본 연구에서는 비국지 탄성이론과 미분변환법을 이용하여 탄성매질속 다중 크랙을 가진 비균질 나노빔의 지배방정식을 유도하고, 유도된 지배방정식과 경계조건에 미분변환법을 적용하여 나노빔의 축방향의 진동해석을 하며, 나노빔의 첫단과 끝단의 경계조건이 각각 고정단(Clamped end)과 자유단(Free end)의 경우에 대하여 수치해석을 수행하였다. 수치해석 결과를 기존 연구결과와 비교하여 타당성을 입증한 후, 비국지 작은 척도효과 (Nonlocal small scale effect), 탄성매질의 강성, 크랙의 위치, 크랙의 강성 그리고 비국지 탄성이론의 나노빔에 대한 진동해석 결과를 고찰하였다.
본 연구에서는 비국지 탄성이론과 미분변환법을 이용하여 탄성매질속 다중 크랙을 가진 비균질 나노빔의 지배방정식을 유도하고, 유도된 지배방정식과 경계조건에 미분변환법을 적용하여 나노빔의 축방향의 진동해석을 하며, 나노빔의 첫단과 끝단의 경계조건이 각각 고정단(Clamped end)과 자유단(Free end)의 경우에 대하여 수치해석을 수행하였다. 수치해석 결과를 기존 연구결과와 비교하여 타당성을 입증한 후, 비국지 작은 척도효과 (Nonlocal small scale effect), 탄성매질의 강성, 크랙의 위치, 크랙의 강성 그리고 비국지 탄성이론의 나노빔에 대한 진동해석 결과를 고찰하였다.
In this study, the governing equations of motion for multi-cracked nonuniform nanobeam based on nonlocal elasticity theory and embedded in an elastic medium were derived. DTM(differential transformation method) was applied to vibration analysis of multi-cracked nonuniform nanobeam based on nonlocal ...
In this study, the governing equations of motion for multi-cracked nonuniform nanobeam based on nonlocal elasticity theory and embedded in an elastic medium were derived. DTM(differential transformation method) was applied to vibration analysis of multi-cracked nonuniform nanobeam based on nonlocal elasticity theory and embedded in an elastic medium. The non-dimensional natural frequencies of this nanobeam were obtained for eoe, crack stiffness and elastic medium stiffness with various boundary conditions. The results obtained by this method was compared with previous works and showed the close agreement between two methods. The important conclusions obtained by this study are as follows : 1. As the length of nanobeam is shorter, the effect of scale coefficient is greater. 2. The locations of crack change non-dimensional natural frequency, In the case of fixed-fixed ends, the non-dimensional natural frequency is the biggest in the first crack location of 0.6L of nanobeam length, and the smallest in both ends. In the case of fixed-free ends, the closer the location of first crack go tho the free end, the bigger the non-dimensional natural frequency. 3. As the stiffness of crack is greater, the non-dimensional natural frequency is smaller, And the effect of crack stiffness is similar on both fixed-free ends and fixed-fixed ends. 4. The bigger the stiffness of elastic medium, the greater the non - dimensional natural frequency.
In this study, the governing equations of motion for multi-cracked nonuniform nanobeam based on nonlocal elasticity theory and embedded in an elastic medium were derived. DTM(differential transformation method) was applied to vibration analysis of multi-cracked nonuniform nanobeam based on nonlocal elasticity theory and embedded in an elastic medium. The non-dimensional natural frequencies of this nanobeam were obtained for eoe, crack stiffness and elastic medium stiffness with various boundary conditions. The results obtained by this method was compared with previous works and showed the close agreement between two methods. The important conclusions obtained by this study are as follows : 1. As the length of nanobeam is shorter, the effect of scale coefficient is greater. 2. The locations of crack change non-dimensional natural frequency, In the case of fixed-fixed ends, the non-dimensional natural frequency is the biggest in the first crack location of 0.6L of nanobeam length, and the smallest in both ends. In the case of fixed-free ends, the closer the location of first crack go tho the free end, the bigger the non-dimensional natural frequency. 3. As the stiffness of crack is greater, the non-dimensional natural frequency is smaller, And the effect of crack stiffness is similar on both fixed-free ends and fixed-fixed ends. 4. The bigger the stiffness of elastic medium, the greater the non - dimensional natural frequency.
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문제 정의
본 연구에서는 비국지 탄성이론이 적용된 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔의 지배방정식을 유도하였다. 유도된 지배방정식에 미분변환법을 적용하여, 양단이 고정단-고정단, 고정단-자유단인 경우에 대해 수치해석을 수행하였다.
본 연구는 비국지 탄성이론과 미분변환법을 이용하여 탄성매질속 다중 크랙을 가진 비균질 나노빔의 지배방정식을 유도하고, 유도된 지배방정식과 경계조건에 미분변환법을 적용하여 축 방향의 진동해석을 하며, 나노빔의 첫단과 끝단의 경계조건이 각각 고정단(Clamped end)과 자유단(Free end)의 경우에 대하여 수치해석들을 수행하였다. 이 연구에서는 비국지 작은 척도효과 (nonlocal small scale effect), 탄성매질의 강성, 크랙의 위치, 크랙의 강성 그리고 비국지 탄성이론의 모델에 대한 진동해석 결과를 고찰하고자 한다.
가설 설정
본 연구에서는 Fig. 1과 같이 탄성매질속 비균일 나노빔이 위치A와 B에 크랙을 가진 것으로 가정하였다. 크랙을 가진 나노빔은 크랙을 경계로 나노빔을 나누고, 그 사이에는 질량이 없는 탄성스프링을 연결된 것으로 간주하여 해석한다.
재질의 강도를 높이기 위해 나노빔을 탄성매질에 박으면 탄성매질은 나노빔의 기계적 거동에 큰 영향을 미친다. 본 연구에서는 나노빔의 외부에 탄성매질이 박혀있는 경우를 고찰하고자 탄성매질에 의한 축 방향 힘은 다음과 같이 가정한다.
축 방향 진동수를 구하기 위해 세 부분의 지배방정식의 해를 조화운동이라고 가정한다.
제안 방법
나노빔의 크랙에 관한 연구는 Hsu et al.(2011)이 크랙을 가진 균일한 나노빔을 비국지 탄성이론을 이용한 축 방향 진동해석을 하였다. 하지만 이 연구는 크랙이 한 개만 발생했을 경우의 연구이다.
본 연구는 비국지 탄성이론과 미분변환법을 이용하여 탄성매질속 다중 크랙을 가진 비균질 나노빔의 지배방정식을 유도하고, 유도된 지배방정식과 경계조건에 미분변환법을 적용하여 축 방향의 진동해석을 하며, 나노빔의 첫단과 끝단의 경계조건이 각각 고정단(Clamped end)과 자유단(Free end)의 경우에 대하여 수치해석들을 수행하였다. 이 연구에서는 비국지 작은 척도효과 (nonlocal small scale effect), 탄성매질의 강성, 크랙의 위치, 크랙의 강성 그리고 비국지 탄성이론의 모델에 대한 진동해석 결과를 고찰하고자 한다.
본 연구에서 탄성매질속의 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔의 진동해석을 하기위하여 미분변환법이 적용된 무차원 지배방정식 식 (30)과 경계조건 식 (31), 식 (32) 그리고 연속 방정식 식 (33), 식 (34)를 다음과 같은 행렬 방정식으로 구성한다.
본 연구에서는 비국지 탄성이론이 적용된 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔의 지배방정식을 유도하였다. 유도된 지배방정식에 미분변환법을 적용하여, 양단이 고정단-고정단, 고정단-자유단인 경우에 대해 수치해석을 수행하였다. 본 연구의 수치해석 결과를 기존 연구결과와 비교하여 타당성을 입증한 후, 다양한 수치해석을 한 결과, 아래와 같은 결론을 얻었다.
수치해석 결과는 본 연구의 미분변환법(DTM)과 기존 연구의 결과가 소수 4자리까지 일치함을 나타낸다. 이를 근거로 본 연구의 수치해석이 타당하기에 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔의 수치해석을 수행하였다.
1과 같이 탄성매질속 비균일 나노빔이 위치A와 B에 크랙을 가진 것으로 가정하였다. 크랙을 가진 나노빔은 크랙을 경계로 나노빔을 나누고, 그 사이에는 질량이 없는 탄성스프링을 연결된 것으로 간주하여 해석한다. 따라서 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔의 지배 방정식을 유도하면 식 (15)와 같이 표현된다.
탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔의 축 방향 진동해석을 위하여 양단의 경계조건을 고정단-고정단과 고정단-자유단 두 가지의 경우에 대해 수치해석을 수행하였다. 비균일 경우 η(x) =-0.
이론/모형
여기서 L은 보의 전체 길이이며, A와 B는 크랙이 발생한 위치이다. Fig. 1에 나타낸 나노빔의 지배 방정식을 유도하기 위해 비국지 탄성이론을 적용한다.
성능/효과
1) 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔에서 척도 계수의 영향은 나노빔의 길이가 짧을수록 크다,
2) 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔에서 크랙의 발생한 위치에 따라 무차원 고유진동수가 변화한다. 무차원 고유진동수는 고정단-고정단의 경우 첫 번째 크랙의 위치가 0.
3) 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔에서 탄성매질의 강성이 커짐에 따라 무차원 고유진동수는 커지며, 탄성매질의 강성에 대한 영향은 고정단-고정단, 고정단자유단모두 비슷한 양상이 나타난다.
수치해석 결과는 본 연구의 미분변환법(DTM)과 기존 연구의 결과가 소수 4자리까지 일치함을 나타낸다. 이를 근거로 본 연구의 수치해석이 타당하기에 탄성매질속 다중 크랙을 포함한 비균일 나노빔의 수치해석을 수행하였다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
비선형적인 문제를 해석하는 데 미분변환법을 사용하는 이유는 무엇인가?
나노빔은 나노스케일에서 단면적이 가변이거나 밀도나 재료 특성이 비선형적인 경우도 존재하는데, 이러한 경우 비선형적인 문제를 해석하여야 할 필요성이 있다. 비선형적인 문제를 해석하는 수치해석 방법 중 하나인 미분변환법 (Differential transformation method)은 수치해석의 수렴도가 빠르며 해의 정확도 또한 높기 때문에 이를 사용한다.
비국지 탄성이론에서 작은 척도효과는 어떻게 얻어지는가?
이를 해결하기 위해 최근에 널리 사용되고 있는 이론 중 하나가 Eringen에 의해 처음 시작된 비국지 탄성이론(nonlocal elasticity theory)이다. 이 탄성이론에서 작은 척도효과(small scale effect)는 어떤점에서의 응력은 그 점에서의 변형률뿐만 아니라 영역내의 다른 모든 지점에서의 변형률의 함수로 가정함으로써 얻어진다. 나노빔의 연구는 Aydogdu(2012)이 탄성매질속 균일한 CNT (carbon nano tube)를 비국지 탄성이론을 이용한 축 방향 진동해석을 하였으며, Kim(2014)이 광결정 나노빔 레이저와 그 응용에 관한 연구를 하였고, Jeong(2014)이 전기로 구동되는 나노빔 레이저에 대한 연구를 하였다.
나노빔이란 무엇인가?
나노빔은 선폭 및 두께가 나노스케일의 크기를 가지는 빔이다. 나노빔은 원자 현미경의 탐침봉으로써 힘이나 질량 측정과 바이오 분자 센서 그리고 무선 통신 분야등 많은 범위에서 사용된다.
참고문헌 (10)
Aydogdu, M. (2012), Axial Vibration Analysis of Nanorods Embedded in an Elastic Medium using Nonlocal Elsticity, Mechanics Research Communications 43, 34-40.
Eringen, A. C. (1983), On Differential Equations of Nonlocal Elasticity and Solutions of Screw Dislocation and Surface Waves, Journal of Applied Physics, 4703-4710.
Hsu, J. C., Lee, H. L., and Chang, W. J. (2011), Longitudinal Vibration of Cracked Nanobeams using Nonlocal Elasticity Theory, Current Applied Physics, 1384-1388.
Jeong, K. Y. (2012), Electrically driven nanobeab lasers, KAIST, TD 530-12-69.
Kim, M. J., and Kang, N. C. (2010), Vibration Analysis of a Rotating Cantilever Beam with Tip Mass using DTM, Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, 1058-1063.
Kim, S. J. (2014), Study on the Photonic Nanobeam Laser and its Applications, KAIST, TD 530-14-297.
Kumar Vikram Singh (2009), Transcendental Inverse Eigenvalue Problems in Damage Parameter Estimation, Mechanical Systems and Signal Processing, 23, 1870-1883.
Malik, M., and Dang, H. H. (1998), Vibration Analysis of Continuous Systems by Differential Transformation, Applied Mathematics and Computation, 96, 17-26.
Shin, Y. J., Hwang, K. S., Yun, J. H., and Yoo, Y. C. (2003), Vibration Analysis of Euler-Bernoulli Beam with Open Cracks on Elastic Foundations using Differential Transformation Method, The autumn scholarship conference of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, 690-695.
Zhou, J. K. (1986), Differential Transformation and its Application for Electrical Circuits, Huazhong University Press, Wuhan China (in Chinese).
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