[논문]평률 회귀분석을 위한 추정 방법의 비교

김종민; 강기훈

doi:10.5351/kjas.2018.31.3.343

초록
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설명변수가 주어졌을 때 반응변수의 평균적인 추세뿐만 아니라 극단적인 지역에서의 추세에 대해서 추정하고 싶거나 반응변수 분포의 일반적인 탐색을 위해서는 분위수 회귀분석과 평률 회귀분석을 사용할 수 있다. 본 논문에서는 평률 회귀모형의 추정을 위한 모수적 방법과 비모수적 방법의 성능을 비교하고자 한다. 이를 위해 각 추정 방법을 소개하고 여러 상황의 모의실험 및 실제자료에의 적용을 통해 비교 분석을 실시하였다. 모형에 따라 성능 차이가 있는데 자료의 형태가 복잡하여 변수 간의 관계를 유추하기 힘들 경우 비모수적으로 추정한 평률 회귀분석모형이 더욱 좋은 결과를 보였다. 일반적인 회귀분석의 경우와 달리 평률의 경우 후보가 되는 모수 모형을 상정하기 어렵다는 측면에서 볼 때, 비모수적 방법의 사용이 추천될 수 있다.

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We can use quantile regression and expectile regression analysis to estimate trends in extreme regions as well as the average trends of response variables in given explanatory variables. In this paper, we compare the performance between the parametric and nonparametric methods for expectile regressi...

We can use quantile regression and expectile regression analysis to estimate trends in extreme regions as well as the average trends of response variables in given explanatory variables. In this paper, we compare the performance between the parametric and nonparametric methods for expectile regression. We introduce each estimation method and analyze through various simulations and the application to real data. The nonparametric model showed better results if the model is complex and difficult to deduce the relationship between variables. The use of nonparametric methods can be recommended in terms of the difficulty of assuming a parametric model in expectile regression.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

전통적인 회귀분석은 설명변수가 주어졌을 때 반응변수의 평균적인 추세가 어떻게 변하는지를 모형화한다. 가장 간단한 단순선형회귀분석의 경우에는 설명변수 X가 주어졌을 때 반응변수 Y 의 조건부 평균을 선형관계로 가정하고 추정하는 것을 목표로 한다. 하지만, 경제, 금융, 의학 등의 분야에서는 X가 주어졌을 때 Y 의 평균만이 아니라 Y 의 극단적인 영역에서 추세를 추정하고 싶은 경우가 빈번히 발생한다.
본 논문에서는 자료의 극단적인 부분에서의 추세를 추정하기 위해 사용하는 평률과 평률 회귀분석에 대해 알아보았다. 평률 회귀모형의 모수적 추정 방법과 비모수적 추정 방법, 특히 P-스플라인 방법에 대해 설명하였고 모의실험을 통해 다양한 상황에서의 두 방법의 성능을 평균제곱의 차를 적분한 MISE값을 통해 비교하였다.
평률 회귀분석에 관한 최근 연구로는 Schnabel과 Eilers (2009), De Rossi와 Harvey (2009), Sobotka와 Kneib (2012), Guo와 H¨ardle (2012), Sobotka 등 (2013), Jiang 등 (2017), Spiegel 등 (2017), Zhao와 Zhang (2018)이 있다. 본 논문에서는 평률 회귀분석을 이용하여 주어진 설명변수의 수준에서 반응변수의 극단적인 영역의 추세를 파악함에 있어 모수적, 비모수적 추정 방법을 살펴보고 성능의 차이를 비교해 보고자 한다. 2절에서는 평률 회귀분석의 소개와 함께 모수적, 비모수적 추정 방법을 소개한다.

가설 설정

여기서 회귀함수 f는 미분가능하고 충분히 부드러운 함수이며, i = 1, . . . , n에 대해 E(εi) = 0, Var(εi) = σ2이라고 가정한다.

제안 방법

여기서 매듭의 수는 Fahrmeir 등 (2013)이 20에서 40개 사이에서 선택하는 것이 가장 효과적이라는 것을 제시하였다. 두 번째는 Eilers와 Marx (1996)가 지나치게 거친 형태로 선이 추정되는 것을 방지하기 위해 패널티 부분을 도입함으로써 선의 부드러움을 조절하였다. Eilers와 Marx (1996)는 함수의 곡률을 측정하기 위해 2차 차분(second order differences)을 제안하였고 이를 기반으로 한 벌점 부분이 식 (2.
모수 모형의 선택은 자료의 산점도를 보고 결정하였으며 모형 1, 2에서는 각각 1차 함수, 2차 함수를 적합시켰고 모형 3에는 2차 함수와 지수함수를 적용시켜 보았다. 또한, 모형 4에서는 3차 함수와 sin함수를 적합시켰다.
산점도를 보면 평균적으로는 환율이 올라가면 POSCO의 주가가 하락하는 것으로 보이나 두 변수간의 관계를 면밀하게 판단하기 위하여 환율(X)과 POSCO 주가(Y )의 관계를 1차식부터 4차식까지 이용하여 다항회귀분석을 시행하고 그 결과를 살펴보았다. 1차식부터 4차식까지 적합된 회귀식의 수정결정계수(adjusted R-square)는 각각 0.

대상 데이터

평률 회귀분석을 위한 실제자료는 2014년 1월 2일부터 2015년 3월 25일까지 총 300일간의 원/위원화환율과 그에 영향을 많이 받는 업종 중 하나인 POSCO의 주가 자료이다 (자료 출처: http://finance. daum.net). POSCO는 해외에서도 특히 중국으로의 자동차 강판, 압연 등의 수출이 잦은 회사로 위안화 환율에 주가가 영향을 많이 받는다.

데이터처리

416으로 3차식과 4차식간의 차이가 거의 없었다. 3차식 모형과 4차식 모형 모두 유의하였으나 수정결정계수, Akaike information criteria (AIC)와 Bayesian information criteria (BIC)를 모두 계산하여 모수 모형으로는 3차 함수 모형을 선택하여 평률 회귀분석을 실시하였다. 이와 같은 모형 선택의 절차를 피할 수 있다는 것이 비모수적 방법의 장점이며, 비모수 모형으로는 P-스플라인 방법으로 적합시켰다.
모의실험은 오픈 소스인 R을 이용하여 진행하였으며 모수적, 비모수적 평률 회귀분석의 적합을 위해 R에 있는 expectreg 패키지의 expectreg.ls 함수를 사용하였다. 모의실험을 위한 회귀함수의 형태는 다음과 같이 총 4개의 모형을 고려하였다.
POSCO는 해외에서도 특히 중국으로의 자동차 강판, 압연 등의 수출이 잦은 회사로 위안화 환율에 주가가 영향을 많이 받는다. 본 논문에서는 POSCO 주가(원)와 위안화 환율(원/위안화)의 관계에 대해서 평률 회귀분석을 시행하였으며 Figure 4.1은 두 변수의 산점도이다.
본 논문에서는 자료의 극단적인 부분에서의 추세를 추정하기 위해 사용하는 평률과 평률 회귀분석에 대해 알아보았다. 평률 회귀모형의 모수적 추정 방법과 비모수적 추정 방법, 특히 P-스플라인 방법에 대해 설명하였고 모의실험을 통해 다양한 상황에서의 두 방법의 성능을 평균제곱의 차를 적분한 MISE값을 통해 비교하였다. 모의실험 결과 참 평률 함수 모양이 간단하여 설명변수 X와 반응변수 Y 의 관계를 비교적 쉽게 유추할 수 있는 경우에는 모수적 방법이 비모수적 방법보다 성능이 더 좋았다.
1과 같다. 표에 나온 값들은 각 평률에 대한 평균제곱의 차를 적분하여 구한 평균적분제곱오차(mean integrated squared error; MISE)값이며, 그 표준오차(standard error; SE)를 괄호 안에 나타내었다. 모형 3과 4의 모수적 방법에서 왼쪽 열은 각각 2차 함수와 3차 함수를 적합시킨 결과이며, 오른쪽 열은 각각 지수함수와 sin함수를 적합시킨 결과이다.

이론/모형

그리고 조절모수 λ는 교차확인법을 이용하여 구하였다.
또한, 모형 4에서는 3차 함수와 sin함수를 적합시켰다. 비모수 모형의 경우 P-스플라인 방법을 통해 적합시켰으며 기저함수는 20개를 사용하고 각 기저함수는 3차함수를 사용하였다. 그리고 조절모수 λ는 교차확인법을 이용하여 구하였다.
B-스플라인에서는 매듭의 수와 그 배치를 어떻게 선택하느냐에 따라 추정된 결과가 크게 영향을 받는다. 이러한 문제를 해소하기 위한 일환으로 제안된 방법이 P-스플라인이다. P-스플라인은 벌점화된(penalized) 스플라인으로 B-스플라인의 매듭의 수 결정과 이에 따른 매듭의 배치에 따라 발생할 수 있는 문제를 해소하기 위해 두 가지 절차를 이용한다.
3차식 모형과 4차식 모형 모두 유의하였으나 수정결정계수, Akaike information criteria (AIC)와 Bayesian information criteria (BIC)를 모두 계산하여 모수 모형으로는 3차 함수 모형을 선택하여 평률 회귀분석을 실시하였다. 이와 같은 모형 선택의 절차를 피할 수 있다는 것이 비모수적 방법의 장점이며, 비모수 모형으로는 P-스플라인 방법으로 적합시켰다. Figure 4.

성능/효과

95의 경우처럼 환율 변동에 따른 주가의 극단적인 추세를 기반으로 환율에 따른 정책을 세우는 것이 바람직할 것이다. 모수 모형에서는 환율이 높아지는 초기에 POSCO 주가가 높아지다가 167원 이후에는 낮아지는 추세이고 177원 이후로 급격히 상승하는 형태로 나왔다. 비모수 모형에서는 모수 모형에서와 마찬가지로 POSCO의 주가가 높아지다가 낮아지고 175원 이후로 현상 유지되다가 180원 이후에는 조금 상승하는 형태로 나왔다.
평률 회귀모형의 모수적 추정 방법과 비모수적 추정 방법, 특히 P-스플라인 방법에 대해 설명하였고 모의실험을 통해 다양한 상황에서의 두 방법의 성능을 평균제곱의 차를 적분한 MISE값을 통해 비교하였다. 모의실험 결과 참 평률 함수 모양이 간단하여 설명변수 X와 반응변수 Y 의 관계를 비교적 쉽게 유추할 수 있는 경우에는 모수적 방법이 비모수적 방법보다 성능이 더 좋았다. 모수적으로 평률 회귀모형을 추정할 경우에는 평률에 따라 모수 모형의 성능에 차이를 보이는데 이는 각 평률에 따라 평률함수의 형태가 다를 수 있기 때문이다.
1의 모의실험 결과 참 평률 함수의 모양에 따라 모수적 방법과 비모수적 방법의 성능이 차이를 보였다. 산점도를 통해 두 변수가 어떤 관계인지 유추할 수 있는 비교적 간단한 경우인 모형 1과 2에서는 모수적 방법이 비모수적 방법에 비해 더 좋은 성능을 보였다. 이 경우에는 모수 모형으로 참 모형을 사용한 것이므로 예상할 수 있는 결과이다.
실제자료 분석에서는 참 평률함수를 알지 못하기 때문에 정확한 성능을 비교하기는 어렵지만, 조건부 평균에 해당되는 τ = 0.5 평률 회귀분석의 경우에 모수적, 비모수적 방법으로 구한 추정치의 MSE가 각각 2.795 × 108 , 2.362 × 108으로 모수적 방법이 대략 18% 정도 크게 나타남을 알 수 있다.
이 경우에는 모수 모형으로 참 모형을 사용한 것이므로 예상할 수 있는 결과이다. 하지만 모형 3, 4와 같이 두 변수 간의 관계를 유추하기 힘든 경우 비모수적 방법이 모수적 방법보다 더 좋은 성능을 보였다. 모형 3에서 보듯이 모수 모형의 선택에 따라 MISE값이 많이 달라지며 비모수 모형의 경우보다 월등히 크게 나타나는 경우가 있었다.
위안화 가치가 하락하면 중국 철강업체들의 한국으로 수출이 촉진될 것이며 이에 따라 철강업체인 POSCO 주가는 하락할 것으로 예상될 수 있다. 하지만 자료 분석의 결과에 의하면 이러한 사항은 환율 변동의 구간에 따라서 다르고, 평률에 따라서도 달라질 수 있음을 확인하였다. 환율 상승에 따라 철강의 대중국 수출이 늘어날 수 있으므로 포스코 주가가 상승할 것을 기대할 수 있지만 모수적 방법의 경우처럼 그 폭이 급격하지는 않을 것으로 예상한다.

후속연구

환율 상승에 따라 철강의 대중국 수출이 늘어날 수 있으므로 포스코 주가가 상승할 것을 기대할 수 있지만 모수적 방법의 경우처럼 그 폭이 급격하지는 않을 것으로 예상한다. 아울러, 비모수적 방법을 이용하면 환율이 165에서 167 사이, 175에서 180 사이의 구간에서처럼 주가의 평률이 국소적인 영역에서 변동하는 점도 확인할 수 있으므로, 이 자료에서는 모수적 방법보다 비모수적 방법에 의한 추세 예측에 따라 정책을 수립하는 것이 더욱 바람직하다고 판단된다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	분위수 회귀분석과 평률 회귀분석을 사용하는 경우는?	설명변수가 주어졌을 때 반응변수의 평균적인 추세뿐만 아니라 극단적인 지역에서의 추세에 대해서 추정하고 싶거나 반응변수 분포의 일반적인 탐색을 위해서는 분위수 회귀분석과 평률 회귀분석을 사용할 수 있다. 본 논문에서는 평률 회귀모형의 추정을 위한 모수적 방법과 비모수적 방법의 성능을 비교하고자 한다.
	단순선형회귀분석의 목표는?	전통적인 회귀분석은 설명변수가 주어졌을 때 반응변수의 평균적인 추세가 어떻게 변하는지를 모형화한다. 가장 간단한 단순선형회귀분석의 경우에는 설명변수 X가 주어졌을 때 반응변수 Y 의 조건부 평균을 선형관계로 가정하고 추정하는 것을 목표로 한다. 하지만, 경제, 금융, 의학 등의 분야에서는 X가 주어졌을 때 Y 의 평균만이 아니라 Y 의 극단적인 영역에서 추세를 추정하고 싶은 경우가 빈번히 발생한다.
	모수 모형의 장단점과 해결 방법은?	모수 모형은 설명변수 X와 반응변수 Y 간의 관계를 특정 형태를 가정하여 그에 따른 모수를 추정하는 방법이다. 이 방법은 가정된 모형이 데이터에 잘 부합할 경우 좋은 성능을 보이지만 그렇지 못할 경우 큰 문제가 생길 수 있다. 뿐만 아니라 설명변수와 반응변수 간의 평률함수 관계를 파악하기 힘든 경우가 많기 때문에 형태에 대한 가정을 하지 않고 모형을 추정하는 방법인 비모수적 접근법을 고려할 수 있다. 회귀분석에서 일반적인 비모수 모형은 식 (2.

참고문헌 (16)

De Boor, C. (2001). A Practical Guide to Splines, Springer-Verlag, New York.
De Rossi, G. and Harvey, A. (2009). Quantiles, expectiles and splines, Journal of Econometrics, 152, 179-185.

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Eilers, P. H. C. and Marx, B. D. (1996). Flexible smoothing with B-splines and penalties, Statistical Science, 11, 89-121.

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Fahrmeir, L., Kneib, T., Lang, S., and Marx, B. (2013). Regression : Models, Methods and Applications, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.
Fenske, N., Kneib, T., and Hothorn, T. (2011). Identifying risk factors for severe childhood malnutrition by boosting additive quantile regression, Journal of the American Statistical Association, 106, 494-510.

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Guo, M. and Hardle, W. K. (2012). Simultaneous confidence bands for expectile functions, AStA - Advances in Statistical Analysis, 96, 517-541.

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Jiang, C., Jiang, M., Xu, Q., and Huang, X. (2017). Expectile regression neural network model with applications, Neurocomputing, 247, 73-86.

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Newey, W. K. and Powell, J. L. (1987). Asymmetric least squares estimation and testing, Econometrica, 55, 819-847.

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Schnabel S. K. and Eilers, P. H. C. (2009). An analysis of life expectancy and economic production using expectile frontier zones, Demographic Research, 21, 109-134.

상세보기
Sobotka, F., Kauermann, G., Waltrup, L. S., and Kneib, T. (2013). On confidence intervals for semiparametric expectile regression, Statistics and Computing, 23, 135-148.

상세보기
Sobotka, F. and Kneib, T. (2012). Geoadditive expectile regression, Computational Statistics & Data Analysis, 56, 755-767.

상세보기
Spiegel, E., Sobotka, F. and Kneib, T. (2017). Model selection in semiparametric expectile regression, Electronic Journal of Statistics, 11, 3008-3038.

상세보기
Waltrup, L. S. (2014). Extensions of semiparametric expectile regression (Ph.D. thesis), Ludwig Maximilians University Munich.
Yang, Y. and Zou, H. (2015). Nonparametric multiple expectile regression via ER-Boost, Journal of Statistical Computation and Simulation, 85, 1442-1458.

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Yao, Q. and Tong, H. (1996). Asymmetric least squares regression estimation: a nonparametric approach, Journal of Nonparametric Statistics, 6, 273-292.

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Zhao, J. and Zhang, Y. (2018). Variable selection in expectile regression, Communications in Statistics - Theory and Methods, 47, 1731-1746.

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