[논문]물리탐사에 유용한 좌표계 회전 정리

송윤호

doi:10.7582/gge.2020.23.2.089

초록
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물리탐사에서 유용한 3차원 좌표계 회전 문제를 일관성있게 정리하였다. 일관성을 유지하기 위한 기준으로 오른손 좌표계의 정의에서 출발하였다. 또한 능동 회전과 수동 회전의 개념을 설명하고, 서로 다른 좌표계 간의 회전 및 역회전은 전치행렬의 관계로서 기준 좌표계와 센서 좌표계 사이의 회전 관계를 명확히 하였다. 3차원 회전에서는 항법 등에서 사용하는 요-피치-롤(yaw-pitch-roll) 회전과 물리검층에서 쉽게 이해할 수 있는 방위각-편차-센서회전 회전 방식의 회전 행렬을 설명하였다. 또한, 이 둘과 Rodrigues 회전 공식에 의한 회전 행렬 각각의 각도를 구하는 수식을 정리하였다. 요-피치-롤 방식의 회전에서 나타나는 "Gimbal Lock" 현상을 그림과 수식으로 설명하고, 이의 해결방안으로 동원되는 사원수(quaternion)의 원리와 적용 방법에 대해서도 서술하였다.

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This tutorial summarizes the coordinate transforms for formulating geophysical problems. To ensure mathematical consistency, this discussion begins with the right-hand rule. Further, the concepts of active and passive transforms are introduced. By extending these concepts, the coordinate transform a...

This tutorial summarizes the coordinate transforms for formulating geophysical problems. To ensure mathematical consistency, this discussion begins with the right-hand rule. Further, the concepts of active and passive transforms are introduced. By extending these concepts, the coordinate transform and its inverse between two coordinates are related to the matrix transpose. The yaw-pitch-roll rotation and the azimuth-deviation-tool face rotation transforms are described as the most frequently used schemes, and the relation between the Rodrigues' rotation formula and these two transforms are mathematically explained. The "Gimbal Lock" problem inherent in yaw-pitch-roll rotation is schematically presented and mathematically derived. As a useful tool overcome this problem, the principle and usage of the quaternion is also described.

주제어

표/그림 (4)

그림 Fig. 1. The schematic of the right-hand rule.
그림 Fig. 2. (a) Passive (coordinate) rotation versus (b) active (vector) rotation for a vector in two dimensions.
그림 Fig. 3. Relation between the XYZ and NED frames in case of a borehole measurement under (a) azimuth-deviation-tool face rotation and (b) yaw-pitch-roll rotation.
그림 Fig. 4. Illustration of "Gimbal Lock." A three-axis gimbal set (a) in its initial state with the three gimbals pivoted orthogonally to each other and (b) after a pitch rotation of 90°.

AI 본문요약
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문제 정의

이는 물리탐사의 서로 다른 기술 분야의 연구 결과들에서 종종 볼 수 있는 바와 같이, 서로 다른 규약에 따라 부호 또는 행렬 연산의 순서가 달라지게 되고 결과적인 수식의 혼동이 필연적으로 발생하기 때문이다. 먼저, 오른손 법칙에 대해 살펴본다. Fig.
비교를 위해서 물리검층 센서의 회전을 표현하는 방위각-편차-센서회전 방식에 대해서도 동일한 시험을 해보자. 식 (3)에서 y축을 따른 회전각 θ를 90°로 하면
사원수는 스칼라와 벡터를 함께 나타내는 일종의 4차원 변수로서 항법, 로봇공학 및 애니메이션 등에서 “Gimbal Lock”문제를 해결하기 위한 필수 도구로 사용되며 많은 상용 프로그램 언어에도 이 연산 함수가 포함되어 있다. 역시 인터넷 검색만으로도 사원수의 역사 및 배경에 대한 다양한 동영상 및 설명 자료를 쉽게 찾을 수 있으므로, 여기서는 지금까지 살펴본 3차원 회전과의 비교 목적으로 간단히 소개한다. 전통적인 물리탐사에서는 “Gimbal Lock” 현상이 발생하는 경우가 거의 없으나, 앞으로 무인비행체를 이용한 탐사나 GPS 수신이 불가능한 지하 터널 내의 무인 탐사로까지 적용 분야가 확장할 것을 기대한다면 적어도 그 원리를 알아두는 것은 필요할 것으로 생각된다.
이 해설 논문에서는 물리탐사에서 종종 마주치게 되는 3차원 좌표계 회전 문제에 대해 대표적으로 일관성 있는 방식으로 정리하였다. 여기서 대표적이라 함은 좌표계 회전을 가장 많이 사용하고 있는 항법이나 로봇공학에서 기본적으로 사용하는 오른손 좌표계에 기본을 두었다는 것이며, 그 기본 개념의 정리에서부터 서술을 시작하였다.

제안 방법

3차원 회전에서는 항법 등에서 사용하는 요-피치-롤 회전과 물리검층에서 쉽게 이해할 수 있는 방위각-편차-센서회전 변환 방식의 회전 행렬을 정리하였으며, 이 둘과 Rodrigues 회전 공식에 의한 회전 행렬이 Euler의 회전 정리에 의해 등가인 원리에 입각해 각각의 각도를 구하는 수식을 정리하였다. 서로 직교하는 3축을 회전축으로 하는 회전 행렬에서는 자유도가 줄어드는 경우가 발생함을 그림과 수식을 통해 보였으며, 이의 해결방안으로 동원되는 사원수의 원리를 소개하고 결과적인 회전 행렬식이 기존의 회전 행렬 요소와 서로 동일함으로써 필요에 따라 적절한 방식을 사용할 수 있는 수학적 토대를 설명하였다.
여기서 대표적이라 함은 좌표계 회전을 가장 많이 사용하고 있는 항법이나 로봇공학에서 기본적으로 사용하는 오른손 좌표계에 기본을 두었다는 것이며, 그 기본 개념의 정리에서부터 서술을 시작하였다. 가능한 한 인용문헌을 참고하지 않고서도 여기의 수식만으로 서술의 완결성을 확보하고자 하였으며, 각속도의 변환 등 더욱 복잡한 수식 유도로의 확장성을 위해 참고가 필요한 경우의 문헌만 소수 인용하였다.

이론/모형

사원수 q는 아래와 같이 4개의 실수를 이용하여 표현된다(http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/academic/class/16741-s07/www/ index.html의 Lecture Note 8의 표현 방식을 따랐다(2020년 3 월 18일 검색)).
행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않기 때문에 회전의 순서가 매우 중요함에 대해서는 아무리 강조해도 지나치지 않음을 유념해야 한다. 실제로 적용분야별로 서로 다른 순서를 사용하고 있는데, 여기서는 항법 분야에서 기본적으로 사용하는 방식(Stovall, 1997)을 채택한다. 그 이유는 기준 좌표계는 고정되어 있는 반면 센서의 자세는 변화할 수 있기 때문인데, 즉 센서를 항법에서 정의하는 물체(body frame)로 고려하게 되면 항법에서 사용하는 다양한 해법의 채택을 통한 적용 분야의 확장에 있어서 혼동이 없을 것이기 때문이다.

성능/효과

3차원 회전에서는 항법 등에서 사용하는 요-피치-롤 회전과 물리검층에서 쉽게 이해할 수 있는 방위각-편차-센서회전 변환 방식의 회전 행렬을 정리하였으며, 이 둘과 Rodrigues 회전 공식에 의한 회전 행렬이 Euler의 회전 정리에 의해 등가인 원리에 입각해 각각의 각도를 구하는 수식을 정리하였다. 서로 직교하는 3축을 회전축으로 하는 회전 행렬에서는 자유도가 줄어드는 경우가 발생함을 그림과 수식을 통해 보였으며, 이의 해결방안으로 동원되는 사원수의 원리를 소개하고 결과적인 회전 행렬식이 기존의 회전 행렬 요소와 서로 동일함으로써 필요에 따라 적절한 방식을 사용할 수 있는 수학적 토대를 설명하였다.

후속연구

여기에서 정리한 방식이 물리탐사 연구에서 사용할 수 있는 유일한 방식이 아님은 자명하다. 그러나, 연구 과정에서 참고하는 문헌 별로 상이한 유도 방법을 사용하고, 종종 오류가 수정되지 않은 논문들로부터 적지 않은 혼동을 겪고 있는 학생들이나 연구자들에게 이 논문에서 정리한 방식이 도움이 될 수 있을 것으로 기대된다. 특히, 앞으로 물리탐사 기술의 적용 분야가 무인비행체를 이용한 공중 탐사나 GPS 수신이 불가능한 터널 또는 지하공간으로 확장될 때에는 자이로스코프와 가속도계를 이용한 자세 결정 및 위치 추정 과정이 필연적으로 요구되므로, 여기서의 방식은 관성항법(inertial navigation)에서 개발된 여러 가지 자료처리 기법을 접목시키는 데 있어서도 호환성 면에서 유리하다고 생각된다.
그렇다면 관심 사항은 어떻게 사원수 요소 값을 우리가 이해하기 쉬운 Euler 각도에 따른 회전 행렬의 요소와 대응시킬 것인가가 될 것이다. 조금 복잡하지만 식 (25)를 모든 요소별로 계산을 수행하여 정리하면 식 (29)와 같이 3 × 3 회전 행렬식이 얻어지게 되므로 이를 식 (9)에 나타낸 Euler각도를 이용한 회전 행렬 및 Rodrigues 회전 공식의 행렬 D와 비교함으로써 원하는 각도를 구할 수 있다.
전통적인 물리탐사에서는 “Gimbal Lock” 현상이 발생하는 경우가 거의 없으나, 앞으로 무인비행체를 이용한 탐사나 GPS 수신이 불가능한 지하 터널 내의 무인 탐사로까지 적용 분야가 확장할 것을 기대한다면 적어도 그 원리를 알아두는 것은 필요할 것으로 생각된다.
기준 좌표계와 수신 좌표계의 3차원 회전 관계를 나타낼 때에는 회전축을 기준으로 각각의 회전각(흔히 Euler 각도라고 한다) 만큼의 회전을 3회에 걸쳐 순차적으로 수행하는 방법이 가장 흔하게 사용되는데, 이중에서도 항법이나 로봇공학, 애니메이션에서는 서로 직교하는 3개의 회전축을 기준한 회전인요-피치-롤(yaw-pitch-roll) 관계식이 가장 많이 사용되고 있다. 한편, 물리탐사 특히, 시추공을 이용한 물리검층에서는 방위각(azimuth)-편차(deviation)-센서회전(tool face rotation)이 좀 더 이해하기 쉬운 개념이 될 것이다. 이는 요-피치-롤 의 경우에는 일단 하나의 각도로 먼저 회전하게 되면 그 다음의 회전은 이미 기존의 좌표계로부터 벗어나서 공간적으로 쉽게 연상하기 어렵기 때문이다.

참고문헌 (4)

Russel, M. K., and Russel, A. W., 1979, Surveying of boreholes, US Patent 4,163,324.
Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., 2006, Robot modeling and control, John Wiley & Sons, Inc., 407p.
Stovall, S. H., 1997, Basic inertial navigation, Naval Air Warefare Center Weapons Division, NAWCWPNS TM8128.
Titterton, D. H., and Weston, J. L., 2004, Strapdown inertial navigation technology, 2nd Ed., The Institution of Electrical Engineers, 581p.

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