연구의 목적 및 내용 복소 쌍곡 다양체의 연구를 통하여 복소 쌍곡 공간의 구조에 대한 이해를 넓히는 것이 연구의 목적이다. 복소쌍곡공간(복소쌍곡다양체)을 연구하는 다양한 방법 가운데 특히 복소쌍곡 Kleinian 군에 대한 연구를 통하여 복소 쌍곡 공간을 이해하고자 하였다. 그리고 그 결과로서 복소쌍곡 Kleinian 군을 trace를 통하여 characterize하였다.
연구결과 복소쌍곡 Kleinian 군을 trace를 통하여 characterize 하였다. 실쌍곡 Kleinian 군의 경우 trace f
연구의 목적 및 내용 복소 쌍곡 다양체의 연구를 통하여 복소 쌍곡 공간의 구조에 대한 이해를 넓히는 것이 연구의 목적이다. 복소쌍곡공간(복소쌍곡다양체)을 연구하는 다양한 방법 가운데 특히 복소쌍곡 Kleinian 군에 대한 연구를 통하여 복소 쌍곡 공간을 이해하고자 하였다. 그리고 그 결과로서 복소쌍곡 Kleinian 군을 trace를 통하여 characterize하였다.
연구결과 복소쌍곡 Kleinian 군을 trace를 통하여 characterize 하였다. 실쌍곡 Kleinian 군의 경우 trace field를 통하여 characterize한 결과가 1988년에 알려졌고 그 결과를 2차원 복소쌍곡 Kleinian 군으로 일반화한 결과가 2012년에 발표되었으며 2014년에 본 연구자에 의하여 3차원의 경우까지 연구가 이루어졌다. 즉 3차원 복소쌍곡 Kleinian 군을 trace field를 통하여 characterize하였다. 정확히 기술하면 G가 SL(2,C)의 non-elementary discrete 부분군이고 G의 모든 원소의 trace가 실수일 때, G는 SL(2,R)과 conjugate 하다는 사실이 1988년에 증명되었고, 2012년의 결과는 SL(2,C)를 복소쌍곡공간의 holomorphic isometry group인 SU(2,1)으로 확장한 결과이며 2014년에 본 연구자의 결과는 위 결과를 SU(3,1)으로 일반화한 것이다. 이에 본 연구자는 해당 과제를 통하여 기존의 연구 결과를 임의의 n차원까지 확장하는데 성공하였다.(2016) 즉, 위 결과를 SU(n,1)의 경우로 일반화하였다. 특히 이전 결과는 모두 복잡한 행렬 계산을 통하여 얻어졌는데 위 결과는 이론적인 증명을 통한 것이다. 증명의 도구 또한 기존의 방법이 아니라 geometric group theory와 Zariski topology의 technique을 이용한 새로운 방법을 통하여 증명한 것이다. 물론 결과 또한 임의의 차원에 대한 결과여서 trace field를 통한 복소쌍곡 Kleinian 군의 characterize는 최종 목표까지 성취된 것이다. 또한 2차원 사원쌍곡 Kleinian 군의 경우도 2013년 본 연구자에 의하여 증명되었는데 이 경우 trace field가 복소수인 경우 또한 해당 과제를 통하여 증명을 마쳐 유명 저널에 투고하였다. 즉, 위 결과에서 Sp(2,1)으로 확장한 것이 2013년의 결과이며 이 때에 trace field가 복소수일 때 또한 characterize 하였다.
연구결과의 활용계획 본 연구 결과는 복소쌍곡 Kleinian 군의 경우 trace를 통하여, 즉 trace field가 실수체에 포함되는 경우 characterize를 완전히 마침 것이며 이 결과는 계수가 1인 non-compact 대칭공간의 다른 경우인 사원쌍곡 Kleinian 군의 경우로까지 연구의 범위를 넓힐 수 있게 해주었다. 또한 사원쌍곡 Kleinian 군의 경우 trace field가 complex인 경우까지 생각의 범위를 넓힐 수 있는데 이 경우 또한 연구가 가능하게 될 것으로 보인다.
(출처 : 한글요약문 4p)
Abstract▼
Purpose&contents The purpose of this subject is to understand the structure of complex hyperbolic spaces by studying complex hyperbolic manifolds. Among many approaches of studying complex hyperbolic space(or complex hyperbolic manifolds), we tried to understand complex hyperbolic spaces by study
Purpose&contents The purpose of this subject is to understand the structure of complex hyperbolic spaces by studying complex hyperbolic manifolds. Among many approaches of studying complex hyperbolic space(or complex hyperbolic manifolds), we tried to understand complex hyperbolic spaces by studying complex hyperbolic Kleinian groups. As a result, we characterized complex hyperbolic Kleinian groups by trace fields.
Result I characterized complex hyperbolic Kleinian groups by their traces. In real hyperbolic case, that results were known in 1988, and this result was generalized in complex hyperbolic 2-space in 2012, and then, it is also studied in dimension 3 by myself. That is, I characterized 3-dimensional complex hyperbolic Kleinian groups by their traces. More concretely, if G is a non-elementary discrete subgroup of SL(2,C) and trace of every element of G is real, then it is proved in 1988 that G is conjugate to SL(2,R). And in 2012, this result is generalized to SU(2,1), holomorphic isometry group of complex hyperbolic space, and then I generalized again to SU(3,1). In this subject, I extended previous results in the case of arbitrary dimension n, that is, in the case of SU(n,1) in 2016. Especially, even though previous results are obtained by complicated matrix computations, my result is obtained by theoretical proof. The tool of proof is not known method, but new method using geometric group theory and techniques of Zariski topology. Of course, the result is in the case of arbitrary dimension, so I bravely say that the final goal is accomplished of characterizing complex hyperbolic Kleinian groups by their trace fields.
Expected Contribution The result of this subject is a complete characterization of complex hyperbolic Kleinian groups in terms of trace fields, and this result can be extended in the study of quaternionic hyperbolic case-another rank one symmetric space of noncompact type. In the case of quaternionic hyperbolic Kleinian group, I also expect that one can study when the trace field is contained in complex numbers.
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