 스튜던트-t 분포의 모수적 오차항 분포를 갖는 SUR 모형을 확장하여, 오차항의 분포에 무관한 비모수적 베이지안 SUR 모형을 제안하도록 한다. 구체적으로 오차항이 특정한 모수적 분포를 따르지 않는 비모수적 분포를 가정하도록 하며, 이러한 비모수적 오차항의 분포가 디리슈레 프로세스 혼합모형(Dirichlet process mixtures)에 의해 설명되는 비모수 베이지안 SUR 모형을 제안하고, 제안된 모형의 사후분포를 계산하는 마코프 체인 몬테 칼로 알고리듬을 설명하고자 한다.
본 논문에서는 기저분포의 평균 µ0가 0이라고 가정하지 않기 때문에 모형의 식별성(identifiability)을만족하기 위해 모형 (3.1)의 계획행렬에 절편(intercept)를 포함하지 않도록 한다.
본 절에서는 앞 절에서 설명한 다변량 정규분포 또는 다변량 스튜던트-t 분포의 모수적 오차항 분포를 갖는 SUR 모형을 확장하여, 오차항의 분포에 무관한 비모수적 베이지안 SUR 모형을 제안하도록 한다. 구체적으로 오차항이 특정한 모수적 분포를 따르지 않는 비모수적 분포를 가정하도록 하며, 이러한 비모수적 오차항의 분포가 디리슈레 프로세스 혼합모형(Dirichlet process mixtures)에 의해 설명되는 비모수 베이지안 SUR 모형을 제안하고, 제안된 모형의 사후분포를 계산하는 마코프 체인 몬테 칼로 알고리듬을 설명하고자 한다.
세 가지 베이지안 모형(DPM-SUR, MCMC-SUR, MCMC-SURT)에서 모수를 추정하기 위하여 각각 15,000번의 소각과정(burn-in)을 거친 후 10,000개의 사후표본(posterior sample)을 생성하였다. Figure 4.
이 절에서는 본 논문에서 제안한 DPM-SUR 모형에 대한 실증적 분석을 위하여, 모의실험을 통해 기존의 SUR 모형에 대한 적합 방법과의 성능비교를 실시하고, 아울러 실제 자료 분석을 고려하도록 한다. 4.
디리슈레 프로세스 혼합모형의 가장 큰 장점 중의 하나는 무한차원(infinite dimension)의 혼합모형이기 때문에, 정규분포(normal distribution) 또는 균등분포(uniform distribution)와 같은 적절한 분포를 바탕으로 한 커널함수(kernel function)의 디리슈레 프로세스 혼합모형을 사용하면, 주어진 확률 분포 함수를 특정한 모수적 가정없이 추정할 수 있다는 것이다 (Ferguson, 1983; Escobar와 West, 1995; Rodr´ıguez와 Walker, 2014). 이와 같은 디리슈레 프로세스 혼합모형을 바탕으로하여 오차항 분포를 모형화 하는 비모수 베이지안 SUR 모형을 제안하도록 한다. 이러한 비모수 베이지안 SUR 모형은 오차항의 분포를 특정한 모수적인 분포(parametric distribution)로 가정하지 않기 때문에, 기존의 모수적 SUR 모형에 비해 오차항의 가정에 있어서 제약을 덜 받기 때문에 더욱 다양한 실제 자료에 적용이 가능 하다.
성능 비교를 위한 모의실험자료를 생성하기 위하여, 여러가지 형태의 오차항 분포를 사용하는 SUR 모형을 고려하였다. 특히 본 논문에서 제안하는 DPM-SUR 모형이 오차항 분포 가정에 영향을 받지 않는 강건한 모형임을 보이기 위하여, 구체적으로, 정규성이 만족되는 경우, 두꺼운 꼬리를 가지는 경우, 그리고 분포가 다봉성을 띄는 경우의 세 가지로 나누어 모의실험을 진행하였다. 아울러, 모의실험자료 생성을 위한 SUR 모형은 다음과 같이 회귀 방정식 m = 2개로 이루어져 있다고 가정하였고, 모든 실험에서 각각 50번의 반복을 실시하였다.
표기상의 편의를 위하여, 본 논문의 나머지 부분에서는 다변량 정규분포를 가정한 SUR 모형에 대한 마코프 체인 몬테 칼로 적합 방식을 MCMC-SUR로 다변량 스튜던트-t 분포를 가정한 SUR 모형에 대한적합 방식은 MCMC-SURT로 표기하도록 한다.

대상 데이터

본 절에서, 강수량 예측을 위한 실증분석에서 사용한 실제 관측자료는 1979년부터 2007년까지 여름철(6, 7, 8월 자료의 평균)의 기간 동안 기상청(Korea Meteorological Administration)에서 측정한 자료로, Figure 4.3에 나타나 있는 바와 같이 총 12개 지역에 대한 자료이다. 동적모형자료는 기상청의 Global Data Assimilation and Prediction System(GDAPS; Park과 Hong, 2007) 모형으로부터 예측된 값으로 총 29개의 앙상블(ensemble)로 이루어져 있다.

데이터처리

모형 간의 성능비교를 위하여, 계수의 참 값과 추정된 값(사후평균 또는 MLE)의 차이를 나타내는 편향성(bias)과 실제 관측값과 적합값의 차이를 나타내는 제곱근 평균 제곱 오차(root mean squared error; RMSE), 그리고 로그 유사 주변가능도(log pseudo marginal likelihood; LPML)를 사용하였다. 로그 유사 주변가능도는 베이지안 모형의 적합도(goodness of fit) 검정 또는 모형 선택을 위하여 주로 사용되는 측도로서 Geisser과 Eddy (1979)에 의해 제안된 conditional predictive ordinate(CPO) 통계량의 로그 합에 의해 정의되며, LPML 값이 클수록 모형의 적합도가 좋은 것을 의미한다.

이론/모형

3.1절에서 정의된 DPM-SUR로부터 사후표본(posterior sample)을 추출하기 위하여 Neal (2000)에 의해 제안된 붕괴깁스표집방법(collapsed Gibbs sampling method)을 이용한다. Neal (2000)의 붕괴깁스표집방법은 공액사전분포가 사용되지 않을 때에도 적용 가능한 알고리듬으로, DPM-SUR 모형에 다음과 같은 방식으로 쉽게 구현될 수 있다.
구체적으로, 식 (2.2)를 바탕으로 모수 β와 Ω의 완전 조건부 분포(full conditional distribution)는 다음과 같이 각각 정규분포와 역-위샤트(Inverse-Wishart; IW) 분포로 계산되며, 깁스 표집(Gibbs sampling)을 사용하는 마코프 체인 몬테 칼로 방법을 통해 베이지안 추론을 실시한다.
디리슈레 프로세스 혼합모형의 정밀도 모수 α는 Escobar와 West (1995)가 제안한 자료확대(data augmentation)방법을 이용하여 두 단계로 추출한다.
2절에서는 우리나라의 강수량 자료에 대하여 실증적으로 분석하였다. 성능 비교 대상의 된 기존의 SUR 모형으로, 2절에서 설명된 다변량 정규분포 오차항을 가정하는 MCMC-SUR, 다변량 스튜던트-t 분포를 가정하는 MCMC-SURT, 그리고 최대우도 추정량(maximum likelihood estimator; MLE)을 이용한 빈도론적(frequentist) 방법(MLE-SUR로 지칭)을 고려하도록 한다.
성능 비교를 위한 모의실험자료를 생성하기 위하여, 여러가지 형태의 오차항 분포를 사용하는 SUR 모형을 고려하였다. 특히 본 논문에서 제안하는 DPM-SUR 모형이 오차항 분포 가정에 영향을 받지 않는 강건한 모형임을 보이기 위하여, 구체적으로, 정규성이 만족되는 경우, 두꺼운 꼬리를 가지는 경우, 그리고 분포가 다봉성을 띄는 경우의 세 가지로 나누어 모의실험을 진행하였다.
1절의 모의실험과 마찬가지로, 사후표본을 추출하기 위해 15,000번의 소각과정을 거친 후 10,000개의 표본을 생성하였다. 성능비교 측도로는 평균제곱오차(RMSE) 외에 기상학에서 널리 사용되는 linear error in probability space score(LEPS; Deque, 2003; Jo 등, 2012; Potts 등, 1996)을 추가로 사용하였다. LEPS는 확률공간에서 오차를 측정하는 측도로서 아래와 같이 계산된다.
5는 DPM-SUR모형으로 부터 추정된 상관행렬을 나타낸다. 특별한 오차항의 공분산 행렬에 대한 가정없이, DPM-SUR 모형을 적용하였으며, 이를 통하여 상관계수 행렬을 추정할 수 있었다. 이 경우 추정된 상관계수의 범위는 약 −0.

성능/효과

DPM-SUR 모형은, 오차항의 분포에 자유로우며, 특정한 모수적 가정에 영향을 받지 않는 강건한 모형으로서, 기존에 연구된 베이지안 SUR 모형에 비해 여러가지 측면에서 우수한 성능을 보임을 확인할 수 있었다. DPM-SUR 모형에 대한 사후추론을 위하여, SUR 모형과 디리슈레 프로세스 혼합 모형의 사후 추론 기법을 결합한 마코프 체인 몬테 칼로 알고리듬을 제시하였고, 모의실험 뿐 만 아니라, 강수량 예측을 위한 실제 자료 에 대한 실증적 성능비교를 통하여 제안된 DPM-SUR 모형의 우수성을 입증하였다.
본 논문에서는 비모수 베이지안에서 주로 사용되는 디리슈레 프로세스 혼합모형을 바탕으로 한 DPMSUR 모형을 제안하였다. DPM-SUR 모형은, 오차항의 분포에 자유로우며, 특정한 모수적 가정에 영향을 받지 않는 강건한 모형으로서, 기존에 연구된 베이지안 SUR 모형에 비해 여러가지 측면에서 우수한 성능을 보임을 확인할 수 있었다. DPM-SUR 모형에 대한 사후추론을 위하여, SUR 모형과 디리슈레 프로세스 혼합 모형의 사후 추론 기법을 결합한 마코프 체인 몬테 칼로 알고리듬을 제시하였고, 모의실험 뿐 만 아니라, 강수량 예측을 위한 실제 자료 에 대한 실증적 성능비교를 통하여 제안된 DPM-SUR 모형의 우수성을 입증하였다.
Table 4.2는 각각의 베이지안 SUR 모형(DPM-SUR, MCMC-SUR, MCMC-SURT)과 MLE-SUR을 적용한 결과를 나타내며, 평균제곱오차 RMSE와 LEPS의 관점에서 본 논문에서 제안하는 DPM-SUR이 자료를 가장 잘 적합하는 것으로 나타났다. 또한 Figure 4.
006)와는 거의 독립으로 나타났다. 즉, 울산은 1979년 부터 2007년까지 여름철 강수량의 패턴이 여수, 포항, 광주와는 유사하지만, 추풍령, 대구, 부산과는 다소 상이한 양태를 나타냄을 알 수 있었다.
1에서 진한 글씨로 표기된 값들은, 각각의 모의실험에서 얻어진 측도값들 중 가장 우수한 값들을 나타내며, 이를 통해 알 수 있듯이, 대부분의 경우 계수에 대한 편향성이 DPM-SUR 모형이 가장 작은 값을 나타내고 있고, 평균제곱오차의 관점에서는 상자그림에도 나타나듯이 DPM-SUR이 모든 경우에 가장 작은 값을 나타내고 있다. 특히, 오차항의 분포가 정규혼합분포인 경우, 특정한 분포를 가정하는 다른 세 가지 모형과 본 논문에서 제안하는 DPM-SUR 모형 간의 차이는 두드러지는 것으로 나타났으며, 이를 통해 DPM-SUR 모형이 기존의 모형에 비해 오차항의 분포에 대해 더 강건하며, 아울러 LPML 값들을 통해서 살펴볼 수 있는 모형 선택의 관점에서도 가장 우수한 성능을 보임을 알 수 있었다.

후속연구

본 논문에서 고려한 DPM-SUR 모형은 설명변수와 반응변수간에 선형적인 관계만을 고려하였으나, 실제 응용 연구와 자료분석에서는, 선형적인 관계 외에 비선형적인 관계를 가지는 변수에 대한 모형화, 임의효과를 반영하는 복잡한 구조의 자료들에 대한 모형화, 그리고 차원 증가에 따른 변수 선택 문제 등이 활발히 연구되고 있다 (Koop 등, 2005; Lang 등, 2003; Wang, 2010; 등). 따라서, 본 논문의 연구결과를 바탕으로 한 향후 과제로써, 선형과 비선형 관계의 설명변수를 모두 포함하는 고차원 부분선형 겉보기 회귀모형(partially linear seemingly unrelated regression)과 임의효과(random effects)를 반영하는 SUR 모형에 대한 연구를 진행 중에 있으며, 기상자료 분석에 있어서 고려해야 할 특성 중의 하나인 공간정보(spatial information)를 반영하는 SUR 모형으로 확장하고, 이 경우 디리슈레 혼합모형을 활용하는 연구 역시 진행 중에 있다. 또한 이상치(outlier)에 강건(robust)한 비대칭 라플라스 분포(asymmetric Laplace distribution)를 오차분포로 활용하는 겉보기 무관 분위수 회귀모형(seemingly unrelated quantile regression)에 관한 연구를 진행할 예정이다.
따라서, 본 논문의 연구결과를 바탕으로 한 향후 과제로써, 선형과 비선형 관계의 설명변수를 모두 포함하는 고차원 부분선형 겉보기 회귀모형(partially linear seemingly unrelated regression)과 임의효과(random effects)를 반영하는 SUR 모형에 대한 연구를 진행 중에 있으며, 기상자료 분석에 있어서 고려해야 할 특성 중의 하나인 공간정보(spatial information)를 반영하는 SUR 모형으로 확장하고, 이 경우 디리슈레 혼합모형을 활용하는 연구 역시 진행 중에 있다. 또한 이상치(outlier)에 강건(robust)한 비대칭 라플라스 분포(asymmetric Laplace distribution)를 오차분포로 활용하는 겉보기 무관 분위수 회귀모형(seemingly unrelated quantile regression)에 관한 연구를 진행할 예정이다.
본 논문에서 제안한 DPM-SUR 모형은 더욱 확대되어, 실제 자료분석에 활용되고, 다양한 방식의 SUR모형으로 확대될 예정이다. 본 논문에서 고려한 DPM-SUR 모형은 설명변수와 반응변수간에 선형적인 관계만을 고려하였으나, 실제 응용 연구와 자료분석에서는, 선형적인 관계 외에 비선형적인 관계를 가지는 변수에 대한 모형화, 임의효과를 반영하는 복잡한 구조의 자료들에 대한 모형화, 그리고 차원 증가에 따른 변수 선택 문제 등이 활발히 연구되고 있다 (Koop 등, 2005; Lang 등, 2003; Wang, 2010; 등).

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	겉보기 무관 회귀모형은 어디에 활용되는가?	겉보기 무관 회귀(seemingly unrelated regression; SUR)모형은 서로 관련이 없는 것처럼 보이는 여러 개의 연립 방정식으로 표현되는 다중 회귀 방정식들을 동시에 적합하는 모형으로서, 통계학 뿐 아니라 계량 경제학, 금융, 심리학, 사회과학 등의 다양한 분야에서 활용되며, 많은 연구가 이루어져 왔다 (Aliprantis 등 2007; Ando와 Zellner, 2010; Wang, 2010; Zellner와 Chen, 2002; 등). Zellner (1962, 1963)에 의해 처음 제안된 겉보기 무관 회귀 모형은 주어진 여러 개의 회귀식들의 설명변수간에는 상관관계는 적고 오차(error)항들 간에는 상관관계가 높을 때, 이러한 종속적 구조를 공분산 행렬(covariance matrix) 반영함으로써, 오차항들간에 독립성을 가정하는 선형 회귀 모형에서의 추정 방법보다 효율적인 방법으로 알려져 있다.
	지금까지 사용해온 SUR 모형의 한계는 무엇인가?	대표적인 SUR 모형의 장점은 여러 개의 다중 회귀 방정식의 계수들을 동시에 추정하기 때문에 주어진 다중 회귀 모형의 구조를 동시에 파악할 수 있다는 것이다. 하지만, 지금까지 사용해온 모형은 오차항의 분포를 다변량 정규분포(multivariate normal distribution)로 가정하기 때문에, 이상치(outlier)가존재하는 경우나, 정규분포를 따르지 않는 관측값에 대한 분석 등에 있어서는 이를 적용하는데 한계가 있어왔다 (Kowalski 등, 1999; Ng, 2002; Zellner와 Ando, 2010b). 이러한 단점들을 해결하기 위하여 Kowalski 등 (1999)과 Ng (2002)는 오차의 분포를 다변량 스튜던트-t 분포(multivariate student-tdistribution)로 가정한 SUR 모형을 개발하였고, 최근, Zellner와 Ando (2010b)는 스튜던트-t 오차 분포에 대해 디렉트 몬테 칼로 방법을 이용한 SUR 모형을 개발하였다.
	겉보기 무관 회귀 모형은 어떤 모형인가?	겉보기 무관 회귀(seemingly unrelated regression; SUR)모형은 서로 관련이 없는 것처럼 보이는 여러 개의 연립 방정식으로 표현되는 다중 회귀 방정식들을 동시에 적합하는 모형으로서, 통계학 뿐 아니라 계량 경제학, 금융, 심리학, 사회과학 등의 다양한 분야에서 활용되며, 많은 연구가 이루어져 왔다 (Aliprantis 등 2007; Ando와 Zellner, 2010; Wang, 2010; Zellner와 Chen, 2002; 등). Zellner (1962, 1963)에 의해 처음 제안된 겉보기 무관 회귀 모형은 주어진 여러 개의 회귀식들의 설명변수간에는 상관관계는 적고 오차(error)항들 간에는 상관관계가 높을 때, 이러한 종속적 구조를 공분산 행렬(covariance matrix) 반영함으로써, 오차항들간에 독립성을 가정하는 선형 회귀 모형에서의 추정 방법보다 효율적인 방법으로 알려져 있다.

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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