초록 ▼

유사적으로 닫힌 체(Pseudo algebriacally closed, PAC field)는 풍부한 기하적인 성질 및 산술적인 성질을 갖고 있어, 체 산술론과 모형론에서 매우 중요한 연구 대상이다. PAC 체들의 1차 논리적 동치에 따른 분류에 있어서, ‘끼워넣기 보조정리’는 매우 중요한 역할을 한다. 대략적으로, 기본적인 대수적 정보가 같고, 동형인 갈루아 군을 같은 두 PAC 체는 1차 논리적 동치가 된다.

본 연구에서는, 이 결과를 확장한 유사적으로 닫힌 구조들로 확장하여, 군, 환, 그래프 등등 더 일반적인 수학

유사적으로 닫힌 체(Pseudo algebriacally closed, PAC field)는 풍부한 기하적인 성질 및 산술적인 성질을 갖고 있어, 체 산술론과 모형론에서 매우 중요한 연구 대상이다. PAC 체들의 1차 논리적 동치에 따른 분류에 있어서, ‘끼워넣기 보조정리’는 매우 중요한 역할을 한다. 대략적으로, 기본적인 대수적 정보가 같고, 동형인 갈루아 군을 같은 두 PAC 체는 1차 논리적 동치가 된다.

본 연구에서는, 이 결과를 확장한 유사적으로 닫힌 구조들로 확장하여, 군, 환, 그래프 등등 더 일반적인 수학적 구조에 대해서도, 체 산술론적인 결과를 얻을 수 있었다.

이를 위해, 일반적인 유사적으로 닫힌 구조들에 대한 ‘끼워넣기 보조정리’를 찾고, 이를 활용하여, 주어진 PAC 구조들이 기본적인 1차 논리적 성질을 갖고, 동형인 갈루아 군을 갖는 다면 두 PAC 구조는 1차 논리적 동치가 된다는 것을 보였다. 특히, PAC 구조들에 대한 ‘끼워넣기 보조정리’를 증명함에 있어서, 순수히 모형론적인 아이디어를 사용하여 증명함으로서, 기존의 PAC 체에 대한 ‘끼워넣기 보조정리’의 새로운 모형론적인 증명을 찾았다. 또한, 일반적인 1차 논리 구조의 갈루아 군을 다룸에 있어서, 조금더 세심한 작업이 필요하다는 것을 알게 되었다. 단순히, 순수한 군론적인 측면뿐만아니라, 각각의 유한 확장의 원시원소의 위치에 대한 정보도 필수적으로 고려해야 된다는 것을 알게 되었다.

(출처 : 초록 3p)

Abstract ▼

Field arithmetic is a branch of mathematics to study arithmetic property of a field via its Galois group. One of important objects in field arithemtic is a notion of pseudo algebraically closed fields, in short, PAC fields. PAC fields have fruitful arithmetic and geometric properties and it has been

Field arithmetic is a branch of mathematics to study arithmetic property of a field via its Galois group. One of important objects in field arithemtic is a notion of pseudo algebraically closed fields, in short, PAC fields. PAC fields have fruitful arithmetic and geometric properties and it has been studied very actively in number theory, arithmetic geometry, and model theory. The notion of PAC fields was first introduced by J. Ax to study solvability of Diophantine equations over finite fields. Also, M. Jarden and U. Kiehne proved Embedding Lemma for PAC fields to show that given two PAC fields, if they have the same classical algebraic data(characteristic, imperfection degree, and absolute numbers), and they have the isomorphic Galois groups over the Galois groups over the absolute numbers, then two PAC fields are elementary equivalent.

In our research, we aim to develop field artithmetic for more general first order structure, for example, groups, rings, graphs, and so on. Specially, we focus on PAC structures generalizing PAC fields, and we develop model theoretic results analogous to field arithmetic.

Our main result is as follows, which is a generlization of Jarden-Kiehne’s result:

Main result 0.
Given two PAC structures E and F, suppose they are regular extensions of a common substructure K. Further more, we suppose that there is an isomorphsim between Galois groups G(E) and G(F) over G(K), which preserves the places of primitive elements of finite algebraic extensions of E and F. Then, E and F are elementary equivalent.

To get the main result, we first need to prove the following Embedding Lemma.
Main result 1. (Embedding Lemma)

Consider two PAC structures E and F which are regular extensions of a common substructure K. Suppose F is enough saturated and there is an epimorphism Φ from G(F) to G(E) over G(K). Then, there is an embedding Φ from E to F, where E and F are algebraic closures of E and F respectively, satisfying the following:
(1) [수식]
(2) phi(E) ⊂ F.
(3) The epimorphism Φ is a conjugation of the embedding Φ, that is, for any f ∈ G(F), Φ(f) = Φ ∘ f ∘ Φ^-1.

To apply Embedding Lemma for arbitrary PAC structures, which is not necessary saturated, we need to speculate on a relationship between taking utlrapowers and Galois groups, and so we get the following:

Main result 2.
Let U be an ultrafilter. We write E^U for the ultrapower of E with respect to U. Fix arbitrary structures E and F. Suppose there is an isomorphism Φ from G(E) to G(F), which preserves the places of primitive elements of finite algebraic extensions of E and F. Then, the ultrapower Φ^U of the isomorphism Φ induces a natural isomorphism from G(E^U) to G(F^U).

By combining main results 1 and 2, we get the main result 0.

The Embedding Lemma for PAC fields is one of fundamental tools in field artithmetic for PAC fields. Using our result, we will continue to do research on the classification of the elementary theories of PAC fields and studying on definable sets of PAC fields.

(출처 : SUMMARY 7p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 제 출 문 ... 2
• 보고서 초록 ... 3
• 요 약 문 ... 4
• S U M M A R Y ... 7
• C O N T E N T S ... 9
• 목차 ... 10
• 제 1장 연구개발과제의 개요 ... 11
• 1.1절 연구개발의 목적 ... 11
• 1.2절 연구개발의 필요성 및 범위 ... 11
• 제 2 장 국내외 기술개발 현황 ... 13
• 2.1절 국내․외 관련분야에 대한 기술개발현황 ... 13
• 2.2절 본 연구결과의 국내․외 기술개발현황에서 차지하는 위치 ... 14
• 제 3 장 연구개발수행 내용 및 결과 ... 15
• 3.1 절 PAC 구조에 대한 Embedding Lemma ... 15
• 제 4 장 목표달성도 및 관련분야에의 기여도 ... 21
• 제 5 장 연구개발결과의 활용계획 ... 23
• 제 6 장 연구개발과정에서 수집한 해외과학기술정보 ... 24
• 제 7 장 참고문헌 ... 25
• 끝페이지 ... 27