[논문]관리한계 설정에 따른 <tex>${\\bar{X}}-S^2$</tex> 관리도의 성능

홍휘주; 이재헌

doi:10.5351/kjas.2020.33.2.161

관리한계 설정에 따른 ${\\bar{X}}-S^2$ 관리도의 성능
Performance of the combined ${\\bar{X}}-S^2$ chart according to determining individual control limits 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.33 no.2, 2020년, pp.161 - 170

초록
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${\bar{X}}-S^2$ 관리도는 공정 평균과 산포의 변화를 동시에 탐지하는 전통적인 관리도들 중 하나이다. 일반적으로 사용하는 ${\bar{X}}-S^2$ 관리도의 설계 방법은 병행하는 관리도의 오경보율은 주어진 값을 만족하면서 각 관리도는 동일한 개별적인 오경보율을 갖도록 설정하는 것이다. 이 논문에서는 각 관리도의 개별 오경보율을 다르게 설정하고 이것이 ${\bar{X}}-S^2$ 관리도의 성능에 어떠한 영향을 주는지 살펴보았다. 이를 위해 ${\bar{X}}$ 관리도의 오경보율을 S² 관리도의 오경보율에 γ배한 경우를 고려하였고, γ값에 따른 ${\bar{X}}-S^2$ 관리도 성능을 비교하였다. 관리도의 성능을 평가하는 측도로는 특정한 변화에 대한 성능을 판단하는 경우 이상상태에서의 평균런길이를 사용하였고, 전반적인 성능을 판단하는 경우 RMI(relative mean index)를 사용하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

The combined ${\bar{X}}-S^2$ chart is a traditional control chart for simultaneously detecting mean and variance. Control limits for the combined ${\bar{X}}-S^2$ chart are determined so that each chart has the same individual false alarm rate while maintaining the required false alarm rate for the combined chart. In this paper, we provide flexibility to allow the two charts to have different individual false alarm rates as well as evaluate the effect of flexibility. The individual false alarm rate of the ${\bar{X}}$ chart is taken to be γ times the individual false alarm rate of the S2 chart. To evaluate the effect of selecting the value of γ, we use the out-of-control average run length and relative mean index as the performance measure for the combined ${\bar{X}}-S^2$ chart.

주제어

표/그림 (6)

표 Table 3.1. k and l values in control limits with α = 0.0027 and n = 5
표 Table 3.2. OCARL and RMI values with α = 0.0027 and n = 5 when δ(σ)=1
표 Table 3.3. OCARL and RMI values with α = 0.0027 and n = 5 when δ(µ) = 0
표 Table 3.4. OCARL and RMI values with α = 0.0027 and n = 5 when δ(µ) = 1.5
표 Table 3.5. RMI values with α = 0.0027 and n = 5
표 Table 3.6. RMI values with all combinations

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

α와 n이 다른 경우에도 OCARL값의 경향이 전반적으로 유사하기 때문에, α = 0.0027 (ICARL = 370.4)과 n = 5인 경우를 중심으로 살펴보고자 한다.
따라서 이 논문에서는 X¯ 관리도의 오경보율 αX¯와 S2 관리도의 오경보율 αS2을 동일하게 설정하는 것 이외에 다음과 같이 일반적으로 설정하는 것으로 고려하고자 한다.
여기에서는 γ값의 변화에 따른 X¯-S2 관리도의 성능을 비교하고, γ값 설정의 영향을 평가하고자 한다.
이 논문에서는 OCARL과 RMI를 이용하여 관리도의 성능을 평가하고, γ값 설정에 따른 영향 및 합리적인 γ값 설정 방법을 제시하고자 한다.
이 논문에서는 X¯-S2 관리도의 오경보율은 주어진 값을 만족하면서 개별 관리도인 X¯ 관리도와 S2 관리도의 오경보율은 상대적으로 다양하게 설정하여, 이에 대한 효과를 알아보고 효율적인 X¯-S2 관리도의 설계에 대하여 제안하고자 한다.
이 논문에서는 병행하는 관리도의 오경보율은 주어진 값을 만족하지만 개별 관리도의 오경보율은 동일하지 않게 설정할 경우 병행하는 관리도의 성능이 어떻게 변화하는지, 다시 말해 개별 관리도의 관리한계의 설정이 병행하는 관리도의 성능에 어떤 영향을 주는지 연구를 수행한 결과를 제시하고자 한다.

제안 방법

X¯-S2 관리도의 성능을 살펴보기 위하여 공정 평균과 산포의 다양한 변화를 고려하였다.
따라서 일반적으로 사용하는 γ = 1 대신 γ = 1.5 또는 2로 설정하여 X¯-S2 관리도를 운영하는 것을 제안한다.
1111px;">2이라 하자. 이 논문에서 산포의 변화는 공정 관리에서 일반적으로 관심이 많은 양의 변화만을 고려하기로 한다. 따라서 S²관리도의 관리한계는 관리상한만 고려하면 된다.
이 논문에서는 X¯ 관리도의 오경보율 αX¯와 S2 관리도의 오경보율 αS2이 αX¯ = γ αS2의 관계를 만족하도록 X¯-S2 관리도의 관리한계를 설정하고, 7개의 γ값과 여러 가지 평균 및 산포의 변화량에 대하여 X¯-S2 관리도의 성능을 비교하였다.
평균과 산포의 변화를 동시에 탐지하는 Shewhart 관리도 중 가장 전통적인 절차로 X¯-R 관리도, X¯-S 관리도, X¯-S2 관리도 등이 있는데 (Montgomery, 2013), 이 논문에서는 관리한계의 설정이 가장 용이한 X¯-S2 관리도를 고려하였다.

이론/모형

3333px;">2의 관계를 만족하도록 X¯-S²관리도의 관리한계를 설정하고, 7개의 γ값과 여러 가지 평균 및 산포의 변화량에 대하여 X¯-S² 관리도의 성능을 비교하였다. 관리도의 성능은 특정한 변화량에 대해서는 이상상태에서의 평균런 길이인 OCARL, 다양한 변화량에 대한 전반적인 성능에 대해서는 relative mean index (RMI)를 사용하였다.
X¯-S²관리도의 성능을 살펴보기 위하여 공정 평균과 산포의 다양한 변화를 고려하였다. 모든 변화에 대한 전반적인 성능을 평가하기 위해 다음과 같이 정의되는 relative mean index (RMI)라는 측도를 함께 이용하였다.

성능/효과

γ가 작을수록 공정 산포의 변화를 더 민감하게 탐지할 수 있기 때문에 산포의 변화만 발생한 경우 γ = 0.2일 때 성능이 가장 좋을 것이라고 예상했고, 실제 X¯-S2 관리도의 OCARL과 RMI는 γ = 0.2일 때 최소값을 갖는다고 나타났다.
Table 3.5의 결과를 살펴보면, 공정 평균의 변화량이 아주 작거나 크지 않은 경우 (0.75 ≤ δ(µ) ≤ 3) γ = 1.5 또는 2인 경우 성능이 가장 좋게 나타났다.
공정 평균과 산포의 변화를 모두 고려했을 때, γ = 1.5인 경우가 관리도의 성능이 가장 좋았으며 γ = 2인 경우도 거의 유사하게 성능이 좋게 나타났다.
공정 평균의 변화가 아주 큰 경우 (δ(µ) ≥ 3) γ값에 따른 영향은 거의 없는 것으로 나타났다.
그리고 이 논문에서 고려한 모든 변화에 대해서는 γ = 1.5 또는 2로 설정했을 때 X¯-S2 관리도의 성능이 전반적으로 가장 좋음을 확인하였다.
따라서 공정 산포의 변화는 없고 평균의 변화만 발생하는 경우 γ값이 클수록 좋은 성능을 갖는다는 것을 알 수 있는데, 이것은 앞에서 언급했던 바와 같이 γ가 클수록 X¯ 관리도의 관리한계의 폭이 상대적으로 작아지기 때문에 충분히 예상했던 결과이다.
따라서 공정 평균과 산포의 변화에 대한 특별한 정보가 없는 경우, 전통적으로 사용해 왔던 γ = 1 대신 γ = 1.5 또는 2로 설정하는 것이 X¯-S2 관리도의 성능을 더 좋게 한다는 결론을 얻게 되었다.
런길이는 이상신호까지 관측한 표본의 수를 나타내는데, 일반적으로 런길이의 평균값인 ARL을 관리도 성능의 측도로 사용하고 있다. 따라서 효율적인 관리도는 관리상태에서의 평균런길이(in-control ARL; ICARL)는 크고, 이상상태에서의 평균런길이(out-of-control ARL; OCARL)는 작은 관리도라고 할 수 있다. ICARL 및 OCARL은 통계적 가설검정에서 제1종 오류 및 제2종 오류와 관련되어 있으며, 가설검정에서와 마찬가지로 위에서 언급한 두 가지 조건을 모두 만족시킬 수는 없다.
산포의 변화가 상대적으로 작은 경우 (δ(σ) ≤ 1.5) γ = 5일 때 성능이 가장 좋았고, 산포의 변화가 점점 커질수록 관리도의 성능이 가장 좋은 γ값은 점점 작아지는 것을 알 수 있다.
위의 측도를 사용하여 X¯-S2 관리도의 성능을 비교한 결과 공정 평균의 변화가 상대적으로 큰 경우에는 γ가 큰 경우 성능이 좋았으며, 공정 산포의 변화가 상대적으로 큰 경우에는 γ가 작은 경우 성능이 좋게 나타났다.

후속연구

이 논문은 X¯-S2 관리도의 설계 방법에 대해 연구하였는데, 추후 병행하여 사용하는 다른 관리도에 대해서도 이와 같은 연구를 진행할 예정이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	관리도란 무엇인가?	관리도(control chart)는 생산공정에서 이상원인으로 인한 공정의 변화를 탐지하고 공정을 관리하는 통계적 공정관리의 도구로 오랫동안 사용되어져 왔다. 효율적인 관리도의 조건은 공정이 관리상태인 경우 가능한 한 공정을 오래 유지시키고, 이상상태인 경우 신속하게 이상신호를 발생시키는 것이다.
	공정의 품질특성치가 연속형 변수일 경우 사용되는 관리도에는 무엇이 있는가?	공정의 품질특성치(quality characteristic)가 연속형 변수일 경우 일반적으로 정규분포를 가정하며, 관리도를 사용하여 공정의 평균과 산포의 변화를 동시에 탐지하고 있다. 평균과 산포의 변화를 동시에 탐지하는 Shewhart 관리도 중 가장 전통적인 절차로 X¯-R 관리도, X¯-S 관리도, X¯-S2 관리도 등이 있는데 (Montgomery, 2013), 이 논문에서는 관리한계의 설정이 가장 용이한 X¯-S2 관리도를 고려하였다. 이때 각 관리도의 이름은 사용하는 관리통계량을 나타내는 것으로, 각각 표본평균 X¯, 표본범위 R, 표본 표준편차 S, 표본분산 S2을 사용하는 관리도임을 의미한다.
	효율적인 관리도의 조건은 무엇인가?	관리도(control chart)는 생산공정에서 이상원인으로 인한 공정의 변화를 탐지하고 공정을 관리하는 통계적 공정관리의 도구로 오랫동안 사용되어져 왔다. 효율적인 관리도의 조건은 공정이 관리상태인 경우 가능한 한 공정을 오래 유지시키고, 이상상태인 경우 신속하게 이상신호를 발생시키는 것이다. 이러한 관점에서 관리도의 성능을 판단하는 대표적인 측도로 평균런길이(average run length; ARL)가 있다.

참고문헌 (9)

Faraz, A., Saniga, E., and Montgomery, D. (2019). Percentile-based control chart design with an application to Shewhart $\bar{X}$ and $S^2$ control charts, Quality and Reliability Engineering International, 35, 116-126.

상세보기
McCracken, A. K. and Chakraborti, S. (2013). Control charts for joint monitoring of mean and variance: an overview, Quality Technology and Quantitative Management, 10, 17-36.

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McCracken, A. K., Chakraborti, S., and Mukherjee, A. (2013). Control charts for simultaneous monitoring of unknown mean and variance of normally distributed processes, Journal of Quality Technology, 45, 360-376.

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McWilliams, T. , Saniga, E., and Davis, D. (2001). Economic-statistical design of $\bar{X}$ and R or $\bar{X}$ and S charts, Journal of Quality Technology, 33, 234-241.

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Montgomery, D. C. (2013). Statistical Quality Control: A Modern Introduction (7th ed.), John Wiley & Sons, Singapore.
Quinino, R. C., Cruz, F. R. B., and Ho, L. L. (2020). Attribute inspection control charts for the joint monitoring of mean and variance, Computers & Industrial Engineering, 139, 106131.

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Saniga, E. (1991). Joint statistical design of $\bar{X}$ and R control charts, Journal of Quality Technology, 23, 156-162.

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Sanusi, R. A., Mukherjee, A., and Xie, M. (2019). A comparative study of some EWMA schemes for simultaneous monitoring of mean and variance of a Gaussian process, Computers & Industrial Engineering, 135, 426-439.

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Zhang, C, Tsung, F., and Xiang, D. (2016). Monitoring censored lifetime data with a weighted-likelihood scheme, Naval Research Logistics, 63, 631-646.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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