[논문]셀 기반 유한 차분법을 이용한 효율적인 3차원 음향파 파동 전파 모델링

박병경; 하완수

doi:10.7582/gge.2019.22.2.056

초록
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셀 기반 유한 차분법을 사용하여 P파 속도와 밀도 변화를 고려한 3차원 시간 영역 음향 파동 전파 모델링에서 성능을 향상시킬 수 있는 방법을 살펴보았다. 일반적인 유한 차분법에서는 격자점에 탄성파 속도 또는 밀도와 같은 물성을 할당하고 계산하지만 셀 기반 유한 차분법에서는 이러한 물성을 격자점 사이의 셀에 할당한다. 격자점에서의 차분식 계산을 위해서는 주변 셀의 물성 평균값을 이용하는데 이로 인해 일반적인 유한 차분법에 비해 계산량이 증가하게 된다. 이 연구에서는 이러한 계산량 문제를 개선하기 위해 메모리를 추가로 사용하여 모델링 시간을 30 % 이상 줄일 수 있었다. 또한 밀도가 제한적으로 변화하는 매질에서 셀 기반 유한 차분법과 일반 유한 차분법을 함께 사용하여 모델링 성능을 추가로 향상시킬 수 있었다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper, we studied efficient modeling strategies when we simulate the 3D time-domain acoustic wave propagation using a cell-based finite difference method which can handle the variations of both P-wave velocity and density. The standard finite difference method assigns physical properties suc...

In this paper, we studied efficient modeling strategies when we simulate the 3D time-domain acoustic wave propagation using a cell-based finite difference method which can handle the variations of both P-wave velocity and density. The standard finite difference method assigns physical properties such as velocities of elastic waves and density to grid points; on the other hand, the cell-based finite difference method assigns physical properties to cells between grid points. The cell-based finite difference method uses average physical properties of adjacent cells to calculate the finite difference equation centered at a grid point. This feature increases the computational cost of the cell-based finite difference method compared to the standard finite different method. In this study, we used additional memory to mitigate the computational overburden and thus reduced the calculation time by more than 30 %. Furthermore, we were able to enhance the performance of the modeling on several media with limited density variations by using the cell-based and standard finite difference methods together.

주제어

표/그림 (8)

그림 Fig. 1. A cell-based finite difference grid set. Numbers indicate cell order adjacent to the central grid point. The fifth cell is below the first cell.
그림 Fig. 2. Algorithmic procedures of a time-domain modeling scheme.
그림 Fig. 3. Shot gathers (y = 6.76 km) obtained using (a) the cell-based finite difference method and (b) the standard finite difference method.
그림 Fig. 4. Snapshots (y = 6.76 km) obtained using the cell-based finite difference method (a, c, e) and the standard finite difference method (b, d, f) at 1 s (a, b), 2 s (c, d), and 3 s (e, f).
표 Table 1. Profiling results from a wave propagation modeling using the cell-based finite difference method.
표 Table 2. Profiling results using additional memory.
그림 Fig. 5. A two-layer density model with topography.
표 Table 3. Profiling results from different model types.

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 3차원 음향 매질에서의 파동 전파 모델링시셀 기반 유한 차분법의 계산 속도를 향상시키고자 연구를 수행하였다. 셀에 할당하는 매질의 물성으로 P파 속도와 밀도를 사용하였고, 효율적인 모델링을 위해 메모리를 추가로 사용하여 연산량을 줄이는 방법, 밀도 변화가 제한적인 매질에서 셀기반 유한 차분법과 일반적인 유한 차분법을 함께 사용하는 방법들을 시험하였다.
파동 전파 모델링시 밀도의 제한적인 변화를 가정하여 모델링 성능을 향상시키는 연구를 수행하였다. 식 (3) ~ (5)를 살펴보면 공간 영역 미분 과정에서 밀도의 평균을 사용하게 되는데, 해상 탐사에서 물층과 같이 밀도가 상수인 영역 또는 특정 방향으로 밀도 변화가 없는 지역에서 식 (6) ~ (8)을 사용 하여 연산량을 줄일 수 있다.

가설 설정

앞에서 물층을 다룬 경우에는 물층과 아래층 경계면을 수평 으로 가정하였다. 2층 모델에서 Fig.
, 2012). 이렇게 밀도 변화에 제약이 있는 몇 가지 경우를 가정하여 연산 성능을 살펴보았다.

제안 방법

먼저 밀도가 깊이 방향으로만 변하는 경우와 전체 밀도가 균일한 경우를 비교하였다. 밀도가 깊이 방향으로만 변하는 경우 x와 y 방향에 대해 밀도를 상수로 생각할 수 있으므로 식 (3)과 (4) 대신 식 (6)과 (7)을 사용하여 계산한 결과 연산 시간을 13 % 감소시킬 수 있었다(Table 3).
세 개의 배열 추가로 인해 메모리 사용량이 크게 증가하고 메모리 상의 배열 참조 증가로 인해 밀도의 역수의 합을 저장 하는 경우 연산 시간은 크게 줄지 않았다. 메모리 사용량과 연산량을 고려하여 체적 탄성률의 역수의 합만 저장하는 방법이 유리하다고 판단하고 다음 분석을 수행하였다.
모델링 성능 분석을 위해 8 km × 8 km × 4 km 크기, x, y 방향 격자 간격 20 m, z 방향 격자 간격 10 m인 균질 매질을 만들었다.
본 논문에서는 3차원 음향 매질에서의 파동 전파 모델링시셀 기반 유한 차분법의 계산 속도를 향상시키고자 연구를 수행하였다. 셀에 할당하는 매질의 물성으로 P파 속도와 밀도를 사용하였고, 효율적인 모델링을 위해 메모리를 추가로 사용하여 연산량을 줄이는 방법, 밀도 변화가 제한적인 매질에서 셀기반 유한 차분법과 일반적인 유한 차분법을 함께 사용하는 방법들을 시험하였다.
격자는 메모리상에서 x 방향으로 먼저 변하고 y 방향과 z 방향 순으로 변하도록 할당하였다. 시간 영역 모델링은 1 ms 간격으로 총 2초 동안 수행하였다. 모델링 성능 향상을 위해 물성은 식 (2) ~ (5)에 직접 필요한 체적 탄성률의 역수와 밀도의 역수, 식 (9)에 필요한 속도를 입력 받도록 프로그램을 작성하였다.
우선 성능 향상을 위해 메모리를 추가로 사용하는 경우를 시험하였다. 식 (2)에서 체적 탄성률의 역수의 평균과 식 (3) ~ (5)에서 밀도의 역수의 평균은 시간과 무관하다.
1 %의 시간이 소요되었다(Table 1). 유한 차분법 계산 부분과 경계 조건 계산 부분의 비율은 모델의 크기에 따라 달라지게 되는데, 일반적으로 유한 차분법 계산 부분이 큰 비율을 차지하므로 본 연구에서 최적화는 유한 차분법 계산 부분만을 대상으로 수행하였다.

데이터처리

위 식에서 v = v(x, y, z)는 P파 속도를 의미한다. 위 식에도셀 기반 유한 차분법을 사용하여 격자점에 경계 조건을 적용할 때 격자점 주위 셀들의 P파 속도의 평균값을 이용하였다.

이론/모형

Table 1. Profiling results from a wave propagation modeling using the cell-based finite difference method.
모델링시 지표에서는 고정단 경계 조건을 사용하였고, 다른 인공 경계면에서의 투과 경계 조건으로는 Keys (1985)가 제안한 경계 조건을 사용하였다. 해당 경계 조건에서 x 방향 경계의 경우 아래 식을 이산화하여 구현하게 된다.
본 연구에서는 P파 속도와 밀도를 고려한 3차원 음향파 파동 전파 모델링에 셀 기반 유한 차분식을 적용하였다. 셀 기반 유한 차분식을 적용하기 위해서는 격자점 주변 셀의 물성의 평균을 계산하게 되는데 메모리를 추가로 사용하여 반복되는 연산을 한 번만 계산하는 방식으로 연산 성능을 향상시킬 수있었다.
3b에 제시하였다. 유한 차분법 사용시 공간과 시간에 대해 각각 2차 차분식을 사용하였다. 두 모델링 기법으로 부터 얻은 시간 단면은 Fig.

성능/효과

셀 기반 유한 차분식을 적용하기 위해서는 격자점 주변 셀의 물성의 평균을 계산하게 되는데 메모리를 추가로 사용하여 반복되는 연산을 한 번만 계산하는 방식으로 연산 성능을 향상시킬 수있었다. 또한 물층과 같이 특정 구역에서 밀도가 상수인 경우 해당 구역에서 물성 평균을 계산하지 않는 방법으로 모델링 성능을 향상시킬 수 있었다. 이러한 밀도의 제한적인 변화를 고려하면 셀 기반 유한 차분법을 이용한 3차원 음향파 파동 전파 모델링을 효율적으로 수행할 수 있고, 이를 이용한 역시간 구조보정이나 완전 파형 역산 성능 또한 향상시킬 수 있을 것이다.
물층이 존재하는 경우 물층 내에서는 상수 밀도를 사용하고 물층 아래에서는 식 (3) ~ (5)를 사용하여 연산 시간을 단축할수 있다. 물층 깊이를 전체 깊이의 절반으로 두고 모델링한 결과 연산 시간을 21 % 줄일 수 있었다. 앞에서 전체 밀도를 상수로 두고 계산한 경우와 비교했을 때 절반 정도의 속도 향상을 얻을 수 있음을 알 수 있다.
물층에서는 물의 밀도( P_w ), 아래층에서는 땅의 밀도( P_c )를 사용하여 식 (6) ~ (8)로 공간 미분을 계산하고 경계층에서는 식 (3) ~ (5)를 사용하여 연산 성능을 향상시킬 수 있다. 성능 비교를 위해 물층 두께가 전체 깊이의 30 %이고 경계층의 두께가 전체 깊이의 20 %인 경우를 모델링하였고, 연산 시간을 33 % 만큼 줄일 수 있었다. 이경우 경계층의 두께가 얇아질수록 연산 성능이 향상된다.
따라서 총 셀 개수가 N개라면 단정도의 경우 밀도의 평균 값을 저장하는 배열에 12N 바이트만큼의 메모리가 더 필요하다. 세 개의 배열 추가로 인해 메모리 사용량이 크게 증가하고 메모리 상의 배열 참조 증가로 인해 밀도의 역수의 합을 저장 하는 경우 연산 시간은 크게 줄지 않았다. 메모리 사용량과 연산량을 고려하여 체적 탄성률의 역수의 합만 저장하는 방법이 유리하다고 판단하고 다음 분석을 수행하였다.
우선 체적 탄성률의 역수의 합을 미리 계산하여 사용한 결과 셀 기반 유한 차분 계산 시간을 31 % 줄일 수 있었다 (Table 2). 체적 탄성률의 역수의 경우 여덟 셀의 합을 구하기 때문에 연산 시간이 크게 줄었다.
이 때 총 셀 개수가 N개라 면 단정도의 경우 4N 바이트만큼의 메모리를 추가로 사용하게 된다. 체적 탄성률의 역수뿐 아니라 밀도의 역수의 합까지 미리 계산하여 사용하면 총 시간을 37 % 단축할 수 있었다.체적 탄성률의 역수의 경우 전체 모델 크기와 동일한 배열 하나만 추가로 사용하면 되지만, 밀도의 역수의 경우 x, y, z 방향으로 네 셀의 합을 저장하는 세 개의 배열이 추가로 필요하다.

후속연구

또한 물층과 같이 특정 구역에서 밀도가 상수인 경우 해당 구역에서 물성 평균을 계산하지 않는 방법으로 모델링 성능을 향상시킬 수 있었다. 이러한 밀도의 제한적인 변화를 고려하면 셀 기반 유한 차분법을 이용한 3차원 음향파 파동 전파 모델링을 효율적으로 수행할 수 있고, 이를 이용한 역시간 구조보정이나 완전 파형 역산 성능 또한 향상시킬 수 있을 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	파동 방정식이란?	파동 방정식은 시간과 공간의 변화에 따른 파동의 변화를 나타내는 편미분 방정식이다. 탄성파 탐사 분야에서 구조보정 이나 파형 역산과 같은 탐사 자료의 고해상도 처리를 위해 파동 방정식을 이용한 파동 전파 모델링이 널리 사용되고 있다.
	셀 기반 유한 차분법의 단점은?	, 2016). 셀 기반 유한 차분법의 단점으로는 매질 물성의 평균값 계산으로 인해 파동장과 물성을 모두 격자점에 할당하는 일반 적인 유한 차분법에 비해 계산량이 증가한다는 점이 있다.
	이 연구에서는 어떠한 계산량 문제를 개선하려 하였나?	일반적인 유한 차분법에서는 격자점에 탄성파 속도 또는 밀도와 같은 물성을 할당하고 계산하지만 셀 기반 유한 차분법에서는 이러한 물성을 격자점 사이의 셀에 할당한다. 격자점에서의 차분식 계산을 위해서는 주변 셀의 물성 평균값을 이용하는데 이로 인해 일반적인 유한 차분법에 비해 계산량이 증가하게 된다. 이 연구에서는 이러한 계산량 문제를 개선하기 위해 메모리를 추가로 사용하여 모델링 시간을 30 % 이상 줄일 수 있었다.

참고문헌 (15)

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Lee, H.-Y., Lim, S.-C., Min, D.-J., Kwon, B.-D., and Park, M., 2009, 2D time-domain acoustic-elastic coupled modeling: a cell-based finite-difference method, Geosci. J., 13(4), 407-414.

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Min, D.-J., Shin, C., and Yoo, H. S., 2004, Free-surface boundary condition in finite-difference elastic wave modeling, Bull. Seismol. Soc. of Amer., 94(1), 237-250.

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