[논문]함수형 ARCH 분석 및 다변량 변동성을 통한 일중 로그 수익률 시간 간격 선택

김다희; 윤재은; 황선영

doi:10.5351/kjas.2020.33.3.297

함수형 ARCH 분석 및 다변량 변동성을 통한 일중 로그 수익률 시간 간격 선택
Functional ARCH analysis for a choice of time interval in intraday return via multivariate volatility 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.33 no.3, 2020년, pp.297 - 308

김다희 (숙명여자대학교 통계학과) , 윤재은 (숙명여자대학교 통계학과) , 황선영 (숙명여자대학교 통계학과)

초록
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본 논문에서는 고빈도 함수적 ARCH 모형을 소개하고 근사모형으로써 다변량 변동성 모형을 고려하였다. 이를 기반으로 함수형 변동성 분석에서 중요한 요소인 일중 로그 수익률의 적절한 시간 간격을 찾아보았다. 또한 함수적 ARCH 모형에서 l-시차 후 변동성 예측식을 제시하고 고빈도 KOSPI 자료에 적합하여 예시하였다.

We focus on the functional autoregressive conditional heteroscedasticity (fARCH) modelling to analyze intraday volatilities based on high frequency financial time series. Multivariate volatility models are investigated to approximate fARCH(1). A formula of multi-step ahead volatilities for fARCH(1) model is derived. As an application, in implementing fARCH(1), a choice of appropriate time interval for the intraday return is discussed. High frequency KOSPI data analysis is conducted to illustrate the main contributions of the article.

주제어

표/그림 (7)

표 Table 4.1. Estimated results of multivariate GARCH
$Figure 4.1. Plot of <TEX>$\hat{\beta}$</TEX>(t, s) (h = 1, 3, 5, 7, 10 in order).$ 그림 Figure 4.1. Plot of $\hat{\beta}$(t, s) (h = 1, 3, 5, 7, 10 in order).
$Figure 4.2. Plot of <TEX>$\hat{\delta}$</TEX>(t) (h = 1, 3, 5, 7, 10 in order).$ 그림 Figure 4.2. Plot of $\hat{\delta}$(t) (h = 1, 3, 5, 7, 10 in order).
그림 Figure 4.3. Squared return (dotted line) and estimated intraday volatility (solid line).
표 Table 4.2. MSE of volatility estimated by fARCH(1)
표 Table 4.3. MAE of volatility estimated by fARCH(1)
표 Table 4.4. MAPE of volatility estimated by fARCH(1)

AI 본문요약
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문제 정의

하지만 다변량 변동성 분석의 단점인 차원이 증가함에 따른 모형 모수의 급격한 증가(이를 curse of dimensionality라 부른다)를 피하기 위해 저차원(4절 예제에서는 m = 3차원) 다변량 분석을 일중 시간대를 이동하면서 여러 번 분석하는 방식으로 해결하고자 하였다. 둘째, 함수형 변동성 분석에서 중요한 요소인 일중 로그 수익률의 시간 간격에 대해 연구하였다. Hansen과 Lunde (2006)는 일중 로그 수익률의 시간 간격 결정을 실현변동성(realized volatility) (Lee와 Hwang, 2017) 관점에서 5분으로 권장하였다.
따라서 총 12 × 4 × 5 = 240개의 다변량 변동성 모형 분석이 이루어졌으며 이들을 동일 잣대로 비교하기 위해서 엄밀한 통계적 추론과 모형 진단 과정은 생략하였으며 이를 추후 연구로 남겨두고자 한다.
함수형 변동성 모형의 근사 모형으로써 (다양한) 다변량 변동성 모형을 고려하였다. 또한 다변량 변동성 모형이 함수형 변동성 모형을 성공적으로 근사시킨다는 전제 아래 fARCH(1) 모형 적합 자료를 구성하는 일중 로그 수익률 계산에 필요한 시간 간격의 선택에 대해 알아보았다. 본 연구의 기여는 엄밀한 수리통계학적 측면보다는 기존의 다변량 변동성과 함수형 변동성(fARCH(1) 모형)의 연계성을 예시하는 데 있으며 이에 따른 본 연구의 한계점과 추후 연구 방안에 대해 논의하고자 한다.
모형 fARCH(1)에서의 함수 δ(t)와 연산자 β(t)의 추정에 대해 살펴보겠다.
본 논문에서는 고빈도 금융 시계열의 변동성에 초점을 맞추고 이를 추정하는 함수형 모형인 fARCH(1)에 대해 연구하였다. 함수형 변동성 모형의 근사 모형으로써 (다양한) 다변량 변동성 모형을 고려하였다.
국내 금융시계열 연구로서 Lee와 Hwang (2017)및 Jin 등 (2017)은 실현변동성 입장에서 1분 및 5분 간격 일중 로그 수익률 사용을 제시한 바 있다. 본 연구에서는 시간 간격을 함수형 변동성 관점에서 정하고자 한다. 이를 위해 고빈도 자료에서 시간 간격이 다른 일중 로그 수익률(들)을 구한 후 다변량 GARCH 모형과 fARCH(1) 모형을 각각 적합하여 변동성을 추정하고, 다변량 GARCH 모형과 다양한 시간 간격의 fARCH(1) 모형 적합 결과를 비교하여 적절한 시간 간격을 제시해 보았다.
또한 다변량 변동성 모형이 함수형 변동성 모형을 성공적으로 근사시킨다는 전제 아래 fARCH(1) 모형 적합 자료를 구성하는 일중 로그 수익률 계산에 필요한 시간 간격의 선택에 대해 알아보았다. 본 연구의 기여는 엄밀한 수리통계학적 측면보다는 기존의 다변량 변동성과 함수형 변동성(fARCH(1) 모형)의 연계성을 예시하는 데 있으며 이에 따른 본 연구의 한계점과 추후 연구 방안에 대해 논의하고자 한다. 첫째, 함수형 변동성 모형은 함수적 점화식 형태로서 fGARCH(p, q)로 확장될 수 있으나 (현재로서는) 자료 분석 프로그램으로서의 R-code는 fARCH(1)과 fGARCH(1, 1)만이 가능하며 fARCH(1) R-code는 안정적이나 fGARCH(1, 1)은 아직 불안정적으로 판단되어 (Yoon 등, 2017, 2018) 본 연구에서는 fARCH(1)만을 고려하였다.
본 절에서는 대표적인 다변량 변동성 모형에 대해 소개하고자 한다. 먼저 특정 k번째 day(일)에서의 m개 일중 로그 수익률로 이루어진 벡터 r_k = (r_1k , r_2k , … , r_mk )^T 를 다음과 같이 모형화한다.
본 절에서는 앞에서 소개한 모형을 국내 KOSPI 지수 자료에 적합한 결과를 예시하고 이를 기반으로 fARCH(1) 모형 적합 시 이용할 적절한 로그 수익률 시간 간격을 제시하고자 한다. 분석 대상인 고빈도 자료는 2010년 1월 5일부터 2015년 6월 30일까지 1,349일간의 개장 시간부터 마감 시간까지 1분 간격으로 조사된 고빈도 KOSPI 자료이다.
최근에는 자료를 수집하고 처리하는 능력이 발전하면서 하루의 일중 수익률이 곡선 형태의 연속적인 흐름으로 표현되는 금융 자료를 얻을 수 있게 되었다. 이런 곡선 형태의 자료를 하나의 함수로 생각할 수 있고 함수적 자료를 얻을 수 있음에 따라 GARCH 형태의 금융 시계열 모형을 함수적 형태로 확장시키는 방안이 제시되었다. 즉, 고빈도 자료를 이용한 FDA (Hörmann과 Kokoszka, 2012) 관점에서 접근하는 함수적 변동성 모형 적합을 고려해볼 수 있다.
예시된 분석의 안정성(stability) 및 강건성(robustness)을 위해서 자료의 기간을 두 부분 혹은 세 부분으로 나누어서 세부분석을 하는 것도 좋을 것이다. 이와 함께 다른 고빈도 금융 시계열에의 적용을 추후 연구과제로 남겨두고자 한다.

가설 설정

랜덤(iid) 벡터인 ek = (e1k , e2k , … , emk )T 에 대해서는 E(ek ) = 0이고 Var(ek ) = I라 가정한다.
유한한 표본(크기 N )에서 평균함수에 대해서는 µ(t) = E[y(t)] = 0을 가정하여 다음의 공분산 연산자와 교차 공분산 연산자를 이용한다.
일중 로그 수익률 {yk (t), 1 ≤ k ≤ T, 0 ≤ t ≤ S}은 함수공간 F = H에서의 fARCH(1) 프로세스이고 {ϵk}에 대해서 E(ϵk(t)) = 0, 이라고 가정한다.

제안 방법

9시 15분, 9시 45분, 10시 15분, 10시 45분, … , 14시 15분, 14시 45분 이렇게 각 시간대별로 두 시점을 30분 간격으로 추출하여(총 12시점) 순서대로 세 시점씩 묶어 총 4개의 3변량 벡터시계열 r1k , r2k , r3k , r4k 을 생성하였다.
KOSPI 자료에서 5개의 시간 간격 h를 따라 구한 일중 로그 수익률 y_k (t)에 fARCH(1) 모형을 적합한 결과를 소개하겠다. Figure 4.
또한 S = 1이라고 가정하여 구간 [0, 1]이 하루를 나타내는 것으로 조정하여 0은 시작시간을 1은 종료시간을 표시한다. 고빈도 자료에서 적절한 시간간격을 잡아 일중 로그 수익률을 계산할 수 있으며, 본 연구에서는 1분, 3분, 5분, 7분, 10분 간격으로 로그 수익률을 계산하여 이용하였다. Hansen과 Lunde (2006)는 5분 간격 사용을 제안하였으며 Yoon 등 (2017, 2018)에서도 5분 간격 일중 로그 수익률을 이용하였다.
다변량 GARCH 모형 분석에서는 위의 로그 수익률 중 12개의 시점 t에서의 로그 수익률을 추출하여 분석에 이용하였다. 9시 15분, 9시 45분, 10시 15분, 10시 45분, … , 14시 15분, 14시 45분 이렇게 각 시간대별로 두 시점을 30분 간격으로 추출하여(총 12시점) 순서대로 세 시점씩 묶어 총 4개의 3변량 벡터시계열 r_1k , r_2k , r_3k , r_4k 을 생성하였다.
추후 고차 모형이나 다른 다변량 변동성 분석을 시도해 볼 수 있을 것이다. 둘째, 하루에 12시점에서의 다변량 변동성을 추정하기 위해 4개의 3변량 벡터(r_1k , r_2k , r_3k , r_4k ) 분석을 4개의 모형(EWMA, CCC(1, 1), DCC(1, 1), BEKK(1, 1)) 각각에 대해 수행하였다. 또한 5개의 시간 간격 일중 로그 수익률에 대해 동일한 모형을 적합하였다.
다변량 GARCH 모형의 차원을 증가시키면 무한차원의 개념으로 확장시킬 수 있고, 이는 무한차원을고려한 함수적 변동성과 비교하기에 적합하다고 판단된다. 따라서 다변량 변동성 모형으로 추정한 변동성을 기준으로 fARCH(1) 모형으로 추정한 변동성을 비교하기로 한다. fARCH(1) 모형을 적합하여 변동성을 추정하면 거래일 하루 동안의 움직임을 나타내는 곡선의 형태의 변동성이 추정된다.
본 연구에서는 Hwang등 (2009)의 결과를 토대로 자료에 BEKK, CCC 모형을 적합 시키고 이와 더불어 비모수적인 모형인 EWMA 모형과 CCC 모형을 확장시킨 모형인 DCC 모형을 적합하였다. 모든 벡터 시계열 r_k 에 공통적인 모형을 적합시키기 위하여 r_k 의 평균 벡터를 영으로 설정하고 EWMA, CCC(1, 1), DCC(1, 1), BEKK(1, 1) 모형을 적합하였다. Table 4.
보통 h = 5로 하여 5분 간격 로그 수익률을 계산하여 (Hansen과 Lunde, 2006) 이용하며 Yoon 등 (2017)에서도 고빈도 KOSPI 지수 자료에 fARCH(1) 모형 적합 시 h = 5로 하여 5분 간격 로그 수익률을 계산하여 이용하였다. 본 연구에서는 5분 간격 로그 수익률(h = 5) 뿐 아니라 1분 간격(h = 1), 3분 간격(h = 3), 7분 간격(h = 7), 10분 간격(h = 10)으로 총 5개의 일중 로그 수익률을 고려하였으며 이 중 최적 시간 간격 h를 찾고자 하였다. 참고로, Hörmann 등 (2013)의 공동저자인 Professor Ron Reeder (University of Utah, USA)가 보내준 R 코드를 수정/조정하여 fARCH(1) 분석을 수행했음을 밝혀둔다.
Hwang 등 (2009)은 국내 금융 시계열 분석에 있어서 BEKK 및 CCC 모형이 다른 다변량 GARCH 모형들에 비해 우수함을 보여주었다. 본 연구에서는 Hwang등 (2009)의 결과를 토대로 자료에 BEKK, CCC 모형을 적합 시키고 이와 더불어 비모수적인 모형인 EWMA 모형과 CCC 모형을 확장시킨 모형인 DCC 모형을 적합하였다. 모든 벡터 시계열 r_k 에 공통적인 모형을 적합시키기 위하여 r_k 의 평균 벡터를 영으로 설정하고 EWMA, CCC(1, 1), DCC(1, 1), BEKK(1, 1) 모형을 적합하였다.
이러한 모형을 Equi-CCC 모형이라 칭하며 이에 대한 이론 및 응용 연구가 별개로 진행되고 있음을 밝혀둔다. 본 연구에서는 다변량 변동성을 연속형 함수형 변동성의 근사 개념으로 추정한 후, 응용으로서 일중 로그 수익률 계산의 시간 간격 선택 과정을 예시하기 위해 2010년 1월 5일부터 2015년 6월 30일까지 총 1,349일간의 1분 간격 고빈도 KOSPI 자료 분석을 수행하였다. 예시된 분석의 안정성(stability) 및 강건성(robustness)을 위해서 자료의 기간을 두 부분 혹은 세 부분으로 나누어서 세부분석을 하는 것도 좋을 것이다.
본 연구에서는 시간 간격을 함수형 변동성 관점에서 정하고자 한다. 이를 위해 고빈도 자료에서 시간 간격이 다른 일중 로그 수익률(들)을 구한 후 다변량 GARCH 모형과 fARCH(1) 모형을 각각 적합하여 변동성을 추정하고, 다변량 GARCH 모형과 다양한 시간 간격의 fARCH(1) 모형 적합 결과를 비교하여 적절한 시간 간격을 제시해 보았다.
본 연구의 기여는 엄밀한 수리통계학적 측면보다는 기존의 다변량 변동성과 함수형 변동성(fARCH(1) 모형)의 연계성을 예시하는 데 있으며 이에 따른 본 연구의 한계점과 추후 연구 방안에 대해 논의하고자 한다. 첫째, 함수형 변동성 모형은 함수적 점화식 형태로서 fGARCH(p, q)로 확장될 수 있으나 (현재로서는) 자료 분석 프로그램으로서의 R-code는 fARCH(1)과 fGARCH(1, 1)만이 가능하며 fARCH(1) R-code는 안정적이나 fGARCH(1, 1)은 아직 불안정적으로 판단되어 (Yoon 등, 2017, 2018) 본 연구에서는 fARCH(1)만을 고려하였다. 다변량 변동성 모형으로는 Lee와 Hwang (2017), Hwang 등(2009)에서 국내 KOSPI 자료 변동성 모형으로 사용한 EWMA, CCC(1, 1), DCC(1, 1), BEKK(1, 1) 모형을 분석하였다.
추정된 변동성 중에서 다변량 변동성 모형 적합 시 이용했던 12개의 시점 t에서의 변동성을 고려하여 다변량 변동성 모형을 적합한 후 추정한 변동성과 비교하였다.
첫째, 함수적 변동성은 다변량 변동성에서 무한차수(infinite dimensional)에 해당하는 연속개념이므로 이론적으로는 하루의 거래 시간 m개를 선택해서 m개의 일중 로그 수익률을 벡터로 모아 놓은 m 변량 변동성 분석을 한 후 m을 무한대로 보냄으로써 함수적변동성을 근사(approximation)할 수 있다. 하지만 다변량 변동성 분석의 단점인 차원이 증가함에 따른 모형 모수의 급격한 증가(이를 curse of dimensionality라 부른다)를 피하기 위해 저차원(4절 예제에서는 m = 3차원) 다변량 분석을 일중 시간대를 이동하면서 여러 번 분석하는 방식으로 해결하고자 하였다. 둘째, 함수형 변동성 분석에서 중요한 요소인 일중 로그 수익률의 시간 간격에 대해 연구하였다.

대상 데이터

본 절에서는 앞에서 소개한 모형을 국내 KOSPI 지수 자료에 적합한 결과를 예시하고 이를 기반으로 fARCH(1) 모형 적합 시 이용할 적절한 로그 수익률 시간 간격을 제시하고자 한다. 분석 대상인 고빈도 자료는 2010년 1월 5일부터 2015년 6월 30일까지 1,349일간의 개장 시간부터 마감 시간까지 1분 간격으로 조사된 고빈도 KOSPI 자료이다. 특정 k일의 시간 t에서의 주가를 P_k (t)라고 할 때, y_k (t) = log P_k (t) − log P_k (t − h)로 일중 로그 수익률을 정의한다.

데이터처리

또한 시간 간격 h가 커질수록 MSE와 MAE 값이 커지는 것을 볼 수 있다. 측정 단위와 무관한 통계량으로써 mean absolute percentage error (MAPE)를 고려하였다. Table 4.

이론/모형

B-스플라인 기저는 flexible system을 생성하며 상대적으로 작은 K에서 좋은 근사를 하는 것으로 알려져 있다. Yoon 등 (2018)의 실증 분석에서는 B-스플라인 기저를 이용하여 추정하였다.
첫째, 함수형 변동성 모형은 함수적 점화식 형태로서 fGARCH(p, q)로 확장될 수 있으나 (현재로서는) 자료 분석 프로그램으로서의 R-code는 fARCH(1)과 fGARCH(1, 1)만이 가능하며 fARCH(1) R-code는 안정적이나 fGARCH(1, 1)은 아직 불안정적으로 판단되어 (Yoon 등, 2017, 2018) 본 연구에서는 fARCH(1)만을 고려하였다. 다변량 변동성 모형으로는 Lee와 Hwang (2017), Hwang 등(2009)에서 국내 KOSPI 자료 변동성 모형으로 사용한 EWMA, CCC(1, 1), DCC(1, 1), BEKK(1, 1) 모형을 분석하였다. 추후 고차 모형이나 다른 다변량 변동성 분석을 시도해 볼 수 있을 것이다.
필요한 모형의 수식 및 개요를 Hörmann 등 (2013) 및 Yoon 등 (2017)을 기반으로 정리하도록 한다.
본 논문에서는 고빈도 금융 시계열의 변동성에 초점을 맞추고 이를 추정하는 함수형 모형인 fARCH(1)에 대해 연구하였다. 함수형 변동성 모형의 근사 모형으로써 (다양한) 다변량 변동성 모형을 고려하였다. 또한 다변량 변동성 모형이 함수형 변동성 모형을 성공적으로 근사시킨다는 전제 아래 fARCH(1) 모형 적합 자료를 구성하는 일중 로그 수익률 계산에 필요한 시간 간격의 선택에 대해 알아보았다.

성능/효과

둘째, 하루에 12시점에서의 다변량 변동성을 추정하기 위해 4개의 3변량 벡터(r_1k , r_2k , r_3k , r_4k ) 분석을 4개의 모형(EWMA, CCC(1, 1), DCC(1, 1), BEKK(1, 1)) 각각에 대해 수행하였다. 또한 5개의 시간 간격 일중 로그 수익률에 대해 동일한 모형을 적합하였다. 따라서 총 12 × 4 × 5 = 240개의 다변량 변동성 모형 분석이 이루어졌으며 이들을 동일 잣대로 비교하기 위해서 엄밀한 통계적 추론과 모형 진단 과정은 생략하였으며 이를 추후 연구로 남겨두고자 한다.
본 연구의 두 가지 기여는 다음과 같다. 첫째, 함수적 변동성은 다변량 변동성에서 무한차수(infinite dimensional)에 해당하는 연속개념이므로 이론적으로는 하루의 거래 시간 m개를 선택해서 m개의 일중 로그 수익률을 벡터로 모아 놓은 m 변량 변동성 분석을 한 후 m을 무한대로 보냄으로써 함수적변동성을 근사(approximation)할 수 있다. 하지만 다변량 변동성 분석의 단점인 차원이 증가함에 따른 모형 모수의 급격한 증가(이를 curse of dimensionality라 부른다)를 피하기 위해 저차원(4절 예제에서는 m = 3차원) 다변량 분석을 일중 시간대를 이동하면서 여러 번 분석하는 방식으로 해결하고자 하였다.

후속연구

또한 12변량 변동성 분석을 피하기 위해 4개의 3변량 분석을 수행하였으나 “curse of dimensionality”를 피할 수 있는 간결한 모형이 제안된다면 12변량 변동성 분석을 통한 fARCH(1) 함수형 변동성 근삿값을 제시할 수 있을 것이다.
이를 확장할 수 있다면 24변량 혹은 36변량 변동성 모형으로 좀 더 “개선된” 근사-변동성을 얻을 수 있을 것이다.
임의의 미래시차 2, 3, … , l에 대한 공식은 아직 보고된 바 없으므로 점화식 공식으로 유도한다면 후속연구에 유용할 것이다.
다변량 변동성 모형으로는 Lee와 Hwang (2017), Hwang 등(2009)에서 국내 KOSPI 자료 변동성 모형으로 사용한 EWMA, CCC(1, 1), DCC(1, 1), BEKK(1, 1) 모형을 분석하였다. 추후 고차 모형이나 다른 다변량 변동성 분석을 시도해 볼 수 있을 것이다. 둘째, 하루에 12시점에서의 다변량 변동성을 추정하기 위해 4개의 3변량 벡터(r_1k , r_2k , r_3k , r_4k ) 분석을 4개의 모형(EWMA, CCC(1, 1), DCC(1, 1), BEKK(1, 1)) 각각에 대해 수행하였다.

참고문헌 (15)

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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