초록 ▼

본 연구의 주제는 갈루아 표현, 보형형식, 그리고 엘함수의 피애딕 변화에 관한 연구이다. 2011년 5월부터 2014년 4월까지 3년의 연구기간 동안 연구의 방향에 다소간의 변화가 있었다. 보형형식과 갈루아 표현과 같은 정수론적 주제를 다루기 위해 수리물리학의 양자역학과 위상수학의 호모토피 이론을 도입할 수 있다는 혁신적 아이디어가 연구 중에 떠올라 2012년 중순부터는 그 분야를 집중 연구하기로 결심하였다. 포스텍과 기초과학연구원의 양자장론 전문가인 박재석 교수와의 공동연구를 시작하게 되어 정수론(산술기하)와 양자장론, 그리고 무

본 연구의 주제는 갈루아 표현, 보형형식, 그리고 엘함수의 피애딕 변화에 관한 연구이다. 2011년 5월부터 2014년 4월까지 3년의 연구기간 동안 연구의 방향에 다소간의 변화가 있었다. 보형형식과 갈루아 표현과 같은 정수론적 주제를 다루기 위해 수리물리학의 양자역학과 위상수학의 호모토피 이론을 도입할 수 있다는 혁신적 아이디어가 연구 중에 떠올라 2012년 중순부터는 그 분야를 집중 연구하기로 결심하였다. 포스텍과 기초과학연구원의 양자장론 전문가인 박재석 교수와의 공동연구를 시작하게 되어 정수론(산술기하)와 양자장론, 그리고 무한 호모토피 이론의 중요한 연결고리를 건설하였다. 이러한 연결고리는 앞으로 새로운 관점에서 정수론을 공부하는데 중요한 역할을 할 것으로 사료된다.
피애딕 랭랜즈와 엘함수에 관한 몇몇 결과들이 있지만, 가장 주요한 결과인 “Period integrals of projective hypersurfaces and homotopy Lie algebras"에 대한 연구성과에 대해 기술하기로 한다.
구체적으로 X를 사영공간에 주어진 매끄러운 초평면이라고 가정하자. 그러면 X의 중요한 불변량인 주기적분과 주기행렬을 생각할 수 있는데, 이는 X의 중간차원인 코호몰로지(cohomology)에서 복소수로 가는 선형사상 C_g로 이해될 수 있다.
첫 번째 중요결과는 이 주기적분의 숨어있는 대칭성을 발견한 것이다. 즉, 이 선형사상 C_g을 무한 리대수 호모토피의 사상으로 승격할 수 있다는 것이다. 무한 리대수는 코호몰로지의 대칭곱에서 정의된 특정한 성질을 만족하는 다중선형사상으로 C_g에 들어있는 핵심 성질을 표현하고 있을뿐만 아니라 초평면 X의 변화(deformation)에 대한 정보를 모두 담고 있다. 여기서 주목해야 할 점은 본 연구자가 이 결과를 증명할 때 양자장론에서 핵심 역할을 하는 슈룅딩거 표현을 활용하여 초평면 X의 코호몰로지와 주기적분을 계산하는 새로운 코체인 콤플렉스 (A,K)를 만들 수 있으며 (즉 K^2=0), 더 나아가 (A,K)에 양자곱(quantum product)를 정의하여 코체인 콤플렉스를 개선할 수 있다는 점이다.
두 번째 중요결과는 X를 변화하여 새로 생긴 초평면 Y의 주기적분과 주기행렬의 관계를 무한 리대수호모토피 사상으로 구체적으로 표현할 수 있다는 점이다. 즉 X의 주기적분을 알면 리대수 호모토피 이론을 통해 Y의 주기적분을 계산할 수 있다.
세 번째는 위의 결과들을 정수론의 주요 주제인 타원곡선에 응용하는 것인데, 흥미로운 점은 특정한 무한리대수 사상을 이용하면 주기적분의 역함수로 보형형식을 만들 수 있다는 것이다. 만약 f를 포앙카레 상반면 위에 정의된 cuspidal 보형형식이라고 하면, 그 에 대응하는 무한 리대수 호모토피 사상을 구체적으로 건설할 수 있고, 이렇게 만들어진 주기적분을 승격하는(enhance) 호모토피 사상의 formal 역함수를 취함으로써 주어진 f를 만들 수 있음을 증명하였다. 그리고 초평면 X가 타원곡선이 되는 경우에는 리 호모토피를 통해 타원곡선의 모든 moduli 공간을 만들 수 있고, (A,K)의 양자곱 (quantum product)을 이용하여 moduli 공간 상의 임의의 두 점에서의 주기적분을 명확히 비교할 수 있게 되었다. 또한 양자곱으로 승격된 코체인 콤플렉스 (A,*,K)를 이용하면 초평면 X의 극 호지 구조 (polarized Hodge structure)를 일반화하는 호모토피 극 호지 구조를 (A,*,K)에 줄 수 있음을 보였고, 이는 그리피스(P.Griffiths)의 period mapping을 공부하는 좋은 도구가 될 수 있다.
위에 전개한 내용을 수리 물리학적으로 표현하면 시간과 공간차원이 모두 0인 (0+0)-차원 양자장론((0+0)-dimensional quantum field theory)를 개발하고, 이를 초평면의 주기적분과 연관된 대수기하, 보형형식, 제타함수에 관련된 정수론에 응용하는 연구의 첫발자국을 내디딘 것으로 본인의 지난 3년간의 연구를 요약할 수 있다.