[논문]로그 목적함수의 유사 헤시안을 이용한 라플라스 영역 파형 역산과 레벤버그-마쿼트 알고리듬

하완수

doi:10.7582/gge.2019.22.4.195

로그 목적함수의 유사 헤시안을 이용한 라플라스 영역 파형 역산과 레벤버그-마쿼트 알고리듬
Laplace-domain Waveform Inversion using the Pseudo-Hessian of the Logarithmic Objective Function and the Levenberg-Marquardt Algorithm 원문보기

지구물리와 물리탐사 = Geophysics and geophysical exploration, v.22 no.4, 2019년, pp.195 - 201

초록
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파형 역산에 사용하는 로그 목적함수는 관측 자료와 모델링 자료의 로그값의 차이를 최소화하는 목적함수이다. 라플라스 영역 파형 역산에서는 주로 로그 목적함수와 유사 헤시안의 대각 성분을 이용하여 최적화를 수행한다. 이 때 유사 헤시안의 대각 성분이 0 또는 0에 가까운 값이 되는 것을 막기 위해 레벤버그-마쿼트 알고리듬을 적용한다. 본 연구에서는 로그 목적함수의 유사 헤시안의 대각 성분을 분석하여 음향파 라플라스 영역 파형 역산에서는 유사 헤시안의 대각 성분이 0 또는 0에 가까운 값을 가지지 않음을 보였다. 따라서 로그 목적함수의 유사 헤시안을 이용한 경사 방향 정규화시 레벤버그-마쿼트 알고리듬을 적용할 필요가 없다. 수치 예제에서 인공합성 자료와 현장 자료를 이용해 레벤버그-마쿼트 기법 없이도 역산 결과를 얻을 수 있음을 보였다.

Abstract ▼ AI-Helper

The logarithmic objective function used in waveform inversion minimizes the logarithmic differences between the observed and modeled data. Laplace-domain waveform inversions usually adopt the logarithmic objective function and the diagonal elements of the pseudo-Hessian for optimization. In this case, we apply the Levenberg-Marquardt algorithm to prevent the diagonal elements of the pseudo-Hessian from being zero or near-zero values. In this study, we analyzed the diagonal elements of the pseudo-Hessian of the logarithmic objective function and showed that there is no zero or near-zero value in the diagonal elements of the pseudo-Hessian for acoustic waveform inversion in the Laplace domain. Accordingly, we do not need to apply the Levenberg-Marquardt algorithm when we regularize the gradient direction using the pseudo-Hessian of the logarithmic objective function. Numerical examples using synthetic and field datasets demonstrate that we can obtain inversion results without applying the Levenberg-Marquardt method.

주제어

표/그림 (7)

그림 Fig. 1. A shot gather from the synthetic data.
그림 Fig. 3. Inversion results obtained after 300 iterations using the Levenberg-Marquardt multiplier of (a) 1.e-1, (b) 1.e-6, and (c) 0.
그림 Fig. 4. Error histories using different Levenberg-Marquardt multipliers.
그림 Fig. 2. (a) The SEG/EAGE salt velocity model and (b) the initial velocity model for Laplace-domain inversions.
그림 Fig. 5. A shot gather from a Gulf of Mexico field dataset.
그림 Fig. 6. (a) The initial velocity model and inversion results obtained after 400 iterations using the Levenberg-Marquardt multiplier of (b) 1.e-1, (c) 1.e-6, and (d) 0.
그림 Fig. 7. Error histories using different Levenberg-Marquardt multipliers.

AI 본문요약
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제안 방법

총 155개의 송신원을 100 m 간격으로 발파하고 20 m 간격의 지표 수신기에서 기록하였다. 신호는 1 ms 간격으로 총 10초간 기록하였다. 이후 시간 영역탄성파 기록을 라플라스 변환하여 라플라스 영역 역산에 사용하였다.
앞의 예제와 같이 동일한 조건으로 레벤버그-마쿼트 승수만 달리하여 역산을 수행하였다. 인공합성 예제에서 얻은 결과처럼 레벤버그-마쿼트 승수로 1.
4 ms 간격으로 총 12초간 신호가 기록되어 있다. 역산을 위해 초동 신호 앞의 잡음을 제거한 후 2부터 12 s^-1까지 2s^-1 간격으로 총 6개의 라플라스 상수를 사용하여 라플라스변환을 수행하였다. Fig.
신호는 1 ms 간격으로 총 10초간 기록하였다. 이후 시간 영역탄성파 기록을 라플라스 변환하여 라플라스 영역 역산에 사용하였다. 역산에 사용한 라플라스 상수는 2부터 12 s^-1 까지 2s^-1 간격으로 총 6개를 사용하였다.
6a에 역산에 사용한 초기 속도모델을 제시하였다. 초기 모델은 깊이에 따라 속도가 1.5 km/s에서 3.0 km/s까지 선형적으로 변하는 모델을 사용하였고, 역산 시물층 속도는 1.5 km/s로 고정하였다.

대상 데이터

두 번째 역산 예제에서는 멕시코만 현장 자료를 이용하였다(Fig. 5). 이 자료는 총 399개의 공통송신원 모음이 존재하는 스트리머 자료로, 송신원 간격은 50 m, 수신기 간격은 25 m이다.
레벤버그-마쿼트 승수에 따른 역산 결과 비교를 위해 SEG/EAGE 암염돔 모델(Aminzadeh et al., 1994)로부터 인공합성자료를 생성하였다(Fig. 1). 총 155개의 송신원을 100 m 간격으로 발파하고 20 m 간격의 지표 수신기에서 기록하였다.
이후 시간 영역탄성파 기록을 라플라스 변환하여 라플라스 영역 역산에 사용하였다. 역산에 사용한 라플라스 상수는 2부터 12 s^-1 까지 2s^-1 간격으로 총 6개를 사용하였다. Fig.
5). 이 자료는 총 399개의 공통송신원 모음이 존재하는 스트리머 자료로, 송신원 간격은 50 m, 수신기 간격은 25 m이다. 4 ms 간격으로 총 12초간 신호가 기록되어 있다.
1). 총 155개의 송신원을 100 m 간격으로 발파하고 20 m 간격의 지표 수신기에서 기록하였다. 신호는 1 ms 간격으로 총 10초간 기록하였다.

이론/모형

유사 헤시안의 대각 성분 이용시 0 또는 매우 작은 값으로 경사 방향을 나누어주는 것을 방지하기 위해 레벤버그-마쿼트(Levenberg-Marquardt) 기법을 적용하게 된다(Levenberg,1944; Marquardt, 1963; Pujol, 2007). 이 때 레벤버그-마쿼트감쇄 상수라는 새로운 변수가 도입되고, 이 변수 값에 의해 역산 결과가 달라지기 때문에 적절한 감쇄 상수를 선택해야 하는 문제가 발생하게 된다.

성능/효과

목적함수 수렴 곡선을 보면, 본 예제에서 사용한 승수 값에 상관없이 최종 수렴값은 유사하지만, 1.0 × 10-1을 사용한 경우에 비해 1.0 × 10-6과 0.0을 사용한 경우 좀 더 안정적으로 수렴해가는 것을 확인할 수 있다.
본 연구에서는 라플라스 영역 파형 역산에서 로그 목적함수와 유사 헤시안의 대각 성분을 사용할 경우 레벤버그-마쿼트기법이 필수적이지 않고, 따라서 적절한 감쇄 상수를 선택하지 않아도 됨을 보였다. 이를 위해 먼저 로그 목적함수의 유사 헤시안의 대각 성분을 분석하여 대각 성분에 0 또는 작은 값이 없음을 보이고 인공합성 자료 및 실제 자료 수치 예제를 통해 레벤버그-마쿼트 방법 없이 좋은 역산 결과를 얻을 수 있음을 확인하였다.
본 연구에서는 라플라스 영역 파형 역산을 위해 로그 목적함수와 유사 헤시안을 사용할 경우 레벤버그-마쿼트 방법을 사용할 필요가 없음을 보였다. 로그 목적함수의 유사 헤시안의 대각 성분은 라플라스 감쇄 계수와 P파 속도로 구성되고 따라서 0이나 0에 가까운 값이 발생하지 않는다.
본 연구에서는 라플라스 영역 파형 역산에서 로그 목적함수와 유사 헤시안의 대각 성분을 사용할 경우 레벤버그-마쿼트기법이 필수적이지 않고, 따라서 적절한 감쇄 상수를 선택하지 않아도 됨을 보였다. 이를 위해 먼저 로그 목적함수의 유사 헤시안의 대각 성분을 분석하여 대각 성분에 0 또는 작은 값이 없음을 보이고 인공합성 자료 및 실제 자료 수치 예제를 통해 레벤버그-마쿼트 방법 없이 좋은 역산 결과를 얻을 수 있음을 확인하였다.
인공합성 예제에서 얻은 결과처럼 레벤버그-마쿼트 승수로 1.0 × 10-1을 사용한 경우 상대적으로 결과가 안 좋았다(Fig. 6b).

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	라플라스 영역 파형 역산이란 무엇인가?	라플라스 영역 파형 역산은 라플라스 영역에서 관측 자료와 수치 자료의 차이를 최소화하는 방법으로, 시간 영역이나 주파수 영역 파형 역산과 달리 장파장 속도모델을 얻을 수 있는 기법이다(Shin and Cha, 2008). 라플라스 영역 파동장은 송신원으로부터 거리가 멀어짐에 따라 지수적으로 진폭이 감소하므로 일반적인 l2-노옴(norm) 목적함수를 사용하면 송신원 근처의 정보만 사용하게 된다(Shin and Ha, 2008).
	대부분의 라플라스 영역 파형 역산 연구에서 유사헤시안의 대각 성분을 사용해온 이유는 무엇인가?	그러나 대부분의 라플라스 영역 파형 역산 연구에서는 유사헤시안의 대각 성분을 사용해왔다. 유사 헤시안의 대각 성분을 계산하는 알고리듬이 간단하고 빠르며 다양한 실제 자료에서 좋은 결과를 얻어왔기 때문이다(Ha et al., 2012a).
	목적함수 최적화를 위해 경사 하강법을 사용할 때의 한계는 무엇인가?	목적함수 최적화를 위해 단순한 경사 하강법(steepest descentmethod)을 사용할 경우 수렴하는데 시간이 오래 걸리고 충분히 수렴하지 못하는 한계가 있기 때문에 파형 역산 연구에서는 다양한 최적화 기법들을 연구해왔다(Brossier, 2011; Pyunet al., 2011; Bae et al.

참고문헌 (31)

Al-Yahya, K., 1989, Velocity analysis by iterative profile migration, Geophysics, 54(6), 718-729.
Aminzadeh, F., Burkhard, N., Nicoletis, L., and Rocca, F., 1994, SEG/EAEG 3-D modeling project: 2nd update, The Leading Edge, 13(9), 949-952.

상세보기
Bae, H. S., Pyun, S., Chung, W., Kang, S. G., and Shin, C., 2012, Frequencydomain acousticelastic coupled waveform inversion using the GaussNewton conjugate gradient method, Geophys. Prospect., 60(3), 413-432.

상세보기
Brossier, R., 2011, Two-dimensional frequency-domain viscoelastic full waveform inversion Parallel algorithms, optimization and performance, Comput. Geosci., 37(4), 444-455.

상세보기
Chapman, C., and Pratt, R., 1992, Traveltime tomography in anisotropic media - I. Theory, Geophys. J. Int., 109(1), 1-19.

상세보기
Chung, W., Shin, J., Bae, H. S., Yang, D., and Shin, C., 2012, Frequency domain elastic waveform inversion using the Gauss-Newton method, J. Seism. Explor., 21(1), 29-48.
Ha, T., Chung, W., and Shin, C., 2009, Waveform inversion using a back-propagation algorithm and a Huber function norm, Geophysics, 74(3), R15-R24.

상세보기
Ha, W., Chung, W., Park, E., and Shin, C., 2012a, 2-D acoustic Laplace-domain waveform inversion of marine field data, Geophys. J. Int., 190(1), 421-428.

상세보기
Ha, W., Chung, W., and Shin, C., 2012b, Pseudo-Hessian matrix for the logarithmic objective function in full waveform inversion, J. Seism. Explor., 21(3), 201-214.
Kwon, J., Jin, H., Calandra, H., and Shin, C., 2017, Interrelation between Laplace constants and the gradient distortion effect in Laplace-domain waveform inversion, Geophysics, 82(2), R31-R47.

상세보기
Lee, J., and Ha, W., 2019, Laplace-domain waveform inversion using the l-BFGS method, Geosy. Eng., 22(4), 214-224.
Levenberg, K., 1944, A method for the solution of certain nonlinear problems in least squares, Quart. Appl. Math., 2, 164-168.
Liu, Z., and Bleistein, N., 1995, Migration velocity analysis: Theory and an iterative algorithm, Geophysics, 60(1), 142-153.

상세보기
Marfurt, K. J., 1984, Accuracy of finite-difference and finiteelement modeling of the scalar and elastic wave equations, Geophysics, 49(5), 533-549.

상세보기
Marquardt, D., 1963, An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters, J. Soc. Indust. Appl. Math., 11(2), 431-441.

상세보기
Metivier, L., Bretaudeau, F., Brossier, R., Operto, S., and Virieux, J., 2014, Full waveform inversion and the truncated Newton method: quantitative imaging of complex subsurface structures, Geophys. Prospect., 62(6), 1353-1375.

상세보기
Metivier, L., and Brossier, R., 2016, The SEISCOPE optimization toolbox: A large-scale nonlinear optimization library based on reverse communication, Geophysics, 81(2), F1-F15.

상세보기
Pratt, R., Shin, C., and Hicks, G., 1998, Gauss-Newton and full Newton methods in frequency-space seismic waveform inversion, Geophys. J. Int., 133(2), 341-362.

상세보기
Pujol, J., 2007, The solution of nonlinear inverse problems and the Levenberg-Marquardt method, Geophysics, 72(4), W1-W16.

상세보기
Pyun, S., Son, W., and Shin, C., 2011, Implementation of the Gauss-Newton method for frequency-domain full waveform inversion using a logarithmic objective function, J. Seism. Explor., 20(2), 1-14.
Sava, P., and Biondi, B., 2004, Wave-equation migration velocity analysis. I. Theory, Geophys. Prospect., 52(6), 593-606.

상세보기
Shin, C., Jang, S., and Min, D.-J., 2001, Improved amplitude preservation for prestack depth migration by inverse scattering theory, Geophys. Prospect., 49(5), 592-606.

상세보기
Shin, C., and Min, D.-J., 2006, Waveform inversion using a logarithmic wavefield, Geophysics, 71(3), R31-R42.

상세보기
Shin, C., and Ha, W., 2008, A comparison between the behavior of objective functions for waveform inversion in the frequency and Laplace domains, Geophysics, 73(5), VE119-VE133.

상세보기
Shin, C., and Cha, Y., 2009, Waveform inversion in the Laplace-Fourier domain, Geophy. J. Int., 177(3), 1067-1079.

상세보기
Shin, C., Pyun, S., and Bednar, J. B., 2007, Comparison of waveform inversion, part 1: Conventional wavefield vs logarithmic wavefield, Geophys. Prospect., 55(4), 449-464.

상세보기
Shin, C., and Cha, Y., 2008, Waveform inversion in the Laplace domain, Geophys. J. Int., 173(3), 922-931.

상세보기
Tarantola, A., 1984, Inversion of seismic reflection data in the acoustic approximation, Geophysics, 49(8), 1259-1266.

상세보기
Virieux, J., and Operto, S., 2009, An overview of full-waveform inversion in exploration geophysics, Geophysics, 74(6), WCC1-WCC26.

상세보기
White, D. J., 1989, TwoDimensional Seismic Refraction Tomography, Geophys. J. Int., 97(2), 223-245.

상세보기
Yilmaz, O., 2001, Seismic data analyis: processing, inversion and interpretation of seismic data, Vol. I, Soc. Expl. Geophys., 288-323.

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