[논문]정규혼합모형의 오차를 갖는 GARCH 모형을 이용한 옵션가격결정에 대한 실증연구

정승환; 이태욱

doi:10.7465/jkdi.2017.28.2.251

초록
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Black와 Scholes (1973)와 Merton (1973)의 옵션 가격결정이론에 대한 논문이 발표 된 이후 다양한 실증 분석 결과에 의하여 시간의 흐름에 따라 변동성이 불변한다고 가정하는 Black-Scholes 모형이 시장의 옵션 가격을 적절히 설명하지 못하고 있다는 것이 밝혀지면서 많은 대안적인 연구들이 진행되어 왔다. 예를 들어, Duan (1995)은 위험중립측도 하에서의 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 GARCH 모형을 따르는 기초 자산의 옵션가격을 도출하는 방법을 제시하였다. 그러나 실제 주식이나 환율 등의 금융자료에 수익률분포는 정규분포에 비해 꼬리가 두껍고, 급첨의 형태를 보이는 데 Duan (1995)의 옵션가격 결정 방법은 이를 적절히 반영하지 못하고 있다. 이를 해결하기 위해 본 논문에서는 정규혼합모형의 오차를 갖는 GARCH 모형을 이용한 옵션가격 결정 방법을 제안하고자 한다. KOSPI200 옵션가격 자료를 이용하여 본 논문에서 제시된 옵션가격과 정규분포를 가정한 GARCH 모형에 의해 결정된 옵션가격과 비교한 결과, 금융 자료의 급첨의 성질이 뚜렷한 불안정한 시기인 경우에 오차가 정규혼합모형이라고 가정한 GARCH 모형에 의한 옵션가격 결정의 성과가 월등히 좋아지는 것을 확인할 수 있었다.

Abstract ▼ AI-Helper

The option pricing of Black와 Scholes (1973) and Merton (1973) has been widely reported to fail to reflect the time varying volatility of financial time series in many real applications. For example, Duan (1995) proposed GARCH option pricing method through Monte Carlo simulation. However, financial t...

The option pricing of Black와 Scholes (1973) and Merton (1973) has been widely reported to fail to reflect the time varying volatility of financial time series in many real applications. For example, Duan (1995) proposed GARCH option pricing method through Monte Carlo simulation. However, financial time series is known to follow a fat-tailed and leptokurtic probability distribution, which is not explained by Duan (1995). In this paper, in order to overcome such defects, we proposed the option pricing method based on GARCH models with normal mixture errors. According to the analysis of KOSPI200 option price data, the option pricing based on GARCH models with normal mixture errors outperformed the option pricing based on GARCH models with normal errors in the unstable period with high volatility.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 옵션가격결정을 위해 오차항 η_t의 분포로서 정규혼합모형을 고려하고자 한다. 정규혼합모형은 일반적으로 가장 많이 사용하는 혼합모형으로서 두 개 이상의 정규분포를 결합한 모형이다.
이를 반영하기 위해 Generallzed hyperbolic 분포, Normal Inverse Gaussian 분포 등이 제안되기도 하였다. 본 논문에서는 정규혼합모형의 오차를 갖는 GARCH 모형을 이용한 옵션가격 결정 방법을 제안하고자 한다. 다음으로 KOSPI200 옵션가격 자료를 이용하여 본 논문에서 제시된 옵션가격과 정규분포를 가정한 GARCH 모형에 의해 결정된 옵션가격과 비교하여 분석하였다.

제안 방법

본 논문에서 우리는 실제 주식시장에서의 수익률 분포가 정규분포를 따르지 않는 다는 점을 알고, 일반적인 GARCH 모형으로 옵션가격을 근사하는 방법과는 다르게 정규분포보다 꼬리가 두꺼운 정규혼합모형으로 오차를 가정하여 옵션가격을 근사하였으며 이를 비교 분석하였다. KOSPI200 자료를 이용한 실증 분석 결과, 변동성이 큰 불안정 시장에서 오차가 정규 혼합 모형이라고 가정한 GARCH 모형이 Duan (1995)이 제시한 일반적인 GARCH 모형에 비해 옵션가격 결정의 성과가 좋아지는 것을 확인할 수 있었다.
금융시계열 자료의 오차는 비정규성을 나타내는 데, 특히 급첨 (leptokurtic)의 성질을 보이는 것이 일반적이다. 본 논문에서는 이러한 금융시계열 자료의 급첨의 성질을 효과적으로 분석하기 위해 정규혼합모형을 도입하고자 한다. 정규혼합모형을 정의하기 위해 오차항 η₁, · · · , η_T가 K개의 평균이 0인 서로 다른 정규분포를 갖는 정규혼합모형에서 관측되었다고 하자.

대상 데이터

매 1분 단위로 측정 된 자료를 장 마감시점인 15시에 측정된 자료를 일변단위 자료로 변환하여 사용하였다. 무위험 이자율의 경우에는 CD91금리의 일별 자료를 사용하였다.
본 논문에서는 위험중립확률 분포가 정규분포보다 꼬리가 두꺼운 분포의 경우에 불안정 시장, 반대의 경우를 안정 시장으로 정의하고 그 대표하는 시점을 2008년 10월 17일을 불안정 시장으로, 2009년 11월 18일을 안정 시장으로 정의하였다. 불안정 시장과 안정 시장에 대한 자세한 내용은 Lee와 Song (2016)을 참고하기 바란다.
본 논문의 실증분석에서의 기초자산은 한국거래소 (www.krx.co.kr)에서 제공하는 코스피200 현물지수 자료 중 2004년 01월 02일부터 2011년 12월 29일까지 총 1991개 시점의 자료를 사용하여 분석하였다. 매 1분 단위로 측정 된 자료를 장 마감시점인 15시에 측정된 자료를 일변단위 자료로 변환하여 사용하였다.
여기서 혼합성분의 수가 1인 정규모형의 오차를 갖는 경우의 GARCH(1, 1)은 GARCH − M 모형으로 표현한다. 불안정 시장의 경우에는 2004년 01월 02일부터 2008년 10월 17일까지 1049개의 관측 값이 사용되었으며 안정 시장의 경우에는 2004년 01월 02일부터 2009년 11월 18일까지 1324개의 관측 값이 사용되었다. 불안정 시장과 안정 시장 이전의 자료를 사용한 두 경우 모두 유사한 추정값을 나타내고 있음을 확인할 수 있다.
불안정 시장과 안정 시장에 대한 자세한 내용은 Lee와 Song (2016)을 참고하기 바란다. 옵션가격 데이터는 불안정 시장과 안정 시장을 비교하기 위해서 2008년 10월 17일 콜옵션 자료의 만기는 28, 58, 81, 147일이었고, 2009년 11월 18일 콜옵션 자료의 만기는 23, 58, 78, 144일이었으며, 주말과 공휴일을 제외시킨 값을 사용하였다.

데이터처리

본 논문에서는 정규혼합모형의 오차를 갖는 GARCH 모형을 이용한 옵션가격 결정 방법을 제안하고자 한다. 다음으로 KOSPI200 옵션가격 자료를 이용하여 본 논문에서 제시된 옵션가격과 정규분포를 가정한 GARCH 모형에 의해 결정된 옵션가격과 비교하여 분석하였다. 실증분석 결과 불안정한 시기에서 오차가 정규혼합모형이라고 가정한 GARCH 모형이 일반적인 GARCH 모형에 비해 옵션가격 결정의 성과가 좋아지는 것을 확인 할 수 있었다.

이론/모형

1)에서의 오차인 η_t는 일반적으로 관측이 불가능하기 때문에 EM 알고리즘에 바로 적용될 수 없다. 따라서 실증분석에서는 GARCH(1, 1) 모형을 적합 후 관측 된 잔차를 오차인 η_t를 대신하여 EM 알고리즘에 적용하였는데, 자세한 내용은 5절에 서술하였다.
Bollerslev (1986)는 조건부 변동성을 설명하기 위해 Engle (1982)이 최초로 제안한 ARCH (autoregressive conditional heteroskedasticity) 모형을 일반화하여 GARCH (generalized ARCH)라고 부르는 일반화 조건부 이분산 모형을 제안하였다. 본 논문에서는 널리 이용되는 식 (2.2)와 같은 형태의 GARCH(1, 1) 모형을 고려하였다. GARCH(1, 1) 모형에서는 식 (2.
를 만족해야 한다. 실질적으로 위와 같은 제약식을 만족하는 π_k와 \(σ^2_k\)를 추정하기 위해 함수제약이 있는 EM (expectation and maximization) 알고리즘을 통해 추정하였다. 정규혼합모형에서 제약모수의 추정에 대한 자세한 내용은 Kim과 Seo (2016)를 참고하기 바란다.

성능/효과

GARCH−M 모형과 NM₂−GARCH 모형에 의해 결정되는 옵션가격의 적합도를 보기 위해 AAE, APE 및 RMSE를 고려하였는데, 이 값들이 작을수록 옵션가격이 잘 결정되었음을 의미한다. 구체적으로 AAE는 평균절대오차, APE는 평균절대오차를 옵션가격의 평균 비로 나타낸 것이고, RMSE는 제곱근 평균제곱오차이며 수식은 아래와 같다.
본 논문에서 우리는 실제 주식시장에서의 수익률 분포가 정규분포를 따르지 않는 다는 점을 알고, 일반적인 GARCH 모형으로 옵션가격을 근사하는 방법과는 다르게 정규분포보다 꼬리가 두꺼운 정규혼합모형으로 오차를 가정하여 옵션가격을 근사하였으며 이를 비교 분석하였다. KOSPI200 자료를 이용한 실증 분석 결과, 변동성이 큰 불안정 시장에서 오차가 정규 혼합 모형이라고 가정한 GARCH 모형이 Duan (1995)이 제시한 일반적인 GARCH 모형에 비해 옵션가격 결정의 성과가 좋아지는 것을 확인할 수 있었다. 반면에 변동성이 크지 않은 안정 시장에서는 불안정 시장에서와는 다르게 두 방법의 결과에 많은 차이가 없음을 확인 할 수 있었다.
반면에 본 논문에서 제안하는 방법은 GARCH 모형이 아니라 모형의 오차에 혼합 모형을 제시함으로서 모수 추정의 문제를 해결함과 동시에 실증 분석에서 그 유용성을 충분히 입증하였다. 결론적으로 변동성이 큰 불안정 시장의 경우에 기존의 오차를 정규분포로 사용하는 GARCH 모형보다는 꼬리가 두꺼운 오차를 정규 혼합 모형을 갖는 비교적 간단한 형태의 확장된 모형인 GARCH 모형을 사용하여 옵션가격 결정의 정확성을 높이는 것이 바람직하다고 볼 수 있다.
5에 나타나 있는 변동성이 작은 안정 시장에서의 적합성과를 보면, AAE, APE 및 RMSE 모두 GARCH − M 모형과 NM₂ − GARCH 모형을 비교했을 때 NM₂ − GARCH 모형이 GARCH − M 모형보다 적합성과가 조금 나아졌지만, 변동성이 큰 시장에 비해 큰 차이가 없음을 확인할 수 있다. 결론적으로 변동성이 큰 시장의 경우 자료에 급첨의 성질이 뚜렷이 나타나기 때문에 이를 반영하는 것이 바람직하다고 볼 수 있으므로 정규분포 보다 꼬리가 두꺼운 정규혼합모형을 사용하였을 때 옵션가격의 정확도가 높아져서 예측오차를 줄일 수 있었다고 볼 수 있다.
또한 Rombouts와 Stentoft (2015)는 GARCH 모형에 혼합모형을 제안하여 차수가 커질수록 모수가 급속히 증가하기 때문에 모수 추정에 대한 계산상의 어려움이 발생한다. 반면에 본 논문에서 제안하는 방법은 GARCH 모형이 아니라 모형의 오차에 혼합 모형을 제시함으로서 모수 추정의 문제를 해결함과 동시에 실증 분석에서 그 유용성을 충분히 입증하였다. 결론적으로 변동성이 큰 불안정 시장의 경우에 기존의 오차를 정규분포로 사용하는 GARCH 모형보다는 꼬리가 두꺼운 오차를 정규 혼합 모형을 갖는 비교적 간단한 형태의 확장된 모형인 GARCH 모형을 사용하여 옵션가격 결정의 정확성을 높이는 것이 바람직하다고 볼 수 있다.
다음으로 KOSPI200 옵션가격 자료를 이용하여 본 논문에서 제시된 옵션가격과 정규분포를 가정한 GARCH 모형에 의해 결정된 옵션가격과 비교하여 분석하였다. 실증분석 결과 불안정한 시기에서 오차가 정규혼합모형이라고 가정한 GARCH 모형이 일반적인 GARCH 모형에 비해 옵션가격 결정의 성과가 좋아지는 것을 확인 할 수 있었다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	정규혼합모형이란 무엇인가?	본 논문에서는 옵션가격결정을 위해 오차항 ηt의 분포로서 정규혼합모형을 고려하고자 한다. 정규혼합모형은 일반적으로 가장 많이 사용하는 혼합모형으로서 두 개 이상의 정규분포를 결합한 모형이다. McLachlan과 Peel (2000)은 서로 다른 여러 개의 정규확률 밀도함수로 자료의 분포를 나타낼 수 있는 정규혼합모형을 사용하면 유연성 있게 자료를 분석할 수 있다고 설명하고 있다.
	GARCH 모형을 따르는 기초 자산의 옵션가격을 도출하는 방법의 문제점은 무엇인가?	예를 들어, Duan (1995)은 위험중립측도 하에서의 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 GARCH 모형을 따르는 기초 자산의 옵션가격을 도출하는 방법을 제시하였다. 그러나 실제 주식이나 환율 등의 금융자료에 수익률분포는 정규분포에 비해 꼬리가 두껍고, 급첨의 형태를 보이는 데 Duan (1995)의 옵션가격 결정 방법은 이를 적절히 반영하지 못하고 있다. 이를 해결하기 위해 본 논문에서는 정규혼합모형의 오차를 갖는 GARCH 모형을 이용한 옵션가격 결정 방법을 제안하고자 한다.
	금융시계열 자료의 오차는 일반적으로 어떤 성질을 보이는가?	McLachlan과 Peel (2000)은 서로 다른 여러 개의 정규확률 밀도함수로 자료의 분포를 나타낼 수 있는 정규혼합모형을 사용하면 유연성 있게 자료를 분석할 수 있다고 설명하고 있다. 금융시계열 자료의 오차는 비정규성을 나타내는 데, 특히 급첨 (leptokurtic)의 성질을 보이는 것이 일반적이다. 본 논문에서는 이러한 금융시계열 자료의 급첨의 성질을 효과적으로 분석하기 위해 정규혼합모형을 도입하고자 한다.

참고문헌 (14)

Black, F. and Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81, 637-659

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Bollerslev, T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31, 307-327

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Christoffersen, P., Elkamhi, R., Feunou, B. and Jacobs, K. (2010). Option valuation with conditional heteroskedasticity and non-normality. Review of Financial Studies, 23, 2139-2183.

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Duan, J. C. (1995). The GARCH option pricing model, Mathematical Finance, 5, 13-32.

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Engle, R. (1982). Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of UK Inflation. Econometrica, 50, 987-1008.

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Kim, M. and Seo, B. (2016). Constrained parameter estimation in normal mixtures using extension of the EM algorithm, Master Thesis, Sungkyunkwan University, Seoul.
Ko, K. and Son, Y. (2015). Optimal portfolio and VaR of KOSPI200 using one-factor model. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 26, 323-334.

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Lee, J. and Song, S. (2016). Comparison of methods of approximating option prices with variance gamma processes. The Korean Journal of Applied Statistics, 29, 181-192.

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Lee, T. (2009). Numerical Study on Jarque-Bera normality test for innovations of ARMA-GARCH models. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 20, 453-458.

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Lee, T. and Ha. J. (2007). Testing for domestic financial data for the normality of the innovation based on the GARCH(1,1) model. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 18, 809-815.
Lee, W. and Chun. H. (2016). A deep learning analysis of the Chinese Yuan's volatility in the onshore and offshore markets. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 27, 327-335.

원문보기 상세보기
McLachlan, G. J. and Peel, D. (2000). Finite mixture models, Wiley, New York.
Park, S. and Baek. C. (2014). On multivariate GARCH model selection based on risk management. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 25, 1333-1343.

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Rombouts, J. and Stentoft, L. (2015). Option pricing with asymmetric heteroskedastic normal mixture models. International Journal of Forecasting, 31, 635-650.

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