초록 ▼

본 연구는 엔트로피가 0인 역학계의 복잡도(complexity)를 비롯하여 여러 성질을 밝혀내는 것이 목표이었다. 엔트로피란 역학계의 과거의 궤적을 알고 있을 때 predictability를 재는 양으로 볼 수 있다. 60년대 엔트로피가 역학계에 도입된 이후 엔트로피가 양인 체계에 관한 연구가 활발히 지난 3,40년 지속되었다. 양의 엔트로피 체계가 가지는 잘 알려진 여러 성질들이 어떻게 엔트로피가 0인 체계에서도 나타나는지, 혹은 안 나타나는지에 관한 과제이다. 또한 역학계의 연구 흐름과 초점이 nonamenable group을

본 연구는 엔트로피가 0인 역학계의 복잡도(complexity)를 비롯하여 여러 성질을 밝혀내는 것이 목표이었다. 엔트로피란 역학계의 과거의 궤적을 알고 있을 때 predictability를 재는 양으로 볼 수 있다. 60년대 엔트로피가 역학계에 도입된 이후 엔트로피가 양인 체계에 관한 연구가 활발히 지난 3,40년 지속되었다. 양의 엔트로피 체계가 가지는 잘 알려진 여러 성질들이 어떻게 엔트로피가 0인 체계에서도 나타나는지, 혹은 안 나타나는지에 관한 과제이다. 또한 역학계의 연구 흐름과 초점이 nonamenable group을 포함한 일반군으로 본격적으로 확장 해가는 과정에 있고, 엔트로피가 0인 역학계가 이런 일반군에서 더욱 자연스럽게 나타나기 때문에 분야의 흐름을 살펴 볼 때 본 연구의 주제는 앞으로 절실히 필요한 분야이다. 그러나 우리의 연구는 일반군으로 가기 전에 우선 이해되어야 하는 Z-action에 초첨을 맞추어서 진행하였다. 또한 본 연구는 무한측도공간 또는 string of sequences에서 사용되고 있는 Kolmogorov complexity라는 개념을 확률공간에서의 역학계로 연결시키는 것이기도 하다.

엔트로피가 양인 체계는 궤적의 수가 지수함수로 늘어난다고 볼 수 있다. 무리수돌림이나, interval exchange map등 엔트로피가 0으로 잘 알려진 체계들은 궤적의 증가가 polynomial growth rate를 가진다. 이 두 가지, 즉 지수함수와 polyomial growth rate사이에 subexponential growth rate를 가지는 체계들이 있다면, 그들의 엔트로피는 0인데 이들의 존재성 조차도 최근에 들어서 알려지게 되었다. 이런 체계들의 성질들에 관한 연구는 거의 전무 상태였다. 이 분야는 엔트로피가 양인 체계에 비하면 여러 각도에서 상당히 challenging한 과제이다. 1980년 이후 러시아등의 나라에서 연구자들에게 관심은 있었으나 엔트로피가 양인 체계의 analysis에 비하면 subexponential growth rate의 성질을 갖는 역학계들은 예들부터 시작하여 이들의 analysis에 여러 난관들이 있어서 여태까지 발전이 더디었다고 생각하고 있다.

이 문제들의 해결을 위해 본 연구에서 시작한 새로운 시각은 앞으로 더욱 밝혀야 할 많은 문제들을 들어내고 또한 더욱 많은 문제들이 해결될 수 있으리라고 기대하고 있다. 본 연구를 통하여 새로운 개념, 엔트로피 차원을 도입하고 이를 분석, 이용하여 엔트로피가 0인 체계의 복잡도를 구별할 수 있었다. 이 정의는 Katok and Thouvenot이 도입한 slow entropy처럼 atom의 크기가 같다는 것을 전제하지 않고 또한 분할의 epsilon change에도 stable하기 때문에 훨씬 수학적으로 깊이가 있다. 그리고 Vershik을 중심으로 그 그룹에서 연구되고 있는 scaled entropy보다 refine되었다고 볼 수 있다. 그리고 여러 다른 차원을 갖는 예들을 만들면서 이론이 어느 정도 정립되어 감에 따라 활발한 활동을 넘어 빠른 발전이 국제적으로 일어날 것을 기대하고 있다. 이 과제를 통하여 위상적, 그리고 측도적 엔트로피 0인 체계에 관한 동질성, 차별성등을 훨씬 잘 이해할 수 있었다. 엔트로피 차원은 variational principle의 성질을 가지지 않으며, 차원이 다른 uniform dimension의 성질(양의 엔트로피에서 K-mixing성질과 비슷)을 갖는 계들이 서로 disjoint하다는 것을 밝혔다. 엔트로피가 양인 체계들이 갖는 Shannon McMillan Breiman 정리나 Return Time Property같은 역학계의 “regularity”의 성질은 없다고 밝힐 수 있었다.

2014년 폴란드(Torun University)에서 있었던 이 분야의 가장 큰 학회나 2013년 미국(Williams College)에서 개최되었던 학회에서의 발표에 참석자들의 질문이나 관심으로 볼 때 이 문제들이 세계적인 관심을 모으고 있고 선두그룹으로 역할을 하고 있다. 현재 미국, 이스라엘, 러시아, 중국등 에서도 이과제의 중요성을 인식하여 여러 방향으로 연구가 활발하게 시작되었다. 올해에는 소련의 Euler Institute와 Poland Bedlewo에서 열리는 학회에 초대 되었다.