[논문]프렉탈 차원을 이용한 관측소 밀도에 관한 연구

염준근; 김혜중; 이영섭; 정효상; 조천호

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염준근 (동국대학교 통계학과) , 김혜중 (동국대학교 통계학과) , 이영섭 (동국대학교 통계학과) , 정효상 (기상연구소 예보연구실) , 조천호 (기상연구소 예보연구실)

일반적으로 지형이나 지역적 조건으로 인하여 관측소의 위치가 일정하게 분포되어 있지 않다. 이러한 지역적으로 불균형적인 관측소의 분포는 프렉탈 차원으로 표시되어 질 수 있다. 즉 차원이 0 일 때는 모든 관측소가 하나의 장소에 있을 때이고 2 일 때는 모든 관측소가 균일하게 분포되어 있는 경우이다. 현재 우리나라의 관측소들의 위치를 관찰치로 하여 각 관측소간의 거리와 미리 주어진 거리와의 관계를 선형 회귀식을 구하여 프렉탈 차원을 구하였다. 각 관측소가 창설된 연도별 관측소의 위치를 추가함에 따라 프렉탈 차원의 변화를 계산하였다.

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문제 정의

또한 차원의 차이가 여전히 존재하면 프렉탈 차원이나 상대적인 척도 지역을 증가시킬 수 있는 새로운 관측소를 추가하는 것이 기존의 관측소의 측정 능력을 향상시키는 좋은 방법이라고 할 수 있다. 본 논문에서는 그룹별로 관측소를 추가하였으나 향후에는 각 지역별로 관측소를 하나씩 추가 또는 제거함에 따라 프렉탈 차원 D의 변화 과정을 모색하여 관측소 밀도 또는 민감도의 영향을 고찰해 보고자 한다.

제안 방법

다음 1970~1979년대 창설된 관측소들을 위의 그룹에 추가하여 관측소들 간의 거리와 C(R)를 계산한 후 log(C)와 log(R)의 선형 회귀식에서의 기울기 D2를 추정하였다. 마지막으로 1980년대 이후에 창설된 관측소를 추가함으로써 다시 log(C)와 log(R)의 선형 회귀식의 기울기인 D3를 추정하였다.
모든 실수 日에 대하여 선형적인 관계를 구할 수가 없다. 따라서 가능한 한 모든 쌍의 관측 소간의 거리의 최대값과 최소값을 조사하여 제한적이나마 다양한 日에 대하여 C(R)을 조사한다. 이렇게 함으로써 log(C)와 log(R)의 관계를 회귀분석 방법을 이용하여단순 회귀식을 구할 수 있고 그 때의 기울기가 D의 추정치가 된다.
후 log(C)와 log(R)의 선형 회귀식에서의 기울기 D2를 추정하였다. 마지막으로 1980년대 이후에 창설된 관측소를 추가함으로써 다시 log(C)와 log(R)의 선형 회귀식의 기울기인 D3를 추정하였다. 이렇게 관측소를 추가함으로써 프렉탈 차원 D의 변화를 관찰하고자 한다.
먼저 1970년대 이전에 창설된 관측소들 간의 거리를 조사한 후 각기 다른 日을 이용하여 C(R)를 구하였다. log(C)와 log(R)의 선형 회귀식을 구한 다음 기울기 이를 추정하였다.
본 연구에서는 우리나라 전지역의 관측소의 창설연도의 위치 즉, 경도와 위도를 이용하여 모든 관측 소간의 유클리디안 거리를 계산하였다. 각 관측소의 창설연도에 따라 1970년 이전, 1970~ 1979, 1980년대 이후의 세 그룹으로 나누었다.
서로 다른 통계적인 인덱스를 사용하여 동질적인 위치들의 군집을 통하여 (Ouchi and Uekawa, 1986), 또는 프렉탈 차원(Mandelbrot, 1983)을 이용하여 정상적 격자(grid)를 계산함으로써 보간오차 (interpolation errors)를 즉정하였다.
이용하여 측정할 수 있다. 이 특정 방법에는 Box-counting 방법(Hirata et al., 1989)과 상관 적분 (correlation integral) 방법 (Grassberger et al., 1983) 이 있으나 본 논문의 자료의 경우에는 box-counting 방법을 사용할 경우 box의 크기나 위치에 따라 프렉탈 차원의 추정값이 불안정하므로 상관 적분 방법을 쓰기로 하였다. 두 지점의 상관 적분(two-point correlation integral) C(R)은 종종 공간에 분포되어 있는 지점들의 집합들 구조(예를 들면, 지진, 관측소, 또는 은하계)를 평가하는데 사용되어 진다.
마지막으로 1980년대 이후에 창설된 관측소를 추가함으로써 다시 log(C)와 log(R)의 선형 회귀식의 기울기인 D3를 추정하였다. 이렇게 관측소를 추가함으로써 프렉탈 차원 D의 변화를 관찰하고자 한다.

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