[논문]확률프런티어 모형하에서 단조증가하는 매끄러운 프런티어 함수 추정

윤단비; 노호석

doi:10.5351/kjas.2017.30.5.665

초록
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생산성 평가를 위해서는 주어진 생산 자료를 기반으로 투입 대비 최대산출량을 나타내는 최대산출량을 나타내는 생산 프런티어 곡선에 대한 정보가 필요한 경우가 많다. 이러한 프런티어 함수를 확률프런티어 모형하에서 추정하는 경우에 초기에는 프런티어 함수의 특정한 모수적 형테를 가정하는 경우가 많았다. 그러나 최근에는 프런티어 함수를 프런티어 함수가 기본적으로 만족해야 하는 단조성이나 오목성등을 만족하도록 하면서 비모수적 방법으로 추정하는 방법들이 많이 이루어졌다. 하지만, 이러한 방법들에서 얻어지는 추정량들은 프런티어 함수를 조각적 선형함수 또는 계단함수로 추정하는 특징 때문에 추정의 효율이 떨어지나가 프런티어 함수가 해석이 용이하지 않은 불연속점을 가지는 문제를 가지게 된다. 본 논문에서는 이러한 문제를 해결하기 위해 확률프런티어 모형에서 단조증가하는 매끄러운 프런티어 함수 추정법을 제시하고 제안된 추정방법이 기존의 추정방법에 비해서 가지는 추정 효율의 장점을 시뮬레이션를 통해 예시하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

When measuring productive efficiency, often it is necessary to have knowledge of the production frontier function that shows the maximum possible output of production units as a function of inputs. Canonical parametric forms of the frontier function were initially considered under the framework of s...

When measuring productive efficiency, often it is necessary to have knowledge of the production frontier function that shows the maximum possible output of production units as a function of inputs. Canonical parametric forms of the frontier function were initially considered under the framework of stochastic frontier model; however, several additional nonparametric methods have been developed over the last decade. Efforts have been recently made to impose shape constraints such as monotonicity and concavity on the non-parametric estimation of the frontier function; however, most existing methods along that direction suffer from unnecessary non-smooth points of the frontier function. In this paper, we propose methods to estimate the smooth frontier function with monotonicity for stochastic frontier models and investigate the effect of imposing a monotonicity constraint into the estimation of the frontier function and the finite dimensional parameters of the model. Simulation studies suggest that imposing the constraint provide better performance to estimate the frontier function, especially when the sample size is small or moderate. However, no apparent gain was observed concerning the estimation of the parameters of the error distribution regardless of sample size.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

확률 프런티어 모형하에서 프런티어 함수를 비모적으로 추정하는 방법은 연구되었지만, 단조성 제약 조건 하에서 추정하는 방법은 많이 연구되어지지 않았다. 본 논문에서는 Keshvari와 Kuosmanen (2013) 방법에서 얻어지는 단조성을 만족시키는 프런티어 함수 추정량이 계단 함수로 주어지는 것 때문에 가지게 되는 단점을 보완하는 새로운 프런티어 함수 추정량을 제안하였다. 제안된 프런티어 함수 추정량은 소표본 시뮬레이션 연구에서 단조성이 고려되지 않은 Fan 등 (1996)의 추정량과 단조성은 만족하지만 계단함수로 주어지는 Keshvari와 Kuosmanen (2013)의 추정량보다 우수한 추정성능을 나타내었다.
다수의 확률 프런티어 분석에서 계산상의 용의성을 위해 v_i는 평균이 0, 분산이 #σ²_v인 정규분포로, u_i는 평균이 0, 분산이 #σ²_u인 halfnormal 분포를 따른다고 가정하고, v_i와 u_i는 서로 독립이라 가정한다. 이 때, 비효율성 본포에 대한 가정은 생산성 분석에서 매우 중요한 문제이나 본 논문에서는 가정의 적절성 문제나 적절한 비효율성 분포의 선택에 대해서는 논의하지 않고 주어진 가정하에서 프런티어 함수 추정 문제에만 초점을 두고 논의를 진행하려 한다. 하지만, 비효율성 u_i 의 분포에 대해 일반적인 truncated normal 분포나 gamma 분포와 같은 다른 분포를 고려하는 경우에도 본 논문에서 제안된 방법은 사용가능하며, 다만 전체오차 ∊_i= v_i- u_i의 확률밀도함수의 특성에 기반하여 프런티어와 함수와 전체오차와 연관된 모수(parameter) 추정이 필요하다.
제안된 추정량들은 SFM하에서 프런티어 함수가 만족해야하는 기본적인 가정을 만족시키는 장점을 가지는 추정량이긴 하지만 추정량이 계단함수(step function)이나 조각적 선형함수(piecewise linear function)로 주어지는 특성 때문에 추정된 프런티어 함수가 해석이 용이하지 않는 불연속점이나 미분불가능한 점을 여러 곳에 가지는 단점을 가지고 있다. 이러한 단점을 극복하고자 본 논문에서는 SFM하에서 프런티어 함수의 기본 가정인 단조성을 만족하면서도 추정된 함수가 매끄러운 곡선으로 주어지게 되는 방법을 개발하고자 했다. 아울러, 제안된 방법이 기존의 SFM하에서 단조성 제약조건을 고려하지 않은 smooth 프런티어 함수 추정방법인 Fan 등 (1996) 방법과 단조성은 만족하지만 계단함수로 주어지는 Keshvari와 Kuosmanen (2013)의 방법과 비교하여 추정성능면에서 어떤 장점이 있는지 비교하는 시뮬레이션을 진행하였다.

가설 설정

다수의 확률 프런티어 분석에서 계산상의 용의성을 위해 vi는 평균이 0, 분산이 #σ2v인 정규분포로, ui는 평균이 0, 분산이 #σ2u인 halfnormal 분포를 따른다고 가정하고, vi와 ui는 서로 독립이라 가정한다.
확률적 프린티어 모형에서는 생산단위에서 관측되는 비효율성이 통제 가능한 조직내 비효율성뿐만 아니라 통제 불가능한 외부 환경 즉 확률오차(random error)에도 기인한다고 가정한다. 하지만 확률 프런티어 분석은 생산량 측정에 오차의 존재를 가정하는 장점을 가지고 있음에 비해 프런티어 함수에 대해 콥-더글라스(Cobb-Douglas), 초월대수(translog)와 같은 특정한 모수적 모형을 가정하고 추정이 진행되는 한계가 존재하였다.

제안 방법

추정량의 모든 계산은 R 프로그램을 이용하여 하였다. 단조성 제약 조건이 없는 프런티어 함수 추정량 계산을 위해서 스플라인 방법, local constant 방법, local linear 방법의 세 가지 방법을 사용하여 조건부 평균함수를 추정하였다. 본 논문에서 제안한 추정량 계산을 위해 동일하게 세 가지 추정방법을 사용하여 조건부 평균함수를 추정하되 2절에서 설명된 단조성을 만족하는 버전을 사용하였다.
본 논문에서 제안된 단조성을 만족하면서 smooth한 프런티어 함수 추정량이 단조성 제약조건을 고려하지 않은 smooth 프런티어 함수 추정량인 Fan 등 (1996)의 추정량과 단조성은 만족하지만 계단함수로 주어지는 Keshvari와 Kuosmanen (2013)의 추정량과 비교하여 추정의 효율면에서 어떤 장점이 있는지 비교하는 시뮬레이션을 진행하였다. 시뮬레이션 모형은 Martins-Filho와 Yao (2015)에서 고려한 모형 중 두개의 모형을 선택하였다.
단조성 제약 조건이 없는 프런티어 함수 추정량 계산을 위해서 스플라인 방법, local constant 방법, local linear 방법의 세 가지 방법을 사용하여 조건부 평균함수를 추정하였다. 본 논문에서 제안한 추정량 계산을 위해 동일하게 세 가지 추정방법을 사용하여 조건부 평균함수를 추정하되 2절에서 설명된 단조성을 만족하는 버전을 사용하였다. 단조성 제약조건이 없는 상황에서 조건부 평균함수 추정을 위해 스플라인 방법을 사용할 때 knot는 0과 1사이의 등 간격의 knot를 사용하되 Hastie와 Tibshirani (1990)에 소개되어 있는 generalized cross validation 방법을 사용하여 internal knot의 개수를 선택하였다.
따라서 추정성능 향상과 해석상의 편의를 위해 확률프런티어 모형 하에서 단조증가성을 만족하는 매끄러운(smooth) 프런티어 함수 추정을 고려하는 것이 필요하다. 본 논문에서는 조건부 평균함수 m(x)를 단조성을 만족하도록 하면서 매끄러운 함수로 추정하는 대표적인 두가지 방법을 이용하여 추정하고 추정된 조건부 평균 함수로부터 Fan 등 (1996)의 pseudo-likelihood 방법을 이용하여 프런티어 함수를 추정함으로써(Figure 3.1의 파선) Keshvari와 Kuosmanen (2013)의 추정량이 가지는 단점을 보완하는 추정량을 제안하였다.
이러한 단점을 극복하고자 본 논문에서는 SFM하에서 프런티어 함수의 기본 가정인 단조성을 만족하면서도 추정된 함수가 매끄러운 곡선으로 주어지게 되는 방법을 개발하고자 했다. 아울러, 제안된 방법이 기존의 SFM하에서 단조성 제약조건을 고려하지 않은 smooth 프런티어 함수 추정방법인 Fan 등 (1996) 방법과 단조성은 만족하지만 계단함수로 주어지는 Keshvari와 Kuosmanen (2013)의 방법과 비교하여 추정성능면에서 어떤 장점이 있는지 비교하는 시뮬레이션을 진행하였다.
에 해당한다. 표본크기(n)는 100, 200, 300을 고려하였고, 각각의 표본크기에서 1,000번을 반복하여 추정량을 계산한 다음 추정량의 성능을 평가하였다.

데이터처리

각각의 프런티어 함수 추정방법의 성능을 평가하기 위해 유한차원 모수인 σ와 λ에 대해서는 bias, variance, MSE를 계산하였고 무한차원 모수의 프런티어 함수 g(·)에 대해서는 식 (4.2)와 같이 함수의 정의역에 대해서 추정량 #g(x)의 bias의 제곱, variance, MSE 함수를 적분한 값(IBIAS2, IVAR, MISE)을 계산하였다.
추정량의 모든 계산은 R 프로그램을 이용하여 하였다. 단조성 제약 조건이 없는 프런티어 함수 추정량 계산을 위해서 스플라인 방법, local constant 방법, local linear 방법의 세 가지 방법을 사용하여 조건부 평균함수를 추정하였다.

이론/모형

본 논문에서 제안한 추정량 계산을 위해 동일하게 세 가지 추정방법을 사용하여 조건부 평균함수를 추정하되 2절에서 설명된 단조성을 만족하는 버전을 사용하였다. 단조성 제약조건이 없는 상황에서 조건부 평균함수 추정을 위해 스플라인 방법을 사용할 때 knot는 0과 1사이의 등 간격의 knot를 사용하되 Hastie와 Tibshirani (1990)에 소개되어 있는 generalized cross validation 방법을 사용하여 internal knot의 개수를 선택하였다. 또한 동일한 상황에서 국소다항식 적합을 위해서는 식 (4.
마지막으로 pseudo-likelihood에 기반한 (σ, λ)의 추정을 위한 최적화에는 R package ‘nloptr’를 사용하였다.
본 논문에서 제안된 단조성을 만족하면서 smooth한 프런티어 함수 추정량이 단조성 제약조건을 고려하지 않은 smooth 프런티어 함수 추정량인 Fan 등 (1996)의 추정량과 단조성은 만족하지만 계단함수로 주어지는 Keshvari와 Kuosmanen (2013)의 추정량과 비교하여 추정의 효율면에서 어떤 장점이 있는지 비교하는 시뮬레이션을 진행하였다. 시뮬레이션 모형은 Martins-Filho와 Yao (2015)에서 고려한 모형 중 두개의 모형을 선택하였다. 두 모형 모두 단조성 제약조건을 모형으로 Model 1은 단조성뿐 아니라 오목성도 만족하는 모형이며 Model 2는 단조성만 만족하는 모형이다.

성능/효과

하지만, 이런 추정 성능상의 장점으로 모형내의 다른 추정 모수 (σ, λ)의 추정에 이익이 발생하지 않았다. 본 연구에서 사용된 방법은 기본적으로 단조성을 만족하는 프런티어 함수 추정뿐만 아니라 단조성과 오목성을 동시에 프런티어 함수 추정으로 확장될 수 있다. 조건부 평균 함수의 제약조건을 부여할 때, 원래 함수뿐만 아니라 한 번 미분한 함수도 증가함수가 되도록 제약조건을 걸면 된다.
시뮬레이션 결과에 따르면 Model의 종류나 #(σ 2u, σ2v) 시나리오와 관계없이 본 논문에서 제안한 프런티어 함수(g(x))의 추정량이 단조성 제약조건을 고려하지 않은 Fan 등 (1996)의 프런티어 함수 추정량보다 추정성능이 우수한 것으로 나타났으며, 단조성 제약조건을 고려하긴 하지만 추정량이 계단함수로 주어지는 단점이 있는 Keshvari와 Kuosmanen (2013)보다도 추정성능이 우수한 것으로 나타났다.
))에 대해서는 본논문에서 제안한 방법이 Fan 등 (1996)의 방법에 비해 의미있는 추정성능의 차이를 나타내지 않았다. 이를 통해 SFM 모형과 같은 준모수적 모형(semiparametric model)의 추정의 소표본상황에서 적절한제약조건을 통해 무한차원 모수(프런티어 함수)의 추정성능을 향상 시키는 방법이 모형내의 다른 유한차원 모수들(비효율성과 오차의 분산)의 추정성능의 향상을 가지고 오지는 않을 수도 있음을 알 수 있었다. 한편, (σ, λ)의 추정과 연관하여 본 논문의 추정방법과 Keshvari와 Kuosmanen (2013) 방법의 결과를 비교하면 두 추정방법이 비슷한 성능을 나타내긴 하지만 σ의 경우는 제안된 방법이 더 우수하며, λ의 경우는 Keshvari와 Kuosmanen (2013)의 방법이 약간 더 우수한 성능을 나타내는 것을 볼 수 있었다.
본 논문에서는 Keshvari와 Kuosmanen (2013) 방법에서 얻어지는 단조성을 만족시키는 프런티어 함수 추정량이 계단 함수로 주어지는 것 때문에 가지게 되는 단점을 보완하는 새로운 프런티어 함수 추정량을 제안하였다. 제안된 프런티어 함수 추정량은 소표본 시뮬레이션 연구에서 단조성이 고려되지 않은 Fan 등 (1996)의 추정량과 단조성은 만족하지만 계단함수로 주어지는 Keshvari와 Kuosmanen (2013)의 추정량보다 우수한 추정성능을 나타내었다. 하지만, 이런 추정 성능상의 장점으로 모형내의 다른 추정 모수 (σ, λ)의 추정에 이익이 발생하지 않았다.
한편, (σ, λ)의 추정과 연관하여 본 논문의 추정방법과 Keshvari와 Kuosmanen (2013) 방법의 결과를 비교하면 두 추정방법이 비슷한 성능을 나타내긴 하지만 σ의 경우는 제안된 방법이 더 우수하며, λ의 경우는 Keshvari와 Kuosmanen (2013)의 방법이 약간 더 우수한 성능을 나타내는 것을 볼 수 있었다.

후속연구

조건부 평균 함수의 제약조건을 부여할 때, 원래 함수뿐만 아니라 한 번 미분한 함수도 증가함수가 되도록 제약조건을 걸면 된다. 아울러, 프런티어 함수 추정 문제에게 투입변수가 여러 개인 상황이 흔한 상황인 것을 고려할 때, 제안된 방법론을 다차원 투입변수에 적용할 수 있는 방법으로 확장하는 추후 연구가 필요하다.
이 때, 비효율성 본포에 대한 가정은 생산성 분석에서 매우 중요한 문제이나 본 논문에서는 가정의 적절성 문제나 적절한 비효율성 분포의 선택에 대해서는 논의하지 않고 주어진 가정하에서 프런티어 함수 추정 문제에만 초점을 두고 논의를 진행하려 한다. 하지만, 비효율성 u_i 의 분포에 대해 일반적인 truncated normal 분포나 gamma 분포와 같은 다른 분포를 고려하는 경우에도 본 논문에서 제안된 방법은 사용가능하며, 다만 전체오차 ∊_i= v_i- u_i의 확률밀도함수의 특성에 기반하여 프런티어와 함수와 전체오차와 연관된 모수(parameter) 추정이 필요하다. 비효율성의 분포로 일반적인 truncated normal 분포나 gamma 분포를 고려할 때의 프런티어 함수와 전체오차의 모수의 추정에 대한 내용은 Fan 등 (1996)의 4절에 자세히 나와 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	생산성 분석이란?	생산성 분석이란 각각의 생산단위에서의 투입과 산출변수 측면에서의 생산결과를 토대로 생산단위의 성과를 측정하는 일련의 분석방법이라고 할 수 있다. 이러한 생산성 분석은 이루어진 투입에 대한 최적의산출에 대한 실제 달성한 산출의 비율로 이루어지는 경우가 많다.
	단조성이나 오목성등을 만족하도록 하면서 비모수적 방법으로 추정하는 방법의 문제점은?	그러나 최근에는 프런티어 함수를 프런티어 함수가 기본적으로 만족해야 하는 단조성이나 오목성등을 만족하도록 하면서 비모수적 방법으로 추정하는 방법들이 많이 이루어졌다. 하지만, 이러한 방법들에서 얻어지는 추정량들은 프런티어 함수를 조각적 선형함수 또는 계단함수로 추정하는 특징 때문에 추정의 효율이 떨어지나가 프런티어 함수가 해석이 용이하지 않은 불연속점을 가지는 문제를 가지게 된다. 본 논문에서는 이러한 문제를 해결하기 위해 확률프런티어 모형에서 단조증가하는 매끄러운 프런티어 함수 추정법을 제시하고 제안된 추정방법이 기존의 추정방법에 비해서 가지는 추정 효율의 장점을 시뮬레이션를 통해 예시하였다.
	DFM 모형 하에서의 대표적인 추정량의 장 단점은?	이 모형 하에서의 대부분의 프런티어 함수 추정방법들은 프런티어 함수에 대한 모수적 가정없이 자료 전체를 덮는 곡선으로 추정하는 자료포락분석(data envelopment analysis)이라는 아이디어에 기반하고 있는 것이 특징이다. DFM 모형 하에서의 대표적인 추정량들은 프런티어 함수에 대한 기본적인 가정을 만족시킨다는 장점으로 인해 생산성 분석에 많이 사용되고 있긴 하지만, 이상치(outlier)에 민감하고 생산단위의 산출량이 모두 측정오차 없이 측정되었다는 가정이 다소 현실성이 떨어진다는 단점을 가지고있다. 이러한 단점을 보완하는 분석모형으로 확률 프런티어 모형을 고려할 수 있다.

참고문헌 (14)

Daouia, A., Noh, H., and Park, B. U. (2016). Data envelope fitting with constrained polynomial splines, Journal of the Royal Statistical Society-Series B, 78, 3-30.

상세보기
Deprins, D., Simar, L., and Tulkens, H. (1984). Measuring labor-efficiency in post offices, The Performance of Public Enterprises: Concepts and Measurement, 243-267.
Du, P., Parmeter, C. F., and Racine, J. S. (2013). Nonparametric kernel regression with multiple predictors and multiple shape constraints, Statistica Sinica, 23, 1347-1371.

상세보기
Fan, Y., Li, Q., and Weersink, A. (1996). Semiparametric estimation of stochastic production frontier models, Journal of Business & Economic Statistics, 14, 460-468.

상세보기
Hastie, T. J. and Tibshirani, R. J. (1990). Generalized Additive Models, Chapman and Hall/CRC, New York.
Jeong, S. O. and Simar, L. (2006). Linearly interpolated FDH efficiency score for nonconvex frontiers, Journal of Multivariate Analysis, 97, 2141-2161.

상세보기
Keshvari, A. and Kuosmanen, T. (2013). Stochastic non-convex envelopment of data: applying isotonic regression to frontier estimation, European Journal of Operational Research, 231, 481-491.

상세보기
Kuosmanen, T. and Kortelainen, M. (2012). Stochastic non-smooth envelopment of data: semi-parametric frontier estimation subject to shape constraints, Journal of Productivity Analysis, 38, 11-28.

상세보기
Martins-Filho, C. and Yao, F. (2015). Semiparametric stochastic frontier estimation via profile likelihood, Econometric Reviews, 34, 413-451.

상세보기
Nadaraya, E. A. (1965). On nonparametric estimates of density functions and regression curves, Theory of Probability and Its Applications, 10, 186-190.

상세보기
Noh, H. (2014). Frontier estimation using kernel smoothing estimators with data transformation, Journal of the Korean Statistical Society, 43, 503-512.

상세보기
Racine, J. S. (2016). Local polynomial derivative estimation: analytic or Taylor? In G. GonzAlez-Rivera, R. C. Hill, T. H. Lee (Eds.), Essays in Honor of Aman Ullah (Advances in Econometrics), (Volume 36, 617-633), Emerald Group Publishing Limited.
Schumaker, L. L. (2007). Spline Functions: Basic Theory (3rd ed.), Cambridge University Press.
Watson, G. S. (1964). Smooth regression analysis, The Indian Journal of Statistics. Series A, 26, 359-372.

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