[논문]일반화된 유한차분법을 이용한 균열해석

윤영철; 김동조; 이상호

일반화된 유한차분법을 이용한 균열해석
A Generalized Finite Difference Method for Crack Analysis 원문보기

윤영철 (명지전문대학 토목과) , 김동조 (연세대학교 사회환경시스템공학부) , 이상호 (연세대학교 사회환경시스템공학부)

A generalized finite difference method for solving solid mechanics problems such as elasticity and crack problems is presented. The method is constructed in framework of Taylor polynomial based on the Moving Least Squares method and collocation scheme based on the diffuse derivative approximation. The governing equations are discretized into the difference equations and the nodal solutions are obtained by solving the system of equations. Numerical examples successfully demonstrate the robustness and efficiency of the proposed method.

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문제 정의

이동최소제곱법에 근거한 Taylor 전개와 콜 로케이션법에 근거한 분산차분 scheme으로 구성된 일반화된 유한차분법이다. 고체역학(탄성론) 특히 균열전파문제를 정식화하고 관련된 공학문제를 해석하여, 제안된 해석기법의 강건성, 정확성, 효율성을 제시하고자 한다.
이 기법들은 무요소 근사함수의 미분계산비용을 대폭 감소시키고 경계조건처리를 단순화하는 등 기존 무요소법의 단점을 극복했다는 점에서 큰 의미를 갖는다. 본 연구는 적분방정식의 도입없이 지배 미분방정식을 직접 이산화하는 무요소법을 제시한다. 이동최소제곱법에 근거한 Taylor 전개와 콜 로케이션법에 근거한 분산차분 scheme으로 구성된 일반화된 유한차분법이다.

가설 설정

응력에 대한 이론해는 Timoshenko와 Goodier(1970)를 참고할 수 있다. 평면응력상태를 가정했고, E = 10, 000 psi, v = 0.3 이다.

제안 방법

19")을 이용해서 계산했!다. 계산시 선단주변에 절점이 좀 더 집중되는 적응적 절점배치를사용하였다. 균열이 a = 2.
이 계수들은 이동최소제곱법을 이용하여 한꺼번에 구할 수 있으며 분산미분이라 명명했다. 지배 미분방정식의 이산화를 위해 콜 로케이션법의 잔차식에 분산미분을 적용하여 분산 차분식을 구성하였고, 해석대상 내의 각각의 절점에 대해 분산 차분식을 모아 시스템 매트릭스를 구성했다. 이 시스템을 풀면 절점해를 얻게 되고, 이 절점 해를 이용하여 임의의 위치에서 변위와 응력 (또는 변형률)을 계산할 수 있다.

이론/모형

Taylor 다항식 식(3) 을 X 에 대해 미분하고 元에서 x 로의 극한을 취하면 원하는 차수의 미분계수를 얻을 수 있는데 실제 Taylor 다항식의 미분계수는 이동최소제곱법 (Moving Least Squares Method)을 통하여 계산한다. 결과적으로 grid의 구성이 필요하고 근사함수를 갖고 있는 못한 기존의 유한차분법과 달리 적절히 배치된 절점만으로 근사함수와 그 미분을 간단히 계산할 수 있다.

성능/효과

Method)을 통하여 계산한다. 결과적으로 grid의 구성이 필요하고 근사함수를 갖고 있는 못한 기존의 유한차분법과 달리 적절히 배치된 절점만으로 근사함수와 그 미분을 간단히 계산할 수 있다. 이렇게 계산된 미분근사를 '분산미분' 이라 부른다.
또* 힌 이동 최소제곱법에 근거하기 때문에 grid에 의존적인 유한차분법과 달리 원하는 차수의 미분계수 또는 차 분식을 손쉽게 계산할 수 있다. 따라서 본 연구에서 제시한 일반화된 차분법은 Galerkin법에 근거한 무요소법의 단점 뿐 아니라 유한차분법의 단점도 보완할 수 있는 매우 유용한 수치기법이다.
68개, 224개, 806개의 절점 모델을 각각 풀어 수렴률 조사했匸k 2차, 3차, 4차 Taylor 다항식을 사용하는 경우에 변위에 대한 丄놈과 에너지 놈 오차의 수렴률을 그림 2(b)에 도시하였으며, 다항식의 차수가 높아질수록 수렴률이 높아지는 것을 볼 수 있다. 본 연구에서 제시한 해석기법이 매우 높은 수렴률을 보인다는 것을 알 수 있다.
응력확대계수를 구하기 위해서는 균열선단 주변의 임의의 위치에서의 응력값이 필요한데, 본 해석기법으로 자유롭게 그 값을 계산할 수 있다. 본 해석방법은 Galerkin법에 근거한 무요소법의 관점에서 보면 적분식 구성 (계산비용-)과 경계조건 처리에 대한 단점을 보완할 수 있고, 기존의 유한차분법이 grid에 매우 의존적이고 근사함수식이 없어 임의의 위치에서 함수값의 계산이 어려웠던 단점을 훌륭히 보완해 준다. 주어진 수치예제를 통해 탄성론 문제뿐만 아니라 균열과 같이 불연속면과 응력의 특이성을 갖는 문제에서도 높은 정확도를 갖는 해를 얻을 수 있음을 보였다.
본 해석방법은 Galerkin법에 근거한 무요소법의 관점에서 보면 적분식 구성 (계산비용-)과 경계조건 처리에 대한 단점을 보완할 수 있고, 기존의 유한차분법이 grid에 매우 의존적이고 근사함수식이 없어 임의의 위치에서 함수값의 계산이 어려웠던 단점을 훌륭히 보완해 준다. 주어진 수치예제를 통해 탄성론 문제뿐만 아니라 균열과 같이 불연속면과 응력의 특이성을 갖는 문제에서도 높은 정확도를 갖는 해를 얻을 수 있음을 보였다. 본 해석기법은 그 밖의 다양한 특수 공학적 문제에도 성공적으로 적용될 수 있을 것으로 기대된다.

후속연구

주어진 수치예제를 통해 탄성론 문제뿐만 아니라 균열과 같이 불연속면과 응력의 특이성을 갖는 문제에서도 높은 정확도를 갖는 해를 얻을 수 있음을 보였다. 본 해석기법은 그 밖의 다양한 특수 공학적 문제에도 성공적으로 적용될 수 있을 것으로 기대된다.

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