초록 ▼

무질서계의 동력학적 성질을 이해하기 위하여 퍼콜레이션 클러스터 위의 멋대로 걷기의 임계행동을 연구한다. 특히 rms 변위의 프랙탈 차원과, rms 변위가 시간 스텝의 함수로 나타내는 비해석적 보정항의 보정항 지수를 측정하고, rms 변위가 나타내는 확룰 밀도 함수의 축척 보정에 대하여 연구한다. 본 연구에서는 2, 3, 4차원 격자퍼콜레이션의 연결망으로 구성된 무질서계의 멋대로 걷기의 임계행동에 대하여 연구하였다. 특히 퍼콜레이션의 무한망 위의 멋대로 걷기의 앙상블 평균(무한망 평균)과 모든 연결망 위의 멋대로 걷기의 앙상블 평균(

무질서계의 동력학적 성질을 이해하기 위하여 퍼콜레이션 클러스터 위의 멋대로 걷기의 임계행동을 연구한다. 특히 rms 변위의 프랙탈 차원과, rms 변위가 시간 스텝의 함수로 나타내는 비해석적 보정항의 보정항 지수를 측정하고, rms 변위가 나타내는 확룰 밀도 함수의 축척 보정에 대하여 연구한다. 본 연구에서는 2, 3, 4차원 격자퍼콜레이션의 연결망으로 구성된 무질서계의 멋대로 걷기의 임계행동에 대하여 연구하였다. 특히 퍼콜레이션의 무한망 위의 멋대로 걷기의 앙상블 평균(무한망 평균)과 모든 연결망 위의 멋대로 걷기의 앙상블 평균(모든 연결망 평균)을 blind ants 모형과 myoptic ants 모형을 이용하여 연구하였다. 연구의 결과, 멋대로 걷기의 rms 변위는 본 연구에서 고려한 모든 차원에서 강한 비해석적 보정항을 보인다는 사실을 발견하였다. rms 변위 또는 회전 반지름은 시간 $t$의 함수로서 $R_t=At^1^/^d^_w$$(1+At^-^s+Bt^-^1+...)$의 형태의 해석항과 비해석항을 포함하며, 이 때, 비해석적 보정항 지수 s 는 2, 3, 4차원의 무한망 위의 멋대로 걷기에 대하여 각각 s $\simeq$ 0.39, 0.27, 0.27이었으며, 모든 연결망 위의 멋대로 걷기에 대하여 s $\simeq$ 0.37, 0.28 및 0.24로서 무한망 평균의 결과와 크게 다르지 않았다. 멋대로 걷기의 rms 변위에 대한 확률 밀도 함수와 그 축척 관계도 아울러 연구되었다. 일반적으로 무한망 평균의 밀도 함수는 축척 관계를 비교적 만족하지만, 모든 연결망 평균의 데이터는 축척 관계를 만족하지 않음으로서 비해 석항의 중요성을 의미하고 있다. 지금까지 무질서계의 멋대로 걷기의 rms 변위는$R_t\propto t^1^/^d^_w$의 임계행동을 보이며, 프랙탈 차원 $d_w$의 값은 비교적 정확하게 알려져 왔다. 그러나 비해석적 보정항이 존재함으로서, 보정항을 고려하지 않고 측정한 $d_w$의 값의 신뢰성에 의문을 재기되었다. 본 연구에서는 비보정항 지수를 비교적 정밀하게 측정함으로서 $d_w$의 값을 보다 정확하게 제공할 수 있게 하었다. 그 결과, 알려진 프랙탈 차원은 2, 3차원의 경우는 대단히 정확한 것으로 보이나, 4차원의 결과는 측정치와 차이가 있었다. 이 결과는 무질서계의 전기적 탄성적 성질을 이해하는데 이용될 수 있을 것이다.

Abstract ▼

We study the critical behavior of random walks on a percolation cluster at the percolation threshold. In particular, we estimate the fractal dimension and the correction exponent of the rms displacement of random walks. We also study the scaling relation of the probability density function of the rm

We study the critical behavior of random walks on a percolation cluster at the percolation threshold. In particular, we estimate the fractal dimension and the correction exponent of the rms displacement of random walks. We also study the scaling relation of the probability density function of the rms displacements. We study the critical behavior of the rms displacements on a percolation cluster at percolation threshold. In particular, we consider two ensemble averages of random walks, i.e., the infinite-cluster (IC) average and the all-cluster (AC) average, using the two different models of random walks, the blind ants model and the myoptic ants model. We found that the rms displacements exhibit a strong correction-to-scaling term in all dimensions we considered. The correction exponent s , defined by the rms displacements against the time step via $R_t=At^1^/^d^_w$$(1+At^-^s+Bt^-^1+...)$, was found to be s $\simeq$ 0.39, 0.27, and 0.27 for the IC averages and s $\simeq$ 0.37, 0.28, and 0.24 for the AC averages in two, three, and four dimensions, respectively. We also study the scaling relation of the probability density function of the rms displacements. The results for various values of the time-step were found to exhibit reasonably good collapsing for the IC average, indicating that the scaling indeed holds. On the other hand, data for the AC averages appear not to collapse. This strongly suggests that the scaling relation obtained without taking the correction term into account might not be sufficient for the scaling. The rms displacements of random walks on a percolation cluster were known to exhibit the critical behavior $R_t\propto t^1^/^d^_w$, and the fractal dimension $d_w$ were known accurately. However, the accuracy of the results estimated without the correction term having been taken into account was doubted. We estimated in this work the correction exponents and, as results, we were able to accurately estimate the fractal dimension of the random walks. The known results in two and three dimensions were found to be accurate, while that in four dimensions exhibited marked difference. These results may be utilized to understand the electrical and elastic properties of the disorder media.

목차 Contents

• I. 연구계획 요약문...3
• 1. 국문요약문...3
• II. 연구결과 요약문...4
• 1. 국문요약문...4
• 2. 영문요약문...5
• III. 연구내용...6
• 1. 서론...6
• 2. 수치적 방법...8
• (1) 앙상블 평균...8
• (2) 몬테카를로 알고리즘...9
• (3) 데이터 분석...10
• 3. 무한 연결망 평균...12
• (1) Blind ants 모형...13
• (2) Myoptic ants 모형...20
• 4. 모든 연결망 평균...22
• 5. rms 변위의 확률 밀도 함수...27
• (1) 무한 연결망 평균...28
• (2) 모든 연결망 평균...31
• (3) 비정상적 peak 또는 runaway 확률에 대한 고찰...35
• 6. 결론 및 요약...36
• 7. References...38