초록 ▼

연구의 목적 및 내용
최적화 문제를 구하기 위한 많은 알고리듬들이 exact해를 알게 해주는 것이 아니라 근사해를 알게 해 준다는 것에 주목하여, 여러 가지 최적화문제에 대한 근사해를 위한 이론적 연구 즉, 최적조건, 제약상정, 쌍대성, 안정성, 민감도, 근사벡터균형점문제, 근사변분부 등식과의 관계, 내점기법을 연구하여 근사해에 대한 이론을 정립하고자 하였다.
연구결과
① 추 제약식을 가지고 있는 볼록 반정부호 최적화문제, 볼록 집합치 최적화 문제, 불확실한 데이터를 가지는 볼록 최적화문제의 근사해에 대한 근사 최적

연구의 목적 및 내용
최적화 문제를 구하기 위한 많은 알고리듬들이 exact해를 알게 해주는 것이 아니라 근사해를 알게 해 준다는 것에 주목하여, 여러 가지 최적화문제에 대한 근사해를 위한 이론적 연구 즉, 최적조건, 제약상정, 쌍대성, 안정성, 민감도, 근사벡터균형점문제, 근사변분부 등식과의 관계, 내점기법을 연구하여 근사해에 대한 이론을 정립하고자 하였다.
연구결과
① 추 제약식을 가지고 있는 볼록 반정부호 최적화문제, 볼록 집합치 최적화 문제, 불확실한 데이터를 가지는 볼록 최적화문제의 근사해에 대한 근사 최적정리, 근사 쌍대정리를 얻었다. 나아가서, 2차형 최적화문제에 대한 양자택일정리, 일반화된 미분 불가능한 분수 최적화 문제의 인벡스티와 쌍대정리, Navier-Stokes 방정식과 집합으로 표시되는 제약식을 제약조건으로 가지고 있는 최적제어문제에 대한 해의 존재성과 최적조건, 로바스트 최적화 문제에 대한 매끄럽지 않은 필요 최적정리, 로바스트 최적화 문제에 대한 대리쌍대성(surrogate duality), 어떤 음 다가함수의 여미분 계산을 위한 식, 어떤 음 다가함수의 Lipschitz-like 연속성이 될 충분조건을 얻었다.
② 제약 상정 조건 없이 성립하는 벡터 최적화문제의 근사 효율해에 대한 근사 최적조건, 벡터 분수 최적화문제의 근사 효율해와 근사 약효율해에 대한 제약 상정조건 없이 성립하는 근사 최적조건을 얻었다. 나아가서, 불확실한 데이터를 가지고 있는 벡터 최적화 문제에 대한 최적정리를 얻었다.
③ 추 제약식을 가지고 있는 2 차형 최적화문제와 비 polyhedral 제약집합을 가지고 있는 2 차형 최적화문제에 대한 안정성에 대한 연구결과를 얻었고, 섭동된 비 polyhedral 2차형 최적화문제의 최적값 함수의 방향도함수와 미분을 구하는 식을 제시하였다.
④ 벡터 최적화문제와 벡터변분 부등식과의 관계를 미분 불가능한 함수로 확장하였고, 벡터 준 균형문제에 대한 해집합 사상의 상반연속성에 대한 충분조건과 해 집합의 비공집합성과 컴팩트성에 대한 연구결과를 얻었고, 불확실한 데이터를 가지고 있는 제로섬게임을 위한 로바스트 본 노이만 최소최대 정리를 증명하였다. 나아가서, 볼록 최적화 문제의 근사해와 근사 변분부등식의 해와의 관계를 얻었고, 불확실한 데이터를 가지고 있는 로바스트 볼록 최적화 문제의 근사해에 대하여 근사 안장점 정리를 확립하였다.
⑤ 근사해를 구하는 방법을 제시하기 위해서, 2 계추 최적화문제, 반정부호 최적화 문제, 대칭추상에서 정의되는 셀프-스케일드(self-scaled) 최적화 문제에 대하여 2개의 새로운 핵함수에 의해 정의된 근접함수를 이용하여 라지-업데이트(large-update) 원-쌍대 내점기법에 대한 알고리즘을 만들고 그 복잡도(complexity)를 분석하였다.
연구결과의 활용계획
본 연구에서 시도되었던 여러 가지 최적화문제의 근사해에 대한 이론의 정립은 최적화문제에 있어서 근사해의 역할의 이론적 해석과 근사해가 미치는 영향을 명확하게 하는 데 큰 도움을 줄 것으로 기대된다. 그러한 이론적 연구를 포토포리오투자 문제, 위험 부담 최소화 문제에 대해 활용하고자 한다. 나아가서, 그러한 근사해에 대한 이론적 연구를 최근에 많이 연구되고 있는 불확실한 데이터를 가지고 있는 로바스트 최적화문제와 확률 최적화문제를 연구하는데 활용하고자 한다.

Abstract ▼

Purpose& contents
Algorithm for optimization problems is in general not to indicate solutions but to tell us their approximate solutions(epsilon solution s)u.s Ttoh eeirs taebxlaischt tchoen dtihtieoonrsy, fcoorn satprparinotx imquaatleif iscoaltuiotinosn,s dfuoarl itoyp,t imstiazbaitliiotyn, psr

Purpose& contents
Algorithm for optimization problems is in general not to indicate solutions but to tell us their approximate solutions(epsilon solution s)u.s Ttoh eeirs taebxlaischt tchoen dtihtieoonrsy, fcoorn satprparinotx imquaatleif iscoaltuiotinosn,s dfuoarl itoyp,t imstiazbaitliiotyn, psreonbsleitmivsi,t yw, ea psptruodxieimd aotep tivmeacltiotyr emqeutihliobdr iufmor apprporbolexmimsa, tea psporlouxtiiomnast(ee psvielocnto rs olvuatriioantsio)n afol r inseeqvuearalilt yk inadnsd oifn toeprtiiomr izpatoiionnt problems.
Result
① We established approximate optimality conditions, approximate duality theorems for convex semidefinite optimization problems with conic constraints, convex set-valued optimization problems and convex optimization problems with uncertainty data. Moreover, we obtained alternative theorems for quadratic optimization problems, invexity and duality for generalized nondifferentiable optimization problems, solution existence and optimality conditions for optimal control problems with constraint sets expressed by Navier-Stokes equations and sets, necessary nonsmooth optimality conditions for robust optimization problems, surrogate duality for robust optimization problems, formula for calculations of coderivatives of certain implicit multifunction and sufficient conditions for Lipschitz-like continuity of certain implicit multifunction.
② We obtained approximate optimality conditions for approximate efficient solutions for vector optimization problems and approximate optimality conditions for approximate efficient solutions and approximate weakly-efficient solutions for vector fractional optimization problems, which hold without any constraint qualifications.
Moreover, we got optimality theorems for vector optimization problems with uncertainty data.
③ We obtained stability results for quadratic optimization problems with conic constraints and for quadratic optimization problems with non-polyhedral constraint sets, and got formula for directional derivatives and derivatives of optimal value functions for qerturbed quadratic optimization problems with non-polyhedral constraint sets.
④ We extended relations between vector optimization problems and vector variational inequality to nodifferentiable functions. We studied sufficient conditions for upper semicontinuity of solution set mapping, and non-emptiness and compactness of solution set for vector quasi-equilibrium problems, and proved robust von-Neumann minmax theorem for zero sum games with uncertainty data. Moreover, we investigated relations between approximate solution of convex optimization problem and solution of approximate variational inequality, and established approximate saddle point theorems for robust convex optimization problem with uncertainty data.
⑤ To present methods for approximate solutions, we formulated algorithms for large-update primal-dual interior point methods with proximity functions defined by tow new kernel functionsl which can be applied for second-order cone optimization problems, semi-definite optimization problems and self-scaled optimization problems with symmetric cones, and then analysed their complexities.
Expected Contribution
It is expected that our theoretical investigations for approximate solutions for several kinds of optimization problems make us understand well the theoretical interpretation of roles of approximate solutions and the affect of approximate solution. We will apply our theoretical investigation to approximate solutions for portfolio problem and risk minimization problem. Moreover, we will apply our theoretical investigation to approximate solutions for robust optimization problems and stochastic optimization problems with uncertainty data, which have been studied by many researchers.

목차 Contents

• 도약연구사업 최종보고서(평가용) ... 1
• 목차 ... 3
• 연구계획 요약문 ... 4
• 연구결과 요약문 ... 5
• 한글요약문 ... 5
• SUMMARY ... 6
• 연구내용 및 결과 ... 7
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 7
• 2. 국내외 기술개발 현황 ... 9
• 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 10
• 4. 목표달성도 및 관련분야에의 기여도 ... 48
• 5. 연구결과의 활용계획 ... 50
• 6. 연구과정에서 수집한 해외과학기술정보 ... 51
• 7. 주관연구책임자 대표적 연구실적 ... 52
• 8. 참고문헌 ... 52
• 9. 연구성과 ... 55
• 10. 기타사항 ... 77