초록 ▼

지구물리나 광학, 레이더, 음향학, 전자기학, 의료기계 등에서 음향파나 전자기파를 쏘아서 돌아오는 파를 조사하여 장애물의 모양이나 매질의 밀도 등을 조사하는 일이 많이 있다. 이런 연구 분야는 장애물 역문제, 장애물 계수 역문제 등 역문제라 불리우며 산업이나 공학적 현상에서 주로 해결하여야 할 가장 중요한 문제이다. 일반적으로 역문제들은 수학적으로도 가장 어려운 분야에 속한다. 장애물 역문제, 장애물 계수역문제 등 역문제를 푸는 algorithm에서는 각 단계마다 그 지배방정식인 Helmholtz 방정식을 풀어야 한

지구물리나 광학, 레이더, 음향학, 전자기학, 의료기계 등에서 음향파나 전자기파를 쏘아서 돌아오는 파를 조사하여 장애물의 모양이나 매질의 밀도 등을 조사하는 일이 많이 있다. 이런 연구 분야는 장애물 역문제, 장애물 계수 역문제 등 역문제라 불리우며 산업이나 공학적 현상에서 주로 해결하여야 할 가장 중요한 문제이다. 일반적으로 역문제들은 수학적으로도 가장 어려운 분야에 속한다. 장애물 역문제, 장애물 계수역문제 등 역문제를 푸는 algorithm에서는 각 단계마다 그 지배방정식인 Helmholtz 방정식을 풀어야 한다. 따라서 좋은 algorithm을 만들기 위해서는 수많은 Helmholtz 방정식을얼마나 빨리 풀 수 있는가가 관건이다. 실제적으로 역문제를 해결하는데 있어서 적절한반복적인 방법을 사용하는데, 각각의 반복적인 단계에서 수많은 직접적인 문제를 풀어야 하기 때문에 아주 효율적인 수치해법을 사용하지 않으면 안 된다.본 연구에서는 helmholtz 유형의 방정식에 대한 병렬 수치 해법 및 역문제 병렬수치해법 풀이 simulation에 대한 연구를 수행하였다. 시간 종속 문제를 주파수 영역의 문제로바꾸는 방법으로 시간에 관한 푸리에 변환을 이용하여 helmholtz 유형의 방정식로 변환한다. 본 연구의 1차년도에서는 시간 종속의 Linearized Navier-Stokes 방정식과 포물선 유형의 경계치문제에 관해 parallelizm을 자연스럽게 구현할 수 있는 주파수 영역 방법에 대해연구하였다. 이러한 방법에 관한 근사해의 오차에 관한 분석을 하는 동시에, 병렬 컴퓨터를 사용하여 수치 실험을 행하였다. 인위 경계위에 흡수 경계조건이 주어진 음향파에 관련된 문제에 대해, 주파수 영역 방법의 parallelizm의 이점을 활용하여 얻어지는 하나의 주파수에 대응하여 Helmholz 방정식의 해를 수치적으로 구하는 효율적 반복법 및 병렬화 할수 있는 적당한 선조건자를 찾기 위한 연구를 하였다. 이는 장애물 근처에서의 locallyfitted mesh를 사용한 유한요소법과 fictitious volume method, local aborbing boundarycondition 및 mesh-harmonic function의 부분 공간에서의 반복법을 결합하여 helmholtz 방정식을 효율적으로 병렬화할 수 있는 선조건자를 찾는 연구를 하였다. 이와 함께 찾아진선조건자를 이용하여 병렬 컴퓨터인 PowerXplorer에서 직접 수치실험을 하였다. 또한,nonoconfoming 유한요소법에 기반을 둔 hybridized domain decomposition 반복방법을 적용하여 효율적인 병렬 수치방법을 얻었다. 한편 역문제에 대해서는 ill-posed 문제를 안정화시키는 방법으로써 Tikhonov의 안정화 방법 등을 사용하였다. 이를 통해 역문제를 비선형 최적화 문제로 재 구성하여, 그에 대응하는 minimization 문제를 Levenberg-Marquardt의 routine을 사용하는 알고리듬을 제시하였다. 이와 같은 이론적 결과를 병렬 컴퓨터와serial computer에서 fictitious volume에 기반을 둔 방법과 nonconforming 유한요소법에기반을 둔 방법을 이용하여 각각 수치 실험을 하여 연구된 방법이 효율적임을 보였다.본 연구의 결과는 국내에 병렬 수치해법에 대한 관심과 아울러 역문제에 대한 관심을고조시키며 이를 실제의 문제에 응용하는데 도움을 줄것으로 전망한다.

Abstract ▼

Throughout the project, a research and development are to beperformed concerning parallel algorithm for solving direct and inverse problems involvingacoustic and Maxwell wave equations in order to determine the parameters of themedium or the shape of unknown objects inside the domain. Inver

Throughout the project, a research and development are to beperformed concerning parallel algorithm for solving direct and inverse problems involvingacoustic and Maxwell wave equations in order to determine the parameters of themedium or the shape of unknown objects inside the domain. Inverse Problems have avery large number of important technological and scientific applications such asunderwater acoustics, seismic imaging, remote sensing and tomography. Numericalsimulations are also perfomed. These inverse problems are described asHelmholtz-type problems in the frequency domain. Particularly, we concentrate onHelmholtz-type problesm with absorbing boundary conditions are prescribed on artificialboundaries. Such problems, when discretized, will give non selfadjoint, indefiniteproblems which are well-knowm to be very difficult to solve by using iterativemethods.During the first year of this research, we proposed and analyzed a natuarllyparallelizable algorithm for a time-dependant linearized Navier-Stokes equations withDirichlet conditions and parabolic problems with various kinds of boundary conditionsusing frequency domain formulations. These problems in the frequency domain areHelmholtz type problems. We then performed numerical simulations for those problemson a PowerXplore parallel computer and a serial machine to find the proposed algorithmeffective and efficient. We obtained some efficient parallelizable preconditioners forcertain iterative schemes. One is based on the idea of fictitious volume method anditerative methds in subspaces and on usage of locally fitted meshs near obstacles andlocal absorbing boundary conditions on the artificial boundary. Another one, whichturns out to be massively parallelizable, is a iterative hybridized domain decompositionmethod based on nonconforming finite element. For inverse problems, we regularizedthe ill-posed problem using Tikhonov's regualrization method to reduce the problem asan optimization problem. We then carried numerical experiments usingLevenberg-Marquardt algorithm on a parallel MIMD PowerXplore.We found that the schemes we have developed are effective and efficient forparalleization. They can be competitive with other numerical method for solvingacoustic scattering. The methods for solving Helmholtz problem are completlyparallelizable and can be readily generalized for three dimensional problems.

목차 Contents

• 목차...8
• 1 서론...9
• 2 연구방법 및 이론...10
• 3 결과...11
• 4 고찰...12
• 5 결론...13
• 6 인용문헌...13
• 7 연구수행관련 논문 목록...18
• 8 자체평가서...20