초록 ▼

복소공간의 유계영역에서 정의되는 해석함수 공간 중 1980년대 이후 활발히 연구가 되고 있는 공간은 해석 Bergman 공간이다. 여러 수학자들에 의하여 해석 Bergman 공간은 다양한 형태의 characterizatione 들을 갖는다. 대표적으로 해석함수와 mean-value property 동치성, 함수의 미분형태, 여러 가지 metric에 의한 Lipschtz 타입, 중적분형태 등등의 characterization들이 그것이다. 이러한 characterization들과 이들을 유도하는 다양한 estimation들은 해석 B

복소공간의 유계영역에서 정의되는 해석함수 공간 중 1980년대 이후 활발히 연구가 되고 있는 공간은 해석 Bergman 공간이다. 여러 수학자들에 의하여 해석 Bergman 공간은 다양한 형태의 characterizatione 들을 갖는다. 대표적으로 해석함수와 mean-value property 동치성, 함수의 미분형태, 여러 가지 metric에 의한 Lipschtz 타입, 중적분형태 등등의 characterization들이 그것이다. 이러한 characterization들과 이들을 유도하는 다양한 estimation들은 해석 Bergman 공간의 여러 구조적인 특성에 대한 연구를 보다 폭 넓게 수행하는 것을 가능하게 했다. 최근 1990년대 후반부터는 조화함수 공간에 대한 여러 가지 characterization문제가 관심을 집중시켜 왔다. 그러나 조화함수공간은 해석함수 공간과는 다른 양상을 보이고 있다. 예를 들면, 두 조화 함수의 곱은 일반적으로 다시 조화 함수가 되지 않고, 또한 조화함수와 automorphism의 합성도 다시 조화함수가 되지 않는다. 이러한 현상들은 해석 함수 공간에서 가능했던 여러접근 방법을 조화함수 공간에서는 무용지물로 만들게 된다. 따라서, 해석함수 공간의 여러 성질들이 조화함수 공간에서는 어떻게 전개되어질지 매우 뜨거운 관심을 일으키고 있다. 그동안 해석함수 공간의 연구결과들은 유계 영역 상에서 연구되어졌다. 본 연구자는 선행연구에서 Rⁿ 상의 단위구 뿐만이 아니라 unbounded 영역인 상반평면상에서 가중치가 있는 조화 Bergman 공간의 reproducing kernel의 형태를 구체적인 적분형태로 표현하여 조화 Bergman 공간의 기본적인 성질들을 연구하였다. 구체적으로, Berezin 변환(mean-value property와 관련)과 Toeplitz 작용소, 조화 Bergman projection 의 크기계산, 가중치 조화 Bergman 공간의 Representations과 interpolations등에 관한 결과들을 얻었다. 따라서, 선행연구결과들의 도움을 받아 본 연구과제는 해석함수 공간의 여러characterization문제들을 두 가지 방향으로 확장 해결하였다. 즉, Rⁿ 상의 단위구 뿐만이 아니라 unbounded 영역인상반평면상에서 미해결 문제인 M-조화 함수와 invariant mean-value property의 동치문제를 해결하였다. 또한 해석Bergman 공간의 characterization들을 조화 Bergman 공간상에서 유도하여 조화함수 공간의 구조적인 성질을 연구하는데 기여하였다. 연구 수행결과는 크게 세 가지로 다음과 같다.
과제1. 상반평면과 단위구에서 조화 함수와 mean-value property의 동치문제
과제2. 상반평면과 단위구에서 조화 Bergman 공간의 세 가지 metric에 의한 Lipschtz 타입 characterization 문제
과제3. 상반평면과 단위구에서 조화 Bergman 공간의 중적분형태, Hardy-Stein 타입 characterization 문제

목차 Contents

• 일반연구자지원사업 최종(결과)보고서 ... 1
• 목 차 ... 3
• Ⅰ. 연구결과 요약문 ... 4
• Ⅱ. 연구내용 및 결과 ... 5
• 1. 연구과제의 개요 ... 5
• 2. 국내외 기술개발 현황 ... 5
• 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 6
• 4. 목표 달성도 및 관련 분야에의 기여도 ... 7
• 5. 연구결과의 활용계획 ... 7
• 6. 연구과정에서 수집한 해외과학기술정보 ... 8
• Ⅲ. 연구성과 ... 9
• 끝페이지 ... 10