[논문]BOD와 DO 거동 해석을 위한 수평 2차원 유한요소모형의 개발 및 검증

서일원; 최황정; 송창근

BOD와 DO 거동 해석을 위한 수평 2차원 유한요소모형의 개발 및 검증
Development and Verification of Horizontal 2-D Finite Element Model For Analysis of BOD and DO Transport 원문보기

서일원 (서울대학교 건설환경공학부) , 최황정 (서울대학교 건설환경공학부) , 송창근 (서울대학교 건설환경공학부)

본 논문에서는 하천에 유입되는 오염물질 중 대부분을 차지하는 비보존성 오염물질의 확산거동을 분석하기 위해 2차원 수심 평균된 이송분산방정식에 유한요소법을 적용하였다. 수치모형 구성을 위해 SUPG(Streamline-upwind Petrov-Galerkin)법을 이용한 가중잔차법을 사용하였다. 모의대상 수질인자는 BOD와 DO이며, BOD 농도 결과가 DO 농도 계산에서의 입력 자료로 이용되도록 상호 연계를 형성하였다. 모형의 검증을 위하여 직사각형 수로에 선원으로 연속주입하여 얻은 수치해와 해석해를 비교하였다. 비교결과 수치해와 해석해의 결과가 서로 일치하는 것을 볼 수 있었다.

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문제 정의

본 연구에서는 BOD와 DO의 거동을 해석하기 위한 유한요소모형을 개발하였다. 유한요소법은 흐름경계가 복잡한 하천을 비정형격자망을 이용해 쉽고 정확하게 모의할 수 있는 장점이 있어서 이용되었다.
본 연구의 목적은 다양한 주입조건하에서 하천에 유입되는 비보존성 오염물질의 수평 2차원 확산거동을 모의할 수 있는 수치모형을 개발하고 이를 검증하는 것이다. 이를 위하여 수심 평균된 수평 2차원 이송분산방정식에 유한요소모형을 적용하였으며, 복잡한 하천 경계를 보다 정확히 재현할 수 있도록 삼각 및 사각 요소망의 혼용이 가능하도록 하였다.

제안 방법

총 연장은 10 km이며, 절점 간의 거리가 200 m인 정사각형 요소를 가지는 검증영역을 이용하였다. 모의조건은 해석해의 결과가 가장 안정적으로 나오는 값에서 선택하여 유속은 0.004 m/s, 분산계수는 0.1 m²/s인 경우에 대하여 표 1과 같이 k₁과 k₂을 달리하여 연속주입을 모의하였다.
본 연구에서는 유한요소법의 여러 수치기법 중 SUPG(Streamline-upwind Petrov-Galerkin)법을 이용한 가중잔차법을 사용하여 2차원 이송분산 방정식에 BOD와 DO의 반응항을 적용한 수치모형을 개발하였다. 선형 및 2차 형상함수를 적용하였으며, 불규칙한 하천의 형상을 보다 정확히 재현하기 위해 삼각 및 사각요소망의 혼용이 가능하도록 하였다.
본 연구에서는 유한요소법의 여러 수치기법 중 SUPG(Streamline-upwind Petrov-Galerkin)법을 이용한 가중잔차법을 사용하여 2차원 이송분산 방정식에 BOD와 DO의 반응항을 적용한 수치모형을 개발하였다. 선형 및 2차 형상함수를 적용하였으며, 불규칙한 하천의 형상을 보다 정확히 재현하기 위해 삼각 및 사각요소망의 혼용이 가능하도록 하였다. 시간미분항은 Crank-Nicolson방법을 이용하여 차분하였다(Pepper, 1992).
본 연구의 목적은 다양한 주입조건하에서 하천에 유입되는 비보존성 오염물질의 수평 2차원 확산거동을 모의할 수 있는 수치모형을 개발하고 이를 검증하는 것이다. 이를 위하여 수심 평균된 수평 2차원 이송분산방정식에 유한요소모형을 적용하였으며, 복잡한 하천 경계를 보다 정확히 재현할 수 있도록 삼각 및 사각 요소망의 혼용이 가능하도록 하였다.

대상 데이터

모형의 검증을 위해서 수치모형에 사용된 격자는 561개의 절점과 500개의 요소를 가지는 직사각형 수로이다. 총 연장은 10 km이며, 절점 간의 거리가 200 m인 정사각형 요소를 가지는 검증영역을 이용하였다.
모형의 검증을 위해서 수치모형에 사용된 격자는 561개의 절점과 500개의 요소를 가지는 직사각형 수로이다. 총 연장은 10 km이며, 절점 간의 거리가 200 m인 정사각형 요소를 가지는 검증영역을 이용하였다. 모의조건은 해석해의 결과가 가장 안정적으로 나오는 값에서 선택하여 유속은 0.

이론/모형

BOD에 대한 정상상태에서의 1차원 이송분산방정식의 해석해인 식 (5)를 이용하였다. DO는 Streeter와 Phelps(1925)가 제시한 1차원 이송분산방정식의 정상상태의 해석해인 식 (6)을 적용하였다.
수치적분은 자연좌표계를 이용한 가우스 적분법을 이용하였다. 계산 프로그램으로는 프론탈 해법(frontal solution technique)을 사용하였다. 프론탈 해법은 요소별로 stiffness 매트릭스를 합치고 구성된 매트릭스방정식을 가우스 소거법으로 푸는 방법의 특수한 형태이며, 계산 시 저장 메모리 요구량과 대수 방정식을 푸는 횟수를 최소화하기 위하여 고안되었다.
시간미분항은 Crank-Nicolson방법을 이용하여 차분하였다(Pepper, 1992). 수치적분은 자연좌표계를 이용한 가우스 적분법을 이용하였다. 계산 프로그램으로는 프론탈 해법(frontal solution technique)을 사용하였다.
선형 및 2차 형상함수를 적용하였으며, 불규칙한 하천의 형상을 보다 정확히 재현하기 위해 삼각 및 사각요소망의 혼용이 가능하도록 하였다. 시간미분항은 Crank-Nicolson방법을 이용하여 차분하였다(Pepper, 1992). 수치적분은 자연좌표계를 이용한 가우스 적분법을 이용하였다.
하천 등 수심이 흐름방향 및 폭 방향의 길이 규모에 비해 작은 천수(shallow water)영역에 적용하기 위하여 수심 적분된 2차원 이송분산방정식에 반응항 S를 결합한 식 (1)을 모형의 지배방정식으로 사용하였다.

성능/효과

오염물질을 선원주입하여 정상상태에 이르렀을 때 얻은 수치해와 식 (5)와 식 (6)에 의해 얻은 해석해를 비교하여 그림 3에 도시하였다. BOD 결과를 보면 k₁이 0.2 /day인 BD001과 BD002 경우에는 하류단에서 약간의 차이를 보였으며, k₁이 0.4 /day인 BD003과 BD004 경우에는 소수 2자리 이하의 값에서 약간의 차이가 발생할 정도로 매우 일치하였다. 용존산소 결과를 분석하면 용존산소농도곡선의 임계점 근처에서는 수치해가 조금 크게 나타났고, BD001 경우를 제외하고는 모두 하류단으로 갈수록 차이 발생하지 않는 것이 나타났다.
4 /day인 BD003과 BD004 경우에는 소수 2자리 이하의 값에서 약간의 차이가 발생할 정도로 매우 일치하였다. 용존산소 결과를 분석하면 용존산소농도곡선의 임계점 근처에서는 수치해가 조금 크게 나타났고, BD001 경우를 제외하고는 모두 하류단으로 갈수록 차이 발생하지 않는 것이 나타났다.

후속연구

유한요소법은 흐름경계가 복잡한 하천을 비정형격자망을 이용해 쉽고 정확하게 모의할 수 있는 장점이 있어서 이용되었다. 모형의 검증을 위해서 수치해와 해석해를 비교한 결과, 본 연구에서 개발한 수치모형이 BOD/DO의 거동을 잘 표현하는 것을 알 수 있었으나 보다 타당성 있는 검토를 위해서 수생식물의 호흡 등 다양한 인자들이 적용될 필요가 있다.

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