Thurston에 의해서 제시된 삼차원다양체의 기본 구성은 8개의 균질공간(Thurston's eight-geometries)으로 나누어 볼 수 있다. 좀 더 구체적으로는 등거리 사상의 차원이 6인 R3, S3그리고 H3(space forms), 등거리 사상의 차원이 4인 H2×R, S2×R, Nil3그리고 PSL2(R), 등거리 사상의 차원이 3인 Sol3이 있다. R<
Thurston에 의해서 제시된 삼차원다양체의 기본 구성은 8개의 균질공간(Thurston's eight-geometries)으로 나누어 볼 수 있다. 좀 더 구체적으로는 등거리 사상의 차원이 6인 R3, S3그리고 H3(space forms), 등거리 사상의 차원이 4인 H2×R, S2×R, Nil3그리고 PSL2(R), 등거리 사상의 차원이 3인 Sol3이 있다. R3에서는 극소곡면이 비교적 풍부하게 존재하지만 space forms 이외의 균질 공간에서는 극소곡면의 예가 많이 알려져 있지 못하다. 특별히 H2×R에서는 Rosenberg, Sa Earp, Hauswirth, Mira, Daniel 등 여러 수학자들에 의해서 특수한 경우에 몇 가지 극소 곡면이 알려져 있으나, 기하학적 특성인 Gauss 곡률의 총 적분이 유한인 곡면은 Scherk's example을 제외하면 알려진 바가 없다. Rosenberg와 Hauswirth에 의해서 총 곡률이 유한인 극소곡면들의 특성이 밝혀졌지만, 기존의 예들은 위상적으로 간단한 평면뿐이어서 자연스럽게 위상적으로 간단하지 않은 유한 총 곡률을 갖는 극소곡면의 구성의 문제가 제기되었다. 한국연구재단의 일반연구자지원사업으로 본 연구자는 지난 5년동안 다음과 같은 주제에 대한 연구를 수행하였다. 균질공간에 놓인 극소곡면의 구성 및 특성화 균질공간에서 알려진 많은 극소곡면은 대부분 총 곡률이 무한이거나 위상적으로 간단한 경우에 대해서만 알려져 있다. 이에 총 곡률이 유한이고 위상적으로 평면이 아닌 완비된 새로운 극소곡면을 구성하고, 기하학적 특성을 갖는 완비 극소곡면의 구성에 대하여 연구한다. 현재까지 알려진 모든 극소곡면은 모두 유향곡면이다. 이에 최근 그 활용도가 높은 적분가능 계(integrable system)를 이용하여 방향이 없는 무향 극소곡면의 구성과 그러한 곡면의 특성에 대해서 연구하였다. 본연구자는 위의 지원 사업을 통해 석사 1명을 배출하였고, 8편의 SCI급 논문을 게재하였다.
1. Pyo, Juncheol New complete embedded minimal surfaces in H 2 ×R . Ann. Global Anal. Geom. 40 (2011), no. 2, 167–176. 2. Pyo, Juncheol; Seo, Keomkyo Spacelike capillary surfaces in the Lorentz-Minkowski space. Bull. Aust. Math. Soc. 84 (2011), no. 3, 362–371 3. López, R.; Pyo, J. Space-like surfaces with free boundary in the Lorentz-Minkowski space. Classical Quantum Gravity 29 (2012), no. 3, 035005, 10 pp. 4. Pyo, Juncheol Singly-periodic minimal surfaces in H 2 ×R . Bull. Korean Math. Soc. 49 (2012), no. 5, 1089–1099. 5. López, Rafael; Pyo, Juncheol Constant mean curvature surfaces with boundary on a sphere. Appl. Math. Comput. 220 (2013), 316–323 6. López, Rafael; Pyo, Juncheol Capillary surfaces in a cone. J. Geom. Phys. 76 (2014), 256–262 7. Pyo, Juncheol; Rodríguez, Magdalena Simply connected minimal surfaces with finite total curvature in H 2 ×R . Int. Math. Res. Not. IMRN 2014, no. 11, 2944–2954 8. Batista, M.; Cavalcante, M. P.; Pyo, J. Some isoperimetric inequalities and eigenvalue estimates in weighted manifolds. J. Math. Anal. Appl. 419 (2014), no. 1, 617–626
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